星型多角形

幾何学において、星型多角形は非凸多角形の一種である。正星型多角形は詳細に研究されてきたが、星型多角形全般は正式には定義されていないようである。しかし、正単純多角形や星型多角形を切り詰めることで、注目すべき星型多角形がいくつか生成される。

ブランコ・グリュンバウムは、ヨハネス・ケプラーによるこの用語の主な用法を2つ特定した。1つは、新しい頂点を生成しない交差する辺を持つ正星形多角形に対応し、もう1つは等角凹単純多角形に対応する。^{[ 1 ]}

多角形には、五芒星のような多角形だけでなく、六芒星のような複合図形も含まれます。

タートルグラフィックスで使用される星形多角形の定義の1つは、スパイロラテラルのように、 q ≥ 2回転（qは回転数または密度と呼ばれる）を持つ多角形である。^{[ 2 ]}

星形多角形の名前は、 penta-などの数字接頭辞とギリシャ語の接尾辞-gramを組み合わせたものです(この場合はpentagram という単語になります)。接頭辞は通常ギリシャ語の基数ですが、他の接頭辞を使用した同義語も存在します。たとえば、9 角形の多角形またはエニアグラムは、ラテン語の序数nonaを使用したnonagramとしても知られています。接尾辞 -gram は、線を意味するγραμμή ( grammḗ )に由来します。 ^{[ 3 ]}星形多角形という名前は、これらの形状が実際の星の回折スパイクに似ていることを反映しています。

正星形多角形とは、自己交差する、正三角形かつ正角多角形のことである。

正多角形は、シュレーフリ記号{ p / q } で表されます。ここで、p (頂点の数) とq (密度) は互いに素(共通因数を持たない) であり、q ≥ 2 です。多角形の密度は、回転数とも呼ばれ、すべての頂点の回転角の合計を360° で割った値です。

{ p / q }の対称群は、qに依存しない位数 2 pの二面体群D _pです。

正多角形は、最初にトーマス・ブラッドワーディンによって体系的に研究され、後にヨハネス・ケプラーによって研究された。^{[ 4 ]}

正星n角形から交差する線分を取り除くと、結果として得られる図形はもはや正則ではなく、2つの異なる半径で頂点が交互に並ぶ等角凹単純2n角形と見なすことができます。ブランコ・グリュンバウムは、『タイリングとパターン』の中で、正多角形{ n / d }の輪郭に一致するこのような星形を| n / d |、あるいはより一般的には{n𝛼}と表しています。これは、_外角𝛼を持つ等角凹または凸単純2n角形を表します。

• | n / d |の場合、外側の内角𝛼 = 180(1 − 2 d / n )度となり、内側の (新しい) 頂点は、必然的に外角β _ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ]度を持ちます。
• { n _𝛼 }の場合、外内角と内外角（それぞれ 𝛼 とβ _{extで表される）は、任意の正多角形 {} n / d }のものと一致する必要はありません。ただし、𝛼 < 180(1 − 2/ n )度、β _ext < 180° は必ず満たされます（ここで、{ n _𝛼 } は凹型です）。^{[ 1 ]}

星形多角形の内部は、さまざまな方法で処理できます。五芒星の場合、そのような処理が 3 つ示されています。Branko Grünbaumと Geoffrey Shephard は、そのうちの 2 つを、正星n角形と等角凹単純2 n角形として扱います。^{[ 9 ]}

これらの3つの治療法は以下のとおりです。

• 線分が存在する場合、片側は外側、もう片側は内側として扱われます。これは左側の図に示されており、コンピュータのベクターグラフィックスレンダリングでよく見られる現象です。
• 多角形の曲線が特定の領域を何回巻き付くかによって、その領域の密度が決まります。外側の領域の密度は0とされ、密度が0より大きい領域は内部領域として扱われます。これは中央の図に示されており、多面体の数学的扱いにおいてよく用いられる手法です。（ただし、向き付け不可能な多面体の場合、密度は2を法としてのみ考えることができるため、そのような場合は、一貫性を保つために、最初の扱いが用いられることもあります。）
• 2つの辺の間に線分が引かれる場合、その線分が存在する領域は図形の内部として扱われます。これは右側の図に示されており、物理モデルを作成する際によく見られる現象です。

多角形の面積を計算する際、これらの方法はそれぞれ異なる結果をもたらす。

星形多角形は、芸術や文化において重要な位置を占めています。このような多角形は正多角形である場合もそうでない場合もありますが、常に高い対称性を持っています。例としては、以下のようなものがあります。

• {5/2}星形五角形（ペンタグラム）は、ペンタアルファまたはペンタングルとも呼ばれ、歴史的に多くの魔術や宗教カルトによってオカルト的な意味を持つと考えられてきました。
• {7/2}と{7/3}の星形多角形（七芒星）も、特にカバラやウィッカにおいて、オカルト的な意味を持っています。
• {8/3}星形多角形（八芒星）は、ムガル・イスラム美術や建築において頻繁に見られる幾何学的モチーフであり、その最初の例はアゼルバイジャンの国章に見られる。
• シャー・ネマトッラー・ヴァリの墓には、ヘンデカグラムと呼ばれる11芒星が使われていた。^{[ 11 ]}

• 五芒星– 現代文化における一般的な表意文字 
• 正多面体と化合物の一覧 § 星
• 魔法の星– 星の上に特別な数字の配置 
• モラヴィアの星– クリスマスの飾り 
• ペンタグラマ・ミリフィカム– 5角形の星形多角形 
• 正星4多面体
• ルブ・エル・ヒズブ– 八芒星の形をしたイスラムのシンボル 
• 星（文字）– 活字記号 
• 星型多面体– 非凸性のパターンを持つ多面体 
  • ケプラー・ポアンソ多面体– 4つの正星型多面体のいずれか 
  • 一様星型多面体– 自己交差する一様多面体 
• ヒトデ– 棘皮動物門に属する海洋動物 

• クロムウェル、P.;多面体、CUP、ハードカバー、1997年、ISBN 0-521-66432-2ペーパーバック。1999年、ISBN 0-521-66405-5175ページ
• グリュンバウム、B.および GC シェパード;タイリングとパターン、ニューヨーク: WH フリーマン & Co. (1987)、ISBN 0-7167-1193-1。
• Grünbaum, B. ; 中空面を持つ多面体、NATO-ASI 多面体に関する会議議事録...など (トロント、1993 年)、T. Bisztriczky他編、Kluwer Academic (1994)、pp. 43–70。
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・ブルギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス、『物の対称性』、2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、404ページ：正星型多面体 次元2）
• ブランコ・グリュンバウム、「多角形の変形」 、 『数学の明るい側面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンス記念会議議事録』（1994年）に掲載。

ハート、ヴィ（2015）。 「数学の授業での落書き：星」。Vimeo 。