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| 三角柱 | |
|---|---|
 | |
| タイプ | プリズム 半正多面体 均一多面体 |
| 顔 | 2つの三角形 3つの正方形 |
| エッジ | 9 |
| 頂点 | 6 |
| 対称グループ | 3時間 |
| 二重多面体 | 三角錐 |
幾何学において、三角柱または三角柱[1]は、2つの三角形の底辺を持つ柱です。辺が各三角形の頂点と対になっていて、底辺に垂直であれば、それは直角三角柱です。直角三角柱は、半正三角形と一様三角形の両方になることがあります。
三角柱は別の多面体の構築に使用できます。例としては、ジョンソン立体の一部、切頂直角三角柱、シェーンハルト多面体などがあります。
プロパティ
三角柱には 6 つの頂点、9 つの辺、5 つの面があります。すべての柱には、底辺と呼ばれる 2 つの合同な面があり、三角柱の底辺は三角形です。三角形には 3 つの頂点があり、各頂点は別の三角形の頂点と対になって、さらに 3 つの辺を構成します。これらの辺は、他の面として 3 つの平行四辺形を形成します。[2]柱の辺が底辺に垂直である場合、側面は長方形であり、柱は直角三角柱と呼ばれます。[3]この柱は、くさびの特殊なケースと見なすこともできます。[4]
底辺が正三角形で側面が正方形の場合、直角三角柱は半正多角形です。半正多角形とは、多角形の底辺の数が正方形の面の数と等しいことを意味します。[5]より一般的には、三角柱は一様です。つまり、三角柱は面が正三角形で、頂点に等角対称性があります。 [6]直角三角柱の3次元対称群は、位数12の二面体群 D 3 hです。三角柱を、中心の底辺を通り水平面を挟んで反射する対称軸の周りで全角の1/3と2/3回転させても、外観は変化しません。三角柱の双対多面体は三角錐です。三角錐は三角柱と同じ対称性を持っています。[1]隣接する2つの正方形の面の間の二面角は正三角形の内角π /3 = 60°であり、正方形と三角形の間の二面角はπ /2 = 90°である。[7]
あらゆる柱の体積は、底面積と2つの底面積間の距離の積である。[8]三角柱の場合、底面積は三角形なので、体積は三角形の面積と柱の長さを掛け合わせることで計算できる。 ここで、bは三角形の1辺の長さ、hはその辺に引いた高さの長さ、lは三角形の面間の距離である。[9]直角三角柱の場合、すべての辺の長さがlで等しいので、体積は正三角形の面積と長さlの積として計算できる。[10]
三角柱はプリズムグラフ Π3として表すことができます。より一般的には、プリズムグラフΠnはn面体プリズムを表します。[11]
関連する多面体
多面体の構築
双対多面体である三角両錐以外にも、三角柱に関連する多面体はたくさんあります。ジョンソン立体は正多面体で凸多面体であり、この定義はアルキメデス立体、カタラン立体、プリズム、反プリズムなどの均一多面体では省略されることがあります。[12]三角柱を含む構成を持つジョンソン立体は6種類あります：細長い三角錐、細長い三角両錐、ジャイロビファスティギウム、拡大三角柱、双拡大三角柱、三拡大三角柱です。細長い三角錐とジャイロ細長い三角錐は、三角柱の底面に四面体を取り付けることで構築されます。拡大三角柱、双拡大三角柱、三拡大三角柱は、正四角錐を柱の正方形の面に取り付けることによって構築されます。ジャイロビファスティギウムは、2つの三角柱を正方形の面の1つに沿って取り付けることによって構築されます。[13]
切頂三角柱は、一部を斜めに切断して作られた三角柱である。その結果、2つの底辺は平行ではなく、高さごとに辺の長さが異なります。底辺を接続する辺が底辺の1つに垂直である場合、その柱は切頂直角三角柱と呼ばれます。三角柱の底面積をA、高さをh 1、h 2、h 3とすると、その体積は次の式で求められます。[14]
シェーンハルト多面体は、正三角形の底辺を持つ三角柱から構成される別の多面体です。この方法では、底辺の1つが柱の中心線を中心に回転し、正方形の面を斜めの多角形に分割します。各正方形の面は、2つの三角形で再三角形化して、非凸二面角を形成できます。[15]その結果、シェーンハルト多面体は四面体に分割して三角形化することはできません。また、シェーンハルト多面体には内部対角線がありません。[16]これは、1928年にこれを説明したドイツの数学者エーリッヒシェーンハルトにちなんで名付けられましたが、関連する構造は1921年に芸術家カーリスヨハンソンズ によって展示されました。[17]
三角柱の均一な複合体は4つある。4つの三角柱の複合体、8つの三角柱の複合体、10つの三角柱の複合体、20つの三角柱の複合体である。[18]
ハニカム
三角柱セルを含む均一なハニカムが 9 つあります。
- 回転細長い交互立方ハニカム、細長い交互立方ハニカム、回転三角柱状ハニカム、角柱状ハニカム、三角柱状ハニカム、三角六角柱状ハニカム、切頂六角柱状ハニカム、菱形三角六角柱状ハニカム、角柱状三角六角柱状ハニカム、細長い三角柱状ハニカム
関連する多面体
三角柱は、半正多面体の次元シリーズの最初のものです。各進行一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構築されます。1900年にThorold Gosset は、このシリーズがすべての正多面体の面、すべての単体と正直交体(三角柱の場合は正三角形と正方形) を含むものであると特定しました。Coxeter の表記法では、三角柱には記号 −1 21が与えられます。
4次元空間
三角柱は、次のような 4 次元均一4 次元多面体のセルとして存在します。
参考文献
引用
- ^ ab キング（1994）、113ページ。
- ^
- キング（1994）、113ページ
- バーマン（1971）
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