八面体対称性

正八面体には、24 の回転対称性 (または方向保存対称性) と合計 48 の対称性があります。これらには、反射と回転を組み合わせた変換が含まれます。立方体には、八面体の双対である多面体であるため、同じ一連の対称性があります。

方向保存対称性のグループは S ₄、つまり対称グループ、または 4 つのオブジェクトの順列のグループです。これは、立方体の 4 つの対角線の各順列に対して、このような対称性が 1 つだけ存在するためです。

キラルおよび完全（またはアキラル）八面体対称性は、並進対称性と互換性のある最大の対称群を持つ離散点対称性（または同等の球面上の対称性）です。これらは、立方晶系の結晶学的点群の1つです。

3 次元の超八面体群である完全八面体群は花輪積 であり、その元をおよび のペア( m , n )として識別するのが自然な方法です。しかし、これは直積S ₄ × S ₂でもあるため、四面体部分群 T _dの元をとして、その反転を として簡単に識別できます。 ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}}$
${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$${\displaystyle n\in [0,3!)}$
${\displaystyle a\in [0,4!)}$${\displaystyle a'}$

たとえば、恒等式(0, 0)は 0 として表され、反転式(7, 0) は0′ として表されます。
(3, 1) は6 として表され、(4, 1) は6′ として表されます。

ローター反射は回転と反射の組み合わせです。

O、432、または位数 24 の[4,3] ^{+ は、}キラル八面体対称性または回転八面体対称性です。この群はキラル四面体対称性Tに似ていますが、C ₂軸が C ₄軸になり、さらに立方体の辺の中点を通る6 つの C ₂軸があります。T _dと O は抽象群として同型です。つまり、どちらも4 つのオブジェクトの対称群S _{4に対応します。T dは、T と、O \ T の各要素を反転して組み合わせることで得られるセットの和集合です。O は、}立方体と正八面体の回転群です。

O _h、*432、[4,3]、または位数 48 のm3m –アキラル八面体対称性または完全八面体対称性。この群は O と同じ回転軸を持ちますが、鏡面を持ち、 T _dと T _hの両方の鏡面を含みます。この群は S ₄ .C ₂と同型であり、立方体と八面体の完全対称群です。これはn = 3のときの超八面体群です。立方体の等長変換も参照してください。

4 倍軸を座標軸として、O _hの基本領域は 0 ≤ x ≤ y ≤ zで与えられます。この対称性を持つオブジェクトは、基本領域内のオブジェクトの部分によって特徴付けられます。たとえば、立方体はz = 1で与えられ、八面体はx + y + z = 1 (または、表面ではなく立体を取得するには、対応する不等式) で与えられます。ax + by + cz = 1 は、 2面体 12 面体などの 48 面を持つ多面体になります。

面は、 a = b = 0 (立方体)の場合は 8 x 8 の大きな面に結合され、 a = b = c (八面体)の場合は 6 x 6 の大きな面に結合されます。

完全な八面体対称性の 9 つの鏡像線は、 3 と 6 (紫と赤で描画) の 2 つのサブグループに分けられ、 2 つの直交部分対称性D _2hとT _dで表されます。 D _{2h対称性は、 3 つの方向のいずれかから 2 つの鏡像を復元することで、 D 4h}に倍増できます。

すべての 3×3順列行列の集合を取り、3 つの 1 のそれぞれに + または - の符号を割り当てます。順列と符号の組み合わせは合計 48 個の行列で、完全な八面体群が得られます。これらの行列のうち 24 個の行列式は +1 です。これらは、カイラル八面体群の回転行列です。他の 24 個の行列式は -1 で、反射または反転に対応します。 ${\displaystyle 3!=6}$${\displaystyle 2^{3}=8}$

八面体対称性には、コクセター・ディンキン図の 3 つの鏡を表す 3 つの反射生成行列が必要です。反射の積によって 3 つの回転生成行列が生成されます。

立方体には 48 個の等​​長写像（対称要素）があり、対称群O _hを形成し、S ₄  × Z ₂と同型です。これらは次のように分類できます。

• O (恒等回転と 23 の適切な回転) は、次の共役類を持ちます(括弧内には、体の対角線の順列と単位四元数表現が与えられています)。
  • アイデンティティ（アイデンティティ；1）
  • ある面の中心から反対側の面の中心までの軸の周りの 90° の回転: 3 つの軸、各軸につき 2 つ、合計 6 ((1 2 3 4)、など; ((1 ±  i  )/ √ 2、など)
  • 180°の角度で同じ：3つの軸、軸ごとに1つ、合わせて3つ（（1 2）（3 4）、など、i、j、k）
  • ある辺の中心から反対側の辺の中心までの軸の周りを 180° 回転する回転。6 つの軸、各軸に 1 つずつ、合わせて 6 ((1 2) など、(( i  ±  j  )/ √ 2など)
  • 体の対角線を中心に 120° 回転: 4 つの軸、各軸に 2 つずつ、合計 8 つ ((1 2 3) など、(1 ±  i  ±  j  ±  k )/2)
• 反転も同様です( x は- xにマッピングされます) (等長変換も 24 種類あります)。軸の周りの 180° の回転と反転を組み合わせると、垂直面の反射に過ぎないことに注意してください。反転と、体の対角線の周りの 120° の回転を組み合わせると、体の対角線の周りの 60° の回転と、垂直面の反射が組み合わされます (回転自体は立方体をそれ自体にマッピングしません。反射面と立方体の交点は正六角形です)。

立方体の等長変換は、さまざまな方法で識別できます。

• 面によって、隣接する３つの面（サイコロの１、２、３など）が
• 立方体の片面に非対称のマークがあるイメージ：マークのある面、それが正像か鏡像か、そしてその向き
• 4つの対角線の順列（24通りの順列が可能）と、立方体の反転のトグルの組み合わせによって、または

色やマークのある立方体（サイコロなど）の場合、対称群は O _hのサブグループです。

例:

• C _4v、[4]、(*422): 1つの面が異なる色を持っている場合(または2つの向かい合った面が互いに異なる色を持ち、他の4つの面とも異なる色を持っている場合)、立方体には2Dの正方形と同様に8つの等長変換が存在します。
• D _2h、[2,2]、(*222): 向かい合う面が同じ色で、2面ごとに色が異なっている場合、立方体には直方体と同様に8つの等長変換が存在します。
• D _4h、[4,2]、(*422): 向かい合う2つの面が同じ色で、他のすべての面が1つの異なる色である場合、立方体には四角柱(正方形の箱)のような16の等長投影が存在します。
• C _2v、[2]、(*22):
  • 隣接する 2 つの面が同じ色で、他のすべての面が異なる色である場合、立方体には 4 つの等長投影が存在します。
  • 3 つの面のうち、互いに向かい合う 2 つの面が 1 つの色で、他の 3 つの面が別の色である場合、立方体には 4 つの等長投影面があります。
  • 向かい合う 2 つの面が同じ色で、他の向かい合う 2 つの面も色が同じで、最後の 2 つの面が異なる色である場合、立方体には 4 つの等長写像があり、これは鏡映対称の形状を持つ白紙のようになります。
• C _s、[ ]、(*):
  • 隣接する 2 つの面の色が異なり、他の 4 つの面の色が 3 色目の場合、立方体には 2 つの等長投影面があります。
  • 向かい合う 2 つの面が同じ色で、他のすべての面が異なる色である場合、立方体には、非対称の白紙のように 2 つの等長投影面があります。
• C _3v、[3]、(*33): 互いに向かい合っていない3つの面が1つの色を持ち、他の3つの面が別の色を持つ場合、立方体には6つの等長変換があります。

いくつかのより大きなサブグループの場合、そのグループを対称グループとする立方体は、面全体を単に色付けするだけでは作成できません。面に何らかのパターンを描く必要があります。

例:

• D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2): 1 つの面に、その面を 2 つの等しい長方形に分割する線分があり、反対側にも垂直方向に同じ線分がある場合、立方体には 8 つの等長変換があります。対称面と、その平面に対して 45° の角度の軸を持つ 2 回回転対称性があり、その結果、最初の対称面に対して垂直な別の対称面と、最初の対称面に対して垂直な別の 2 回回転対称軸も存在します。
• T _h , [3 ⁺ ,4], (3*2): 各面を2つの等しい長方形に分割する線分があり、隣接する面の線分が辺で交わらない場合、立方体には24の等長変換（体の対角線の均等な順列と反転（x は− xにマッピングされる））が存在します。
• T _d , [3,3], (*332): 立方体が 8 つの小さな立方体 (4 つは白、4 つは黒) で構成され、3 つの標準方向すべてで交互に組み合わされている場合、立方体には再び 24 の等長変換があります。今回は、体の対角線の均等な順列と、他の適切な回転の逆です。
• T, [3,3] ⁺ , (332): 各面が2回回転対称の同じパターン（例えば文字S）を持ち、すべての辺で1つのSの頂点が他のSの辺と接する場合、立方体には12の等長変換（体の対角線の均等な順列）があります。

立方体O _h , [4,3], (*432)の完全な対称性は、すべての面が同じパターンを持ち、正方形の完全な対称性が保存される場合にのみ保存され、正方形には8次の対称群Dih ₄ , [4]があります。

適切な回転による立方体の完全な対称性O, [4,3] ^{+ , (432)は、すべての面が}4回回転対称性Z ₄ , [4] ⁺と同じパターンを持つ場合にのみ保持されます。

リーマン面理論では、ボルツァ面（ボルツァ曲線とも呼ばれる）は、リーマン球面の分岐二重被覆として得られ、分岐軌跡は正内接八面体の頂点集合にある。その自己同型群には、被覆の2枚のシートを反転する超楕円反転が含まれる。超楕円反転によって生成される位数2の部分群による商は、八面体の対称群とまったく同じになる。ボルツァ面の多くの注目すべき特性の中には、種数2のすべての双曲面の中でシストールを最大化するという事実がある。

• 四面体対称性
• 二十面体対称性
• 二元八面体群
• 超八面体群
• Wikiversity の完全八面体群に関する学習教材

• ピーター・R・クロムウェル『多面体』（1997年）、295ページ
• 物事の対称性2008、ジョン H. コンウェイ、ハイディ バーギエル、チャイム グッドマン シュトラウス、ISBN  978-1-56881-220-5
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
• NW ジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、11.5 球面コクセター群 

• Weisstein、Eric W.「八面体群」。MathWorld。
• グループプロップ: S4 と Z2 の直積