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『凸多面体』は、3 次元凸多面体の高次元一般化である凸多面体に関する大学院レベルの数学教科書です。ブランコ・グリュンバウムが執筆し、ヴィクトル・クレー、ミカ・ペルレス、 GC シェパードが寄稿し、1967 年にジョン・ワイリー・アンド・サンズから出版されました。 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 1970 年に絶版となりました。 [ 5 ] [ 6 ]フォルカー・カイベル、ヴィクトル・クレー、ギュンター・M・ツィーグラーの協力を得て作成された第 2 版が、シュプリンガー・フェルラークから、同社の書籍シリーズ「Graduate Texts in Mathematics」の第 221 巻として 2003 年に出版されました。 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
『凸多面体』は、アメリカ数学会が授与する2005年リロイ・P・スティール数学解説賞を受賞しました。[ 9 ]アメリカ数学協会の基本図書館リスト委員会は、学部生向けの数学図書館への収蔵を推奨しています。[ 10 ]
本書は 19 章から構成されています。線形代数、位相幾何学、凸幾何学の背景知識を紹介する 2 章の後、さらに 2 章では多面体の基本的な定義、その 2 つの双対バージョン (半空間の交差と有限点集合の凸包)、シュレーゲル図の紹介、巡回多面体を含むいくつかの基本的な例が示されています。第 5 章ではゲイル図が紹介され、次の 2 章ではそれを使用して、次元よりわずかに大きい頂点数を持つ多面体と隣接多面体を研究します。[ 8 ] [ 5 ]
第8章から第11章では、オイラーの多面体公式、デーン・ソマーヴィル方程式、および多面体の面の数の極値組み合わせ論を用いて、多面体の異なる次元の面の数を研究します。第11章では、低次元の面を多面体の骨格に結び付け、骨格が低次元空間に埋め込まれないことに関するファン・カンペン・フローレスの定理を証明します。第12章では、骨格が多面体の高次元の組み合わせ構造を一意に決定する場合について研究します。第13章では、凸多面体のグラフを組み合わせ論的に特徴付け、凸多面体として実現できる方法が1通りしかないことを示すために使用できるシュタイニッツの定理を用いて、3次元凸多面体に対するこの定理の完全な解答を提供します。また、多面体として実現できる面サイズの多重集合（エーベルハルトの定理）や、内接球または外接球を持つことができる多面体の組み合わせタイプについても触れている。[ 8 ] [ 5 ]
第 14 章では、多面体の角度の和に関する Dehn–Sommerville 方程式に類似した関係について扱い、角度の和を用いて任意の多面体の中心点である「シュタイナー点」を定義します。第 15 章では、多面体を組み合わせて他の多面体を生成する 2 つの操作であるMinkowski 加算とBlaschke 加算について研究します。第 16 章と第 17 章では、最短経路とHirsch 予想、最長経路とハミルトン閉路、および多面体の短さ指数について研究します。第 18 章では、超平面の配置と、それらのゾノトープの組み合わせ構造との双対関係について研究します。最終章である第 19 章では、多面体の対称性に関する内容も含まれています。[ 8 ] [ 5 ]
本書全体にわたる演習により、本書は教科書として使用できるようになり、最近の研究への追加リンクも提供され、本書の後半の章では多くの未解決の研究課題もリストされています。[ 1 ]本書の第2版は、第1版の内容、構成、ページ付けをそのまま維持し、各章の末尾にその章の内容の更新に関する注記を追加しています。[ 7 ] [ 8 ]これらの更新には、ムネフの普遍性定理とその組み合わせ構造からの多面体の実現可能性との関係、および、単体球面に関する予想、およびカライの3次元予想。[ 8 ]第2版では、改良された参考文献も提供されている。[ 6 ]
凸多面体の理論にとって重要だが、書籍『凸多面体』では十分に扱われていないトピックには、ヒルベルトの第3問題とデーン不変量の理論が含まれる。[ 8 ]
本書は大学院レベルで書かれているが、読むための主な前提条件は、学部レベルの線形代数と一般位相幾何学である。 [ 1 ]
本書の初版のレビューで、ヴェルナー・フェンシェルは「驚くべき業績」「豊富な資料」「よく整理され、明快なスタイルで提示されている」と評している。[ 2 ] 35年以上後、アメリカ数学会は、グリュンバウムに『凸多面体』でスティール賞を授与する際に、本書は「標準的な参考書として、またインスピレーションの源として役立ってきた」こと、多面体組み合わせ論における活発な研究の大きな要因となったこと、そしてこの分野において依然として関連性があることを記した。[ 9 ]第二版のレビューと歓迎の中で、ピーター・マクマレンは、本書がきっかけとなった研究によって「すぐに時代遅れになった」にもかかわらず、本書はこの分野の研究者にとって依然として必読書であると記した。[ 8 ]
