正八面体

幾何学において、正八面体（複数形：正八面体）とは、8つの面を持つ多面体のことである。正八面体は、 8つの正三角形から構成されるプラトン立体であり、各頂点で4つの正三角形が交わる。凸型と非凸型を含む、多くの種類の不規則な正八面体も存在する。

正八面体は、 8 つの正三角形の辺、4 つの辺が交わる6 つの頂点、および 12 の辺を持つ。その双対多面体は立方体である。^{[ 1 ]} 3 次元ユークリッド空間では、6 つの軸平行単位ベクトルの凸包として形成することができる。これは 5 つのプラトン立体の 1 つであり、^{[ 2 ]}正多面体の無限族であるクロス多面体の 3 次元の場合である。^{[ 3 ]}それ自体では空間をタイル張りすることはできないが、正四面体とともに空間をタイル張りして、正四面体-正八面体ハニカムを形成することができる。^{[ 4 ]}

以下の多面体は、組み合わせ論的に正八面体と等価である。これらはすべて、正八面体の特徴と完全に一致する6つの頂点、8つの三角形の面、および12の辺を持つ。

• 三角反角柱：2つの面は正三角形で、平行な平面上にあり、共通の対称軸を持つ。他の6つの三角形は二等辺三角形である。正八面体は、6つの側面の三角形も正三角形である特殊な場合である。^{[ 5 ]}
• 正四角両錐体とは、少なくとも1つの赤道四角形が平面上にある図形のことである。正八面体は、3つの四角形すべてが平面上の正方形である特殊なケースである。^{[ 6 ]}
• シェーンハルト多面体とは、新しい頂点を導入せずに四面体に分割できない非凸多面体のことである。^{[ 7 ]}
• ブリカール八面体は、非凸の自己交差する柔軟な多面体である。^{[ 8 ] [ 9 ]}

正八面体は、頂点が 6 つ、辺が 12 つで、八面体の最小値です。不規則な八面体は、頂点が 12 つ、辺が 18 つになる場合があります。^{[ 10 ]}鏡像を除くと、位相的に異なる凸八面体は257 個あります。より具体的には、頂点が 6 ～ 12 個の八面体に対して、それぞれ 2、11、42、74、76、38、14 個あります。^{[ 11 ] [ 12 ]} 2 つの多面体は、辺の長さや辺または面間の角度を変更するだけで一方を他方に変形することが不可能な、本質的に異なる面と頂点の配置を持っている場合、位相的に異なります。 ^{[ 12 ]}

代表的な8面凸多面体には以下のようなものがある。

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  六角柱：2つの面は平行な正六角形であり、6つの正方形が対応する六角形の辺のペアをつないでいる。すべての面が正六角形で、すべての頂点が互いに対称であるため、これは均一な多面体である。^{[ 13 ]}平行多面体として平行移動によって空間をタイル張りする。^{[ 14 ]}六角錐台は位相的に同等である。
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  切頂四面体：四面体の4つの面が切頂されて正六角形になり、各四面体の頂点が切頂された場所にさらに4つの正三角形の面ができます。これは、角柱でも反角柱でもない均一な多面体なので、アルキメデス立体です。^{[ 15 ] [ 16 ]}
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  ジャイロビファスティギウム：2つの均一な三角柱を正方形の側面の1つで接着し、どの三角形も他の三角形と辺を共有しないようにしたもの。面が正多角形である多面体として、ジョンソン立体である。^{[ 16 ]}空間充填多面体である。^{[ 17 ]}その双対多面体も正八面体である。^{[ 18 ]}
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  拡張三角柱：三角柱を正四角錐に接着した結果、6つの正三角形面と2つの正方形面を持つ立体です。ジョンソン立体でもあります。^{[ 16 ]}
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  三角形ドーム：ジョンソン立体の一つで、正六角形の面が1つ、正方形の面が3つ、正三角形の面が4つあります。^{[ 16 ]}
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  トリディミニッシュドイコサヘドロン：ジョンソン立体の一種で、正二十面体から3つの五角錐を取り除くことで、3つの五角形面と5つの三角形面を持つ立体となる。^{[ 19 ]}
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  七角錐：1つの面が七角形（通常は正七角形）で、残りの7つの面が三角形（通常は二等辺三角形）である。^{[ 20 ]}すべての三角形の面が正三角形であることはできない。これは自己双対多面体である。
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  正方台形面体：8つの面は合同な凧形である。^{[ 21 ]}位相的等価性を除いて、すべての面が四角形である唯一の正八面体である。^{[ 22 ]}
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  三角錐台：細長い三角錐（ジョンソン立体）の双対であり、6つの二等辺台形面と2つの正三角形面によって実現できる。
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  切頂三角形台形多面体（デューラー立体とも呼ばれる）：立方体または菱形の2つの対角の角を切り落とすことによって得られるもので、6つの五角形の面と2つの三角形の面を持つ。^{[ 23 ]}
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  4つの五角形の面と4つの長方形の面を持つ切妻菱形。 ^{[ 24 ]}ジャイロビファスティギウムと同様に、空間充填多面体である。^{[ 25 ]}