ハニカム（幾何学）

幾何学において、ハニカムとは、多面体またはそれ以上の次元のセルを隙間なく空間に充填または密に並べた構造のことです。これは、任意の次元におけるより一般的な数学的タイル張り（テセレーション）の一例です。n次元空間のハニカムは、n次元ハニカムと表現できます。

ハニカムは通常、通常のユークリッド空間（「平面」空間）で構築されます。双曲ハニカムのように、非ユークリッド空間でも構築できます。任意の有限一様多面体は、その外接球に投影することで、球面空間における一様ハニカムを形成できます。

分類

ハニカム構造は無数に存在し、その分類はまだ部分的にしか行われていない。規則的な形状のものが特に注目を集めているが、その他にも多種多様なハニカム構造が次々と発見されている。

最も単純なハニカム構造は、平面のいくつかのテセレーションに基づいて、プリズムの層または板を積み重ねて形成されます。特に、すべての平行六面体に対して、コピーによって空間を埋め尽くすことができます。立方体ハニカムは、通常の（ユークリッド）空間における唯一の正則ハニカムであるため、特別な存在です。もう一つのファミリーは、ヒル四面体とその一般化であり、これらも空間を埋め尽くすことができます。

均一な3ハニカム構造

3 次元均一ハニカムは、均一な多面体セルで構成され、すべての頂点が同じである3 次元空間のハニカムです(つまり、[タイリングを保存する 3 次元空間の等長変換] のグループが頂点に関して推移的です)。ユークリッド 3 次元空間には28 個の凸型の例があり、 ^[¹^]アルキメデスハニカムとも呼ばれます。

ハニカムは、タイル張りを保存する等長変換群が、セル上の面上の辺上の頂点上の頂点上の辺上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上の頂点上のすべての頂点上の頂点上のすべての頂点上の頂点上のすべての頂点上のすべての頂点上のすべての頂点上のすべての頂点上の

四面体-八面体ハニカム構造および回転四面体-八面体ハニカム構造は、四面体と八面体が交互に配置されたスラブ層のセルを3つまたは2つ配置することで生成されます。これらのスラブ層を繰り返し配置する高次のパターンを用いることで、無限の数のユニークなハニカム構造を作り出すことができます。

空間充填多面体

対称性の範囲内で全てのセルが同一であるハニカムは、セル推移的または等容積であると言われます。3 次元ユークリッド空間では、そのようなハニカムのセルは空間充填多面体であると言われます。^{[ 2 ]}多面体が空間充填多面体であるための必要条件は、そのデーン不変量がゼロであることであり、^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}立方体以外のプラトン立体は除外されます。

5つの空間充填凸多面体は、平行移動のみを用いて3次元ユークリッド空間を敷き詰めることができる。これらは平行多面体と呼ばれる。

空間充填多面体のその他の既知の例としては、以下のようなものがある。

三角形の角柱状のハニカム
回転する三角形の角柱状のハニカム
トリキス切頂四面体ハニカム。ダイヤモンド中の炭素原子のボロノイセルはこの形状である。^{[ 8 ]}
台形菱形十二面体ハニカム^{[ 9 ]}
等面体タイリング^{[ 10 ]}

2つ以上の多面体を持つその他のハニカム

時には、異なるネット[12]を持つとは限らない2つ^{以上の異なる}^多面体が^{組み合わされ}^て空間を埋めることがある。多くの均一なハニカム構造の他に、クラスレートハイドレート結晶の構造から採用されたウェアー・フェラン構造もよく知られた例である。 ^{[ 13 ]}

ウェア・フェラン構造の周期単位。

左手と右手の十三面体によるハニカム構造。

非凸型3ハニカム

記録に残る事例は稀である。以下の2つのクラスを区別することができる。

凹多角形のタイル張りのように、重なり合わずに詰め込まれる非凸セル。これには、吉本キューブのように、小さな星型菱形十二面体の詰め込みが含まれる。
正の密度と負の密度が「相殺」し合う細胞が重なり合うことで、均一な密度の連続体が形成される。これは、平面のタイルが重なり合う様子に類似している。

双曲型ハニカム

3次元双曲空間では、多面体の二面角はその大きさに依存します。正双曲ハニカムには、各辺で4つまたは5つの十二面体が接する2つのタイプが含まれます。これらの二面角はπ/2と2π/5であり、どちらもユークリッド十二面体の二面角よりも小さくなります。この効果を除けば、双曲ハニカムはユークリッドハニカムやポリコラと同じ位相制約に従います。

4つのコンパクトおよび11のパラコンパクト正双曲ハニカムと、多数のコンパクトおよびパラコンパクト一様双曲ハニカムが列挙されている。

3ハニカム構造の二重性

すべてのハニカムには、交換によって得られる二重ハニカムが存在する。

頂点を表すセル。

エッジを表す面。

これらは、4次元4多面体を双対化するための規則にすぎないが、同心円超球面に関する通常の有限な相互変換法では問題が生じる可能性がある。

より規則的なハニカム構造はきれいに二重化される。

立方体ハニカム構造は自己双対構造である。
正八面体と正四面体の構造は、菱形十二面体の構造と双対関係にある。
均一な平面タイルから派生したスラブハニカムは、タイル自体と同様に互いに双対関係にある。
残りのアルキメデスハニカムの双対はすべてセル推移的であり、インチボルドによって記述されている。^{[ 14 ]}

自己二重ハニカム

ハニカムは自己双対になることもあります。シュレーフリ記号{4,3 ⁿ⁻² ,4}を持つすべてのn次元超立方体ハニカムは自己双対です。

参考文献

↑ Grünbaum (1994). "3空間の均一タイリング". Geombinatorics 4(2)
↑ Weisstein, Eric W. 「空間充填多面体」 . MathWorld .
↑ Debrunner、Hans E. (1980)、「Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln」、Archiv der Mathematik (ドイツ語)、35 (6): 583–587、doi : 10.1007/BF01235384、MR 0604258、S2CID 121301319 。
↑ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995)、「満たす多面体」 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ およびはさみの合同性」、離散幾何学および計算幾何学、13（3–4）：573–583、doi：10.1007/BF02574064、MR 1318797 。
↑三角柱、四角柱、六角柱を用いた均一な空間充填
↑菱形六角十二面体のみを用いた均一な空間充填
↑切頂八面体のみを用いた均一な空間充填
↑ John Conway (2003-12-22). "Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles" . Newsgroup : geometry.puzzles . Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU .
↑ X. Qian、D. Strahs、T. Schlick、 J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)
↑O. Delgado-Friedrichs および M. O'Keeffe。「等面体単純タイリング：二相系および16面未満のタイルによるタイリング」。Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
↑2015年6月30日にWayback Machineにアーカイブされました。ガブリエッリ、ルッジェーロ。そのキラルなコピーで空間を満たす13面体。
↑ Gabbrielli, Ruggero; O'Keeffe, Michael (2008). "14面体による、珍しい特性を持つ新しい単純なタイル張り". Acta Crystallographica Section A . 64 : 430– 431. doi : 10.1107/S0108767308004571 . ISSN 0108-7673 .
↑ポーリング、ライナス。『化学結合の本質』コーネル大学出版局、1960年
↑ Inchbald, Guy (1997年7月)、「アルキメデスのハニカム双対」、The Mathematical Gazette、81 (491): 213–219、doi : 10.2307/3619198、JSTOR 3619198 。

さらに読む

Coxeter、HSM：正多面体。
ウィリアムズ、ロバート（1979）。「第5章：多面体の充填と空間充填」。『自然構造の幾何学的基礎：設計の資料集』。ドーバー出版、pp . 164–199。ISBN 0-486-23729-X。

クリッチロー、K.：空間における秩序。
ピアース、P.：自然界の構造はデザインのための戦略である。
Goldberg, Michael「四面体空間充填物の3つの無限族」 Journal of Combinatorial Theory A、16、pp. 348–354、1974年。
Goldberg, Michael (1972). 「空間充填五面体」。Journal of Combinatorial Theory, Series A. 13 ( 3): 437–443 . doi : 10.1016/0097-3165(72)90077-5。
Goldberg, Michael 「空間充填五面体 II」、Journal of Combinatorial Theory 17 (1974)、375–378。
ゴールドバーグ、マイケル（ 1977）。「空間充填六面体について」。Geometriae Dedicata 6。doi : 10.1007 / BF00181585。S2CID 189889869。
Goldberg, Michael (1978). 「空間充填七面体について」. Geometriae Dedicata . 7 (2): 175– 184. doi : 10.1007/BF00181630 . S2CID 120562040 .
Goldberg, Michael「12面以上の凸多面体空間充填物」 Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
Goldberg, Michael (1981). 「空間充填八面体について」 . Geometriae Dedicata . 10 ( 1–4 ): 323–335 . doi : 10.1007/BF01447431 . S2CID 189876836 .
Goldberg, Michael (1982). 「空間充填十面体について」構造トポロジー(7): 39–44 . hdl : 2099/990 .
ゴールドバーグ、マイケル（1982 ）。「空間充填九面体について」。Geometriae Dedicata。12 （ 3）。doi ：10.1007 / BF00147314。S2CID 120914105。

外部リンク

オルシェフスキー、ジョージ。「ハニカム」。ハイパースペース用語集。2007年2月4日にオリジナルからアーカイブ済み。
5つの空間充填多面体、ガイ・インチボルド、The Mathematical Gazette 80、1996年11月、pp 466-475。
ラウムフューラー (空間充填多面体) by TE Dorozinski
ワイススタイン、エリック・W. 「空間充填多面体」 . MathWorld .

[1] Grünbaum (1994). "3空間の均一タイリング". Geombinatorics 4(2)

[2] Weisstein, Eric W. 「空間充填多面体」 . MathWorld .

[3] Debrunner、Hans E. (1980)、「Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln」、Archiv der Mathematik (ドイツ語)、35 (6): 583–587、doi : 10.1007/BF01235384、MR 0604258、S2CID 121301319 。

[4] Lagarias, JC ; Moews, D. (1995)、「満たす多面体」 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ およびはさみの合同性」、離散幾何学および計算幾何学、13（3–4）：573–583、doi：10.1007/BF02574064、MR 1318797 。

[5] 三角柱、四角柱、六角柱を用いた均一な空間充填

[6] 菱形六角十二面体のみを用いた均一な空間充填

[7] 切頂八面体のみを用いた均一な空間充填

[8] John Conway (2003-12-22). "Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles" . Newsgroup : geometry.puzzles . Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU .

[9] X. Qian、D. Strahs、T. Schlick、 J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)

[10] O. Delgado-Friedrichs および M. O'Keeffe。「等面体単純タイリング：二相系および16面未満のタイルによるタイリング」。Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362

[11] 2015年6月30日にWayback Machineにアーカイブされました。ガブリエッリ、ルッジェーロ。そのキラルなコピーで空間を満たす13面体。

[12] Gabbrielli, Ruggero; O'Keeffe, Michael (2008). "14面体による、珍しい特性を持つ新しい単純なタイル張り". Acta Crystallographica Section A . 64 : 430– 431. doi : 10.1107/S0108767308004571 . ISSN 0108-7673 .

[13] ポーリング、ライナス。『化学結合の本質』コーネル大学出版局、1960年

[14] Inchbald, Guy (1997年7月)、「アルキメデスのハニカム双対」、The Mathematical Gazette、81 (491): 213–219、doi : 10.2307/3619198、JSTOR 3619198 。

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

以上の異なる

多面体

[ 13 ]

[ 14 ]