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デルタ面体は、すべての面が正三角形である多面体です。デルタ面体は、ギリシャ語の大文字のデルタが三角形Δに似ていることから、マーティン・カンディによって命名されました。 [1]デルタ面体は凸性の性質によって分類できます。凸デルタ面体は8つあり、多面体骨格電子対理論や化合物などの化学の応用に使用できます。凸性を省略すると、サブクラスの認識とともに無限の数のデルタ面体が生成されます。
凸三角面体
8つの凸三角面体のうち、3つはプラトン立体で、5つはジョンソン立体である。それらは以下の通りである。[2]
- 正四面体。4つの正三角形を持つピラミッドで、そのうちの 1 つが底辺と考えられます。
- 三角両錐、正八面体、五角両錐は、それぞれ 6 個、8 個、10 個の正三角形を持つ両錐です。これらは、底辺から底辺まで同一のピラミッドで構成されています。
- 回転細長い四角両錐体と正二十面体は、それぞれ四角錐の反対柱または五角錐の反対柱に 2 つの角錐を取り付けることによって構築され、16 個と 20 個の三角形の面を持ちます。
- 三角柱の正方形の面に 3 つの四角錐を取り付けて 14 個の三角形の面を持つように構築された三角柱。
- 12 個の三角形の面を持つ、二面体錐台。2 つの正六角形を次の順序で組み合わせて構築されます。これらの六角形は、一致する対角線に沿って 2 つの部分に分割し、対角線の端を内側に押し、一方を 90° 回転させて再び結合することで、退化して両錐体を形成する場合があります。
凸三角錐の可能な数は、ラウゼンバーガー（1915）によって与えられ、面の数を3倍すると各辺が2つの面で共有されるという事実を利用しており、これをオイラーの多面体公式に代入すると、18個の正三角形を持つ多面体が数学的には可能であるが、幾何学的に構築することは不可能であることを示している可能性がある。ラウゼンバーガーはこれらの立体を凸擬正多面体と名付けた。[3]
上記の例をまとめると、デルタ面体は、面が正三角形である多面体のクラスとして最終的に定義できます。[4]多面体は、任意の2つの頂点を結ぶ線が多面体の内部または境界上にあり、さらに、2つの面が同一平面上になく、2つの辺が同一線上にない場合（同じ線分）に凸多面体と呼ばれます。[5] Bernal (1964) による別の定義は前の定義と似ており、不規則に密に詰められた球の配置で残る穴の形に興味がありました。これは、合同な球の集合の中心によって形成できる正三角形の面を持つ凸多面体であり、その接点が多面体の辺を表し、この球のシステムによって作成されたケージ内に別の球を詰める余地がないと述べられています。この制限のため、いくつかの多面体はデルタ面体として含められない可能性がある：三角双錐（1つの穴ではなく2つの四面体の穴を形成するため）、五角双錐（頂点の球が相互に貫通するため、球の詰め込みには発生しないため）、および正二十面体（内部に別の球を配置する余地があるため）。[6]
凸三角面体のほとんどは化学の研究で見つかります。例えば、多面体骨格電子対理論の研究では、それらはクロソ多面体として分類されます。[7]正二十面体を除く三角面体の他の応用としては、化合物の研究において中心原子を取り囲む原子クラスターを多面体として視覚化することが挙げられます。正四面体は四面体分子構造、三角両錐体は三角両錐分子構造、正八面体は八面体分子構造、五角両錐体は五角両錐分子構造、回転伸長四角両錐体は二頂四角錐反柱分子構造、三角柱は三頂三角柱分子構造、スナブ二面体は十二面体分子構造を表します。[8]
非凸三角面体
非凸デルタ面体は凸性を持たないデルタ面体であり、共平面や共線上の辺を持たないことを意味する。非凸デルタ面体は無数に存在する。[9]例としては、正二十面体の3番目の星型であるステラ・オクタングラや、ボルダイク・コクセター・ヘリックスなどがある。[10]
非凸デルタ面体にはサブクラスがある。カンディ (1952) は、さまざまな頂点のタイプの個数を見つけることで、サブクラスを発見できることを示している。頂点の集合は、その集合上で推移的な多面体の同じグループのサブグループがある限り、同じタイプとみなされる。カンディは、大二十面体が、単一のタイプの頂点を持つ唯一の非凸デルタ面体であることを示している。2種類の頂点を持つ非凸デルタ面体は17個あり、すぐに他の11個のデルタ面体がオルシェフスキーによって追加された。 [11]他のサブクラスには、後にマクニールとシェパード (2000) の両者によって発見された等面体デルタ面体、[ 12]と、正三角形のストリップで構成された螺旋デルタ面体がトリッグ (1978) によって発見された。 [13]
参考文献
脚注
- ^
- カンディ（1952）
- クロムウェル（1997）、75ページ
- トリッグ（1978）
- ^
- トリッグ（1978）
- リッチェンバーグ（1988）、263ページ
- フロイデンタールとファン・デル・ワールデン (1947)
- ^
- ラウゼンバーガー（1915）
- リッチェンバーグ（1988）、263ページ
- ^
- カンディ（1952）
- クロムウェル（1997）、75ページ
- トリッグ（1978）
- ^
- リッチェンバーグ（1988）、262ページ
- ボワソナ＆イヴィネック（1989）
- ^ ベルナル（1964年）。
- ^ カラス＆ダール（1988）、8ページ。
- ^
- バーデット、ホフマン、フェイ（1978）
- ギレスピー＆ハーギタイ（2013）、152ページ
- ケパート（1982）、p.7-21
- Petrucci、Harwood、Herring（2002）、p.413-414、表11.1を参照。
- レムホフ & チェルニー (2021)、p. 270
- ^
- トリッグ（1978）
- エップスタイン（2021）
- ^
- ペダーセン＆ハイド（2018）
- ワイルズ（1991）、78ページ
- ^
- カンディ（1952）
- オルシェフスキー
- 鶴田ら（2015）
- ^
- マクニール
- シェパード（2000）
- 鶴田ら（2015）
- ^
- トリッグ（1978）
- 鶴田ら（2015）
引用文献
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- Boissonnat, JD; Yvinec, M. (1989 年 6 月)、「非凸多面体のシーンの調査」、第 5 回計算幾何学シンポジウムの議事録 - SCG '89、pp. 237–246、doi :10.1145/73833.73860、ISBN 0-89791-318-3。
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外部リンク
- カンディ デルタヘドラまたはバイフォーム デルタヘドラ
- ワイスシュタイン、エリック W.、「デルタヘドロン」、MathWorld