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幾何学において、九面体（きゅうめんたい、またはきゅうめんのう）は、 9つの面を持つ多面体である。凸九面体には2606種類あり、それぞれ頂点、辺、面の接続パターンが異なっている。[1]いずれも正則ではない。
例
最もよく知られている九面体は、八角錐と七角柱です。 七角柱は均一な多面体で、2 つの正七角形の面と 7 つの正方形の面があります。八角錐は、正八角形の底面の周りに 8 つの二等辺三角形の面があります。ジョンソン立体には、さらに 2 つの九面体、細長い四角錐と細長い三角両錐も含まれています。6 つの五角形の面と 3 つの四辺形の面を持つ 3 次元の連合面体は、九面体です。5 つのジョンソン立体には、三角キューポラ、回転伸長四角錐、自己双対細長い四角錐、三拡大三角柱(その双対が連合面体)、および三縮小二十面体、が九面体の双対です。もう 1 つの九面体は、正方形の底面と 4 つの凧形面と 4 つの三角形面を持つ縮小台形です。
ハーシェルグラフは、すべての面が四辺形である上記のハーシェル九面体の頂点と辺を表しています。これはハミルトン閉路を持たない最も単純な多面体であり、[2]すべての面の辺の数が同じである唯一の凸九面体であり、[3]わずか3つの二部凸九面体のうちの1つです。[4]
等スペクトル 多面体グラフの最小のペアは、それぞれ8つの頂点を持つ九面体である。[5]
空間を埋め尽くすエニアヘドラ
菱形十二面体を、その四つの面の長い対角線で半分に切ると、1つの大きな正方形の面、4つの菱形の面、4つの二等辺三角形の面を持つ、自己双対の九面体、正方形縮小台形が得られます。菱形十二面体自体と同様に、この形状は3次元空間をモザイク状に並べるのに使用できます。 [6]空間をタイル張りするこの形状の細長い形は、12世紀のロマネスク様式の聖母マリア大聖堂（マーストリヒト）の裏側の塔の上に見ることができます。塔自体は、4つの五角形の面、4つの屋根のファセット、正方形のベースを備え、空間を満たすもう1つの九面体を形成します。
より一般的には、ゴールドバーグ（1982）は少なくとも40個の位相的に異なる空間充填エニアヘドラを発見した。[7]
位相的に異なる九面体
位相的に異なる凸型エニアヘドラは鏡像を除いて2606個ある。これらはそれぞれ7～14の頂点を持つ8、74、296、633、768、558、219、50のサブセットに分けられる。 [8]これらの数字の表と9頂点のエニアヘドラの詳細な説明は、1870年代にトーマス・カークマンによって初めて出版された。[9]
参考文献
- ^ スティーブン・ダッチ: 多面体はいくつあるか? 2010-06-07 にWayback Machineでアーカイブ
- ^ バーネット、デイビッド; ジュコビッチ、アーネスト (1970)、「3次元多面体上のハミルトン回路」、組合せ理論ジャーナル、9 (1): 54–59、doi : 10.1016/S0021-9800(70)80054-0
- ^ 握手補題によれば、奇数の面を持つ面正多面体は、偶数の辺を持つ面を持つ必要があり、凸多面体の場合、その辺は四辺形のみである。四辺形面を持つ多面体の双対グラフの列挙は、Broersma, HJ; Duijvestijn, AJW; Göbel, F. (1993)、「八面体グラフからすべての 3 接続 4 正則平面グラフを生成する」、Journal of Graph Theory、17 (5): 613–620、doi :10.1002/jgt.3190170508、MR 1242180によって与えられている。619 ページの表 1 には、9 つの面を持つものが 1 つだけあることが示されています。
- ^ ディレンコート、マイケル B. (1996)、「小さな秩序の多面体とそのハミルトン特性」、組み合わせ理論ジャーナル、シリーズ B、66 (1): 87–122、doi :10.1006/jctb.1996.0008、MR 1368518; 表IX（102ページ）を参照。
- ^ 細谷 治夫、長島 雲平、日向寺 幸子 (1994)、「トポロジカル ツイン グラフ。8 つの頂点を持つ最小の等スペクトル多面体グラフのペア」、Journal of Chemical Information and Modeling、34 (2): 428–431、doi :10.1021/ci00018a033。
- ^ クリッチロー、キース（1970）、空間の秩序：デザインのソースブック、ヴァイキングプレス、p.54。
- ^ ゴールドバーグ、マイケル (1982)、「空間充填エニアヘドラについて」、Geometriae Dedicata、12 (3): 297–306、doi :10.1007/BF00147314、S2CID 120914105。
- ^ 多面体を数える
- ^ Biggs, NL (1981)、「TP カークマン、数学者」、ロンドン数学会誌、13 (2): 97–120、doi :10.1112/blms/13.2.97、MR 0608093。
外部リンク
- スティーブン・ダッチによる多面体の列挙
- ワイスシュタイン、エリック W.、「ノナヘドロン」、MathWorld