3次元における周期対称性

3次元幾何学では、物体を変えない 1つの軸（角度360°/ n ）を中心にn回回転対称または反射対称性を持つ3次元（n ≥1）の点群の無限系列が4つあります。

これらは円錐上の有限対称群です。n = ∞の場合、これらは 4 つのフリーズ群に対応します。シェーンフライ表記法が使用されます。水平 (h) と垂直 (v) という用語は、対称の垂直軸に関する反射の存在と方向を意味します。また、括弧内にはCoxeter 表記法が示され、丸括弧内にはオービフォールド表記法が示されています。

種類

C _n , [n] ⁺ , ( nn )の位数n - n回転対称性 -頭n角群(抽象群Z _n ); n =1 の場合:対称性なし(自明群)

C _nh , [n ⁺ ,2], ( n *)は、位数 2 n -柱状対称性または直交 n 角形群(抽象群Z _n × Dih ₁ ) です。n =1 の場合、これはC _s (1*)で表され、反射対称性、または左右対称性と呼ばれます。これは、 n回転軸に垂直な平面に関して反射対称性を持ちます。
C _nv , [n], (* nn )、位数 2 n -ピラミッド対称性または完全なアクロn角形群(抽象群Dih _n )。生物学では、 C _{2v は}双放射対称性と呼ばれます。n =1の場合、再びC _s (1*)になります。これは垂直な鏡面を持ちます。これは、正n面ピラミッドの対称群です。
S _2n , [2 ⁺ ,2n ⁺ ], ( n ×)位数 2 nのgyro-n-gonal 群(同じ表記法が使用される対称群と混同しないでください。抽象群Z _2n )。 2 n倍の回転反射軸を持ち、これは 2 n倍の不適切回転軸とも呼ばれます。つまり、対称群には、水平面での反射と角度 180°/n による回転の組み合わせが含まれます。したがって、 D _ndと同様に、対応する回転を含まない不適切回転が多数含まれます。
- n =1の場合にはS ₂ ( 1× )となり、 C _iとも表記される。これは反転対称性である。

位数4のC _2h , [2,2 ⁺ ] (2*)とC _2v , [2], (*22)は、クラインの4元群を抽象群とする3つの3D対称群のうちの2つである。C_2vは、例えば上辺と下辺が異なる長方形のタイルに適用されます。

極限では、これら 4 つのグループはC _∞、 C _∞h、 C _∞v、および S _∞としてユークリッド平面フリーズグループを表します。回転は極限では並進になります。無限平面の一部を切り取って無限円筒に接続することもできます。

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