ジョンソンソリッド

幾何学において、ジョンソン立体（ジョンソン・ザルガラー立体とも呼ばれる）は、面が正多角形である厳密に凸状の多面体である。一様多面体を除外するように定義されることもある。このような特性を持つ立体は 92 種類あり、最初の立体はピラミッド、キューポラ、ロタンダである。立体の中には、前の立体と連結して構築できるものもあれば、そうでないものもあります。これらの立体は、数学者のノーマン・ジョンソンとビクター・ザルガラーにちなんで名付けられています。

定義と背景

これら 3 つの多面体のうち、最初の細長い正方形のジャイロビキューポラだけがジョンソン立体です。2 番目の八面体ステラは、対角線の一部が図形の外側にあるため、凸型ではありません。3 番目の多面体は、面が同一平面にあります。

ジョンソン立体は、面がすべて正多角形である凸多面体である。^[1]ここで、多面体は、任意の 2 つの頂点間の最短経路が内部または境界上にあり、面が共平面でなく (つまり、同じ平面を共有せず、「平ら」ではない)、辺が共線でない(つまり、同じ線の線分ではない) 場合、凸多面体であると言われる。^[2]^[3]任意の正多角形がジョンソン立体の面になることはできないという制限はないが、一部の著者はジョンソン立体が均一ではないことを要求した。これは、ジョンソン立体がプラトン立体、アルキメデス立体、プリズム、または反プリズムではないことを意味する。^[4]^[5]すべての面がほぼ正多面体であるが、いくつかの面が正確に正多面体ではない凸多面体は、ニアミスジョンソン立体として知られている。^[6]

ジョンソン立体は、ジョンソン・ザルガラー立体とも呼ばれ、2人の数学者ノーマン・ジョンソンとビクター・ザルガラーにちなんで名付けられた。^[7]ジョンソン（1966）は、5つのプラトン立体、13のアルキメデス立体、無限に多くの均一なプリズム、無限に多くの均一な反プリズムを除く92のジョンソン立体を含むリストを発表し、それらの名前と番号を付与した。彼は、92しかないことを証明しなかったが、他には存在しないと推測した。^[8]ザルガラー（1969）は、ジョンソンのリストが完全であることを証明した。^[9]

命名と列挙

ジョンソン立体の命名は、柔軟で正確な記述式に従っており、これにより、多くの立体を複数の異なる方法で命名することができ、それぞれの名前の説明としての正確さを損なうことはありません。ジョンソン立体のほとんどは、最初のいくつかの立体（ピラミッド、キューポラ、ロタンダ）と、プラトン立体、アルキメデス立体、プリズム、反プリズムから構成されます。特定の立体の名前の中心は、これらの要素を反映します。そこから、追加、回転、変換を示す一連の接頭辞が単語に付けられます。^[10]

Bi- は、立体の 2 つのコピーが底辺同士で結合されていることを示します。キューポラとロタンダの場合、立体は、同じ面 ( Ortho- ) または異なる面 ( Gyro- ) が接するように結合できます。この命名法を使用すると、五角形両錐体は、五角錐の底辺 2 つを結合して構築された立体です。三角形の正二角錐は、底辺に沿って 2 つの三角形のキューポラで構成されます。
細長いは、角柱が立体の底面または底面間に結合されていることを示します。ジャイロ細長いは、反角柱を示します。拡大は、別の多面体、つまりピラミッドまたはキューポラが、問題の立体の 1 つ以上の面に結合されていることを示します。
縮小は、問題の立体の 1 つ以上の面からピラミッドまたはキューポラが削除されることを示します。
ジャイレートは、問題の固体に搭載されている、または固体に特徴付けられているキューポラが、異なるエッジが一致するように回転していることを示します。これは、オルソキューポラとジャイロビキューポラの違いに似ています。

パラおよびメタの例は、パラビ拡張六角柱およびメタビ拡張六角柱に見ることができます。

最後の 3 つの操作、つまり拡大、縮小、回転は、特定の大型立体に対して複数回実行できます。Bi- とTri- は、それぞれ2 重と 3 重の操作を示します。たとえば、ビギレート立体には 2 つの回転したキューポラがあり、3重縮小立体には 3 つのピラミッドまたはキューポラが除去されています。特定の大型立体では、変更された面が平行な立体と変更された面が斜めの立体が区別されます。Para-は前者、つまり問題の立体の変更された平行面、meta- は後者、変更された斜面を示します。たとえば、パラビ拡大立体では 2 つの平行面が拡大され、メタビギレート立体では 2 つの斜面が回転しています。^[10]

ジョンソン立体の最後のいくつかは、それらが組み立てられる特定の多角形複合体に基づいて名前が付けられています。これらの名前はジョンソンによって次の命名法で定義されています: ^[10]

ルーンとは、正方形の反対側の辺に 2 つの三角形が接続された複合体です。
Spheno は、2 つの隣接する月によって形成されたくさび形の複合体を示します。Disphenoは、そのような複合体を 2 つ示します。
ヘベスフェノ- 3 番目の月によって分離された 2 つの月が鈍く結合していることを示します。
コロナは 8 つの三角形が集まった王冠のような複合体です。
メガコロナは、12 個の三角形からなる、より大きな王冠のような複合体です。
接尾辞 - cingulum は、 12 個の三角形の帯を示します。

ジョンソン立体の列挙はと表記され、はリストの列挙を表します（例として、最初のジョンソン立体である正四角錐がと表記されます）。^[7]以下はジョンソン立体92個のリストであり、列挙はジョンソン（1966）のリストに従っています。 $J_{n}$ $n$ $J_{1}$

ジョンソン立体の中には、基本多面体に分類できるものがあります。つまり、多面体を平面で分離して、正多面体 2 つを作成することはできません。ジョンソン立体の例には、最初の 6 つのジョンソン立体、つまり、四角錐、五角錐、三角円錐、四角円錐、五角円錐、三角縮小二十面体、二等辺菱形二十十二面体、三角縮小菱形二十十二面体、スナブ二蝶形、スナブ四角反角柱、スフェノコロナ、スフェノメガコロナ、ヘベスフェノメガコロナ、ジスフェノシングラム、ビルナビロタンダ、三角ヘベスフェノロタンダがあります。^[8]^[11]他のジョンソン立体は、いくつかの基本多面体を結合して構成されるため、複合多面体である。 ^[12]

プロパティ

上記の定義の通り、ジョンソン立体は正多角形を面とする凸多面体ですが、それぞれが持つ特性がいくつかあります。

ジョンソン立体92体のうち5体を除くすべてにルパート特性があることが知られており、これは、立体自体のより大きなコピーが内部の穴を通り抜けることができることを意味する。この特性を持たないことが知られている5体は、回旋菱形二乗十二面体、準回旋菱形二乗十二面体、メタ回旋菱形二乗十二面体、三回旋菱形二乗十二面体、および準回旋縮小菱形二乗十二面体である。^[13]
すべてのジョンソン立体の中で、細長い正方形のジャイロビキューポラ（擬菱形立方八面体とも呼ばれる）は、局所的に頂点が均一であるという点でユニークです。各頂点には4つの面があり、その配置は常に同じです。3つの正方形と1つの三角形です。しかし、異なる頂点で異なる等長性を持つため、頂点推移的ではなく、アルキメデスの立体ではなくジョンソン立体になります。^[14]^[15]^[16]

参照

参考文献

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外部リンク

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ジョージ・W・ハート著『ジョンソンソリッド』。
92 個の立体すべての画像を 1 ページにカテゴリ別に掲載
Weisstein、Eric W.「ジョンソン立体」。MathWorld。
Jim McNeill によるジョンソンソリッドの VRML モデル
Vladimir Bulatov によるジョンソンソリッドの VRML モデル
CRFポリコーラ発見プロジェクトは、CRFポリコーラを発見しようとしています。2020-10-31にWayback Machineでアーカイブされました（凸4次元多面体と2次元面としての正多角形）、ジョンソン立体の4次元空間への一般化
https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ジョンソン立体を含む多面体とそれらに適用されるコンウェイ演算のジェネレーター。

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