平行六面体

幾何学において、平行六面体は6つの平行四辺形（この意味で菱形という用語も使用されることがある）によって形成される3次元図形である。類推すると、立方体が正方形と関係しているのと同じように、平行四辺形と関係している。^[a]

平行六面体の同等の定義は3つある。

• 3組の平行な面を持つ六面体、
• 6つの面を持つ多面体（六面体）で、各面は平行四辺形であり、
• 底面が平行四辺形である角柱。

直方体（6 つの長方形の面）、立方体（6 つの正方形の面）、菱形面体（6 つの菱形の面）はすべて平行六面体の特殊なケースです。

「平行六面体」は現在、通常/ ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d /または/ ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d /と発音されます。^[1]伝統的には/ ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped^でした[2]ギリシャ語のπαραλληλεπίπεδον平行六面体(短い -i- が付いている) が語源であるためです。）、物体は「平行な面を持っている」。

平行六面体は角錐台のサブクラスです。

3 組の平行面はいずれも、角柱の底面として見ることができます。平行六面体には 4 つの平行な辺が 3 セットあり、各セット内の辺の長さは同じです。

平行六面体は、立方体の線形変換（非退化の場合：全単射線形変換） によって生成されます。

各面は点対称なので、平行六面体はゾノヘドロンです。また、平行六面体全体も点対称C _{i を}持ちます (三斜晶系も参照)。各面は、外側から見ると、反対側の面の鏡像です。面は一般にキラルですが、平行六面体はキラルではありません。

任意の平行六面体の合同なコピー を使用して、空間を埋めるモザイク化が可能です。

平行六面体は、平行四辺形を底辺とする角柱です。したがって、平行六面体の体積は底面積と高さの積です（図を参照）。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b \右|}$（ここで はベクトルとの間の角度です）、そして${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(ベクトルと底辺の法線の間の角度)、次の式が得られます。${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf { c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \time \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$ 3 つのベクトルの混合積は三重積と呼ばれます。これは行列式で記述できます。したがって、体積は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$

( V1 )を証明する別の方法は、ベクトルの方向のスカラー成分を使用することです。 結果は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}}$$

ボリュームの別の表現では、幾何学的特性 (角度とエッジの長さ) のみを使用します。

ここで、、、およびは辺の長さです。 ${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle a,b,c}$

対応する四面体

平行六面体の 3 つの収束する辺を共有する任意の四面体の体積は、その平行六面体の体積の 6 分の 1 に等しい (証明を参照)。

平行六面体の表面積は、その周囲の平行四辺形の面積の合計です。 (ラベルについては、前のセクションを参照してください。) $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$

• O _{h対称性を持つ平行六面体は}立方体として知られており、6 つの合同な正方形の面を持ちます。
• _{D 4h}対称性を持つ平行六面体は、2 つの正方形の面と 4 つの同形の長方形の面を持つ直方体として知られています。
• _{D 3d}対称性を持つ平行六面体は三角台形として知られており、6 つの合同な菱形面を持ちます (等面菱形とも呼ばれます)。
• D _2h対称性を持つ平行六面体の場合、次の 2 つのケースが考えられます。
  • 直方体: 6 つの長方形の面を持ちます (直方体、または単に直方体と呼ばれることもあります)。
  • 直菱形柱: 2 つの菱形の面と 4 つの同形の長方形の面を持ちます。

    注: 2 つの菱形面と 4 つの合同な正方形面を持つ完全な菱形の特殊なケースは、同じ名前と同じ対称群 (D _2h、次数 8) を持ちます。${\displaystyle (a=b=c)}$

• C _2h対称性を持つ平行六面体の場合、次の 2 つのケースが考えられます。
  • 直角平行四辺形柱: 4 つの長方形の面と 2 つの平行四辺形の面があります。
  • 斜菱形プリズム: 2 つの菱形の面があり、他の面のうち、隣接する 2 つの面は等しく、他の 2 つの面も等しくなっています (2 組は互いの鏡像です)。

完全平行六面体は、整数長の辺、面の対角線、空間の対角線を持つ平行六面体です。2009 年には、リチャード・ガイ の未解決の問題に答える形で、数十種類の完全平行六面体が存在することが示されました^[3]。一例では、辺が 271、106、103、面の短対角線が 101、266、255、面の長対角線が 183、312、323、空間の対角線が 374、300、278、272 です。

2 つの長方形の面を持つ完全な平行六面体はいくつか知られています。しかし、すべての面が長方形のものが存在するかどうかはわかっていません。そのような場合は完全な直方体と呼ばれます。

コクセターは、高次元における平行六面体の一般化を平行六面体と呼んだ。現代の文献では、平行六面体という用語は、高次元（または任意の有限次元）でも頻繁に使用されている。^[4]

特にn次元空間では、これはn次元平行四辺形、または単にn平行四辺形 (またはn平行六面体)と呼ばれます。したがって、平行四辺形は2 次元平行四辺形であり、平行六面体は 3 次元平行四辺形です。

n平行四辺形の対角線は1 点で交差し、この点で二等分されます。この点で反転してもn平行四辺形は変化しません。ユークリッド空間における等長変換群の不動点も参照してください。

k平行四辺形の 1 つの頂点から放射状に伸びる辺はベクトル空間のkフレームを 形成し、重みが 0 から 1 の間のベクトルの線形結合を取ることで、これらのベクトルから平行四辺形を復元できます。 ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

に埋め込まれたn平行体の n 体積は、グラム行列式 によって計算できます。あるいは、体積はベクトルの 外積のノルムです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m\geq n}$$${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

m = nの場合、これはn 個のベクトルの成分によって形成される行列の行列式の絶対値に相当します。

n + 1 個の頂点を持つ における n 平行四辺形 P の体積を計算する公式は、 であり、はと1の成分 を連結 して形成される行ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$$${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$${\displaystyle V_{i}}$

同様に、平行四辺形のn個の収束辺を共有する任意のn単体の体積は、その平行四辺形の体積の 1/ n !に等しい体積を持ちます。

平行六面体という用語は、古代ギリシャ語の παραλληλεπίπεδον（parallēlepípedon、「平行な平面を持つ物体」）に由来し、parallēl （「平行」）+ epípedon（「平面」）、epí-（「上」）+ pedon（「地面」）から成ります。したがって、平行六面体の面は平面であり、反対側の面は平行です。^{[5] [6]}

英語では、平行六面体という用語がヘンリー・ビリングスリーによるユークリッドの原論の1570年の翻訳で確認されています。平行六面体という綴りは、ピエール・エリゴンの数学の講義の1644年版で使用されています。1663年には、現在の平行六面体がウォルター・チャールトンのChorea gigantumで確認されています。^[5]

チャールズ・ハットンの辞書（1795年）にはparallelopipedとparallelopipedonが載っており、結合形parallelo-の影響が見て取れ、2番目の要素がepipedonではなくpipedonであるかのように思われる。ノア・ウェブスター（1806年）にはparallelopipedという綴りが含まれている。オックスフォード英語辞典の1989年版ではparallelopiped（およびparalleliped ）は明確に誤った形であると説明されているが、これらは2004年版ではコメントなしで掲載されており、5番目の音節pi ( /paɪ/ ) にアクセントがある発音のみが示されている。

• 図形のリスト

• Coxeter, HSM Regular Polytopes、第 3 版。ニューヨーク: Dover、p. 122、1973 年。(彼は平行四辺形と平行六面体の n 次元での一般化として平行六面体を定義しています。)

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ウィキメディア・コモンズには、平行六面体に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「平行六面体」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Parallelotope」。MathWorld。
• 紙製模型 平行六面体（ネット）