二重多面体

幾何学では、すべての多面体は第2の双対構造と関連しており、一方の頂点が他方の面に対応し、一方の頂点のペア間の辺が他方の面のペア間の辺に対応する。 ^[1]このような双対図形は組み合わせ多面体または抽象多面体のままであるが、すべてが幾何学的多面体として構築できるわけではない。^[2]任意の多面体から始めて、その双対の双対が元の多面体である。

双対性は多面体の対称性を保存します。したがって、対称性によって定義される多くの多面体のクラスでは、双対は対応する対称性クラスに属します。たとえば、正多面体 (凸型)プラトン立体と (星型)ケプラー・ポアンソ多面体 ) は双対を形成し、正四面体は自己双対です。等角多面体 (多面体の対称性の下で任意の 2 つの頂点が等しい多面体) の双対は等面体多面体 (任意の 2 つの面が等しい [...]) であり、その逆も同様です。等軸多面体 (任意の 2 つの辺が等しい [...]) の双対も等軸です。

双対性は、凸多面体に適用すると双対多面体が別の凸多面体として実現される幾何学的変換で ある極相互性と密接に関連しています。

双対性には多くの種類があります。基本多面体に最も関連があるのは、極性の相互性と位相的または抽象的な双対性です。

ユークリッド空間では、多面体の双対は球面を中心とした極の往復運動によって定義されることが多い。ここで、各頂点（極）は面平面（極平面または単に極）に関連付けられており、中心から頂点への光線は平面に垂直であり、中心から各頂点までの距離の積は半径の2乗に等しい。^[3]${\displaystyle P}$

球面が半径を持ち、原点を中心としている場合（方程式 で定義されるように）、凸多面体の極双対は次のように定義されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\circ}=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}}$全員で${\displaystyle p}$${\displaystyle P\},}$

ここで、 はとの標準ドット積を表します。 ${\displaystyle q\cdot p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

通常、双対の構築時に球が指定されていない場合は、上記の定義で意味する単位球が使用されます。^[4]${\displaystyle r=1}$

線形方程式で記述される の 各面平面に対して、 双対多面体の対応する頂点の座標は になります。同様に、 の各頂点はの面平面に対応し、 の各辺線はの辺線に対応します。 と の頂点、辺、面の対応は包含関係を逆にします。たとえば、 の辺に頂点が含まれる場合、 の対応する辺は対応する面に含まれます。 ${\displaystyle P}$$${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}$$${\displaystyle P^{\circ}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ}}$

対称中心を持つ多面体の場合、ドーマン・ルーク作図（後述）のように、この点を中心とする球を使用するのが一般的です。それができない場合は、外接球、内接球、または中球（すべての辺が接線である球）を持つ多面体の場合、これを使用できます。ただし、多面体を任意の球の周りに往復させることが可能であり、結果として生じる双対の形は球の大きさと位置に依存します。球が変化すると、双対の形も変化します。球の中心を選択するだけで、相似性までの双対を定義するのに十分です。

ユークリッド空間の多面体の面、辺、または頂点が球の中心にある場合、その双対の対応する要素は無限になります。ユークリッド空間は無限に達することはないので、必要な「無限の平面」を追加することで、拡張ユークリッド空間と呼ばれる射影的等価物を形成できます。理論家の中には、ユークリッド空間に固執し、双対は存在しないと主張する人もいます。一方、ウェニンガー (1983) は、モデル (一部の有限部分) を作成するのに適した方法で、これらの無限の双対を表現する方法を発見しました。

ここでの双対性の概念は、線と辺が入れ替わる射影幾何学における双対性と密接に関連している。射影極性は凸多面体に対しては十分に機能する。しかし、星型多面体などの非凸図形の場合、この形式の多面体の双対性を射影極性の観点から厳密に定義しようとすると、さまざまな問題が生じる。 ^[5] 非凸多面体の幾何学的双対性に関する定義上の問題のため、Grünbaum (2007) は、非凸多面体の適切な定義には双対多面体の概念が含まれるべきだと主張している。

任意の凸多面体は、標準形に変形することができます。標準形においては、単位中球（または中間球）がすべての辺に接し、接点の平均位置が球の中心となります。この形は、合同性を除いて一意です。

このような標準的な多面体をその中球の周りで往復運動させると、双対多面体は同じ辺の接点を共有するため、これも標準的なものとなる。これが標準的な双対であり、2つを合わせると標準的な双対複合体が形成される。^[6]

一様多面体の場合、双対多面体の各面は、ドーマン・ルーク構成法を使用して元の多面体の対応する頂点図形から導き出すことができる。^[7]

多面体のペアが相互に作用して得られない場合でも、一方の頂点が他方の面に対応し、一方の辺が他方の辺に対応し、接続関係が保たれている限り、それらは互いの双対と呼ばれることがあります。このような多面体のペアは、位相的または抽象的には依然として双対です。

凸多面体の頂点と辺は、多面体の表面 (位相球) に埋め込まれたグラフ(多面体の1 次元スケルトン) を形成します。このグラフは、平面上に投影してシュレーゲル図を形成できます。双対多面体の頂点と辺によって形成されるグラフは、元のグラフの 双対グラフです。

より一般的には、面が閉じた表面を形成する任意の多面体の場合、多面体の頂点と辺はこの表面に埋め込まれたグラフを形成し、（抽象的な）双対多面体の頂点と辺は元のグラフの双対グラフを形成します。

抽象多面体とは、要素の特定の種類の部分的に順序付けられた集合(poset) であり、集合の要素間の接続または接続は、多面体の要素 (面、辺、頂点) 間の接続に対応します。このような poset には、すべての順序関係を逆にすることで形成される、双対 poset があります。poset をハッセ図として視覚化する場合、双対 poset はハッセ図を上下逆にするだけで視覚化できます。

このように、あらゆる幾何学的多面体は抽象多面体に対応しており、抽象双対多面体を持っています。ただし、非凸幾何学的多面体の種類によっては、双対多面体が幾何学的に実現できない場合があります。

位相幾何学的には、多面体は、その双対が頂点、辺、面の間でまったく同じ接続性を持つ場合、自己双対であると言われます。抽象的には、それらは同じハッセ図を持ちます。幾何学的には、位相幾何学的に自己双対であるだけでなく、特定の点（通常は重心）の周りの極逆数は相似図形です。たとえば、正四面体の双対は、原点を通して反射された別の正四面体です。

すべての多角形は、頂点と辺の数が同数で、双対性によって頂点と辺が入れ替わるため、位相的に自己双対です。ただし、必ずしも自己双対であるとは限りません (たとえば、剛体運動を除く)。すべての多角形には、その中間球面に関して幾何学的に自己双対な正則な形状があります。すべての角度は合同で、すべての辺も合同であるため、双対性の下ではこれらの合同は入れ替わります。同様に、すべての位相的に自己双対な凸多面体は、等価な幾何学的に自己双対な多面体、つまり中球面の中心に関して逆の関係にあるその標準多面体 によって実現できます。

幾何学的に自己双対な多面体は無限に存在する。最も単純な無限族はピラミッドである。^[8]もう一つの無限族である細長いピラミッドは、角柱（同じ数の辺を持つ）の上にピラミッドが乗っていると大まかに説明できる多面体から構成される。角柱の下に錐台（上部が切り取られたピラミッド）を追加すると、別の無限族が生成され、これを繰り返していく。凸型の自己双対多面体は他にも多数存在する。例えば、7 頂点を持つものは 6 種類、8 頂点を持つものは 16 種類存在する。^[9]

六角形の面を持つ自己双対非凸二十面体は、1900年にブルックナーによって特定されました。^{[10] [11] [12]}非凸多面体とその双対の特定の定義の下で、他の非凸自己双対多面体が発見されています。

双対性はn次元空間と双対多面体に一般化できます。2次元では、これらは双対多角形と呼ばれます。

一方の多面体の頂点は、もう一方の多面体の( n − 1) 次元要素または面に対応し、 ( j − 1) 次元要素を定義するj点は、交差して ( n − j ) 次元要素を与えるj個の超平面に対応します。 n次元のテッセレーションまたはハニカムの双対も同様に定義できます。

一般に、多面体の双対の面は、多面体の頂点図形の位相的双対になります。正多面体と一様多面体の極逆数の場合、双対の面は元の頂点図形の極逆数になります。たとえば、4 次元では、600 セルの頂点図形は20 面体です。600 セルの双対は 120セルで、その面は20 面体の双対である 12 面体です。

自己双対多面体の主なクラスは、回文のシュレーフリ記号を持つ正多面体です。すべての正多角形 {a} は自己双対であり、形式 {a,a} の多面体、形式 {a,b,a} の4 次元多面体、形式 {a,b,b,a} の 5 次元多面体などです。

自己双対正多面体は以下のとおりです。

• すべての正多角形、{a}。
• 正四面体: {3,3}
• 一般に、すべての正則n単体、 { 3,3,...,3}
• 4次元の通常の24セル、{3,4,3}。
• 大きな120細胞{5,5/2,5}と壮大な星型120細胞{5/2,5,5/2}

自己双対（無限）正則ユークリッドハニカムは次のとおりです。

• アペイロゴン: {∞}
• 正方形のタイル: {4,4}
• 立方ハニカム: {4,3,4}
• 一般に、すべての正規のn次元ユークリッド超立方ハニカム: {4,3,...,3,4}。

自己双対（無限）正則双曲型ハニカムは次のとおりです。

• コンパクトな双曲型タイリング: {5,5}、{6,6}、... {p,p}。
• パラコンパクト双曲タイリング: {∞,∞}
• コンパクトな双曲型ハニカム: {3,5,3}、{5,3,5}、{5,3,3,5}
• パラコンパクト双曲型ハニカム: {3,6,3}、{6,3,6}、{4,4,4}、{3,3,4,3,3}

• コンウェイ多面体表記
• デュアルポリゴン
• 自己双対グラフ
• 自己双対多角形

• ワイスシュタイン、エリック W.、「双対多面体」、MathWorld
• ワイスシュタイン、エリック W.、「デュアル テッセレーション」、MathWorld
• ワイスシュタイン、エリック W.、「自己双対多面体」、MathWorld