幾何学と位相

数学において、幾何学と位相幾何学は、歴史的に別個の分野である幾何学と位相幾何学を包括する用語であり、一般的な枠組みによって両方の分野を統一的に操作できるようになっていることから、そのことが最も顕著に表れているのが、リーマン幾何学における局所定理から大域定理、ガウス・ボネの定理やチャーン・ヴェイユの理論のような結果である。

ただし、以下で説明するように、幾何学と位相幾何学の間には明確な区別があります。^{[説明が必要]}

これは、これらのトピックを扱う ジャーナル「Geometry & Topology」のタイトルでもあります。

これは、より狭義にはトポロジーを幾何学に適用する「幾何学的トポロジー」とは異なります。

含まれるもの:

• 微分幾何学と位相幾何学
• 幾何学的位相幾何学（低次元位相幾何学、手術理論を含む）

ホモトピー理論のような代数的位相幾何学の部分は含まれませんが、幾何学と位相幾何学のいくつかの領域（外科手術理論、特に代数的外科手術理論など）は代数的な要素が強いです。

幾何学には局所的な構造（または無限小）がありますが、位相幾何学には大域的な構造しかありません。あるいは、幾何学には連続的な モジュラスがありますが、位相幾何学には離散的なモジュラスがあります。

たとえば、幾何学の例としてはリーマン幾何学があり、位相幾何学の例としてはホモトピー理論があります。距離空間の研究は幾何学であり、位相空間の研究は位相幾何学です。

これらの用語は完全に一貫して使用されているわけではありません。シンプレクティック多様体は境界ケースであり、粗い幾何学は局所的ではなく全体的です。

定義により、固定次元の微分可能多様体はすべてユークリッド空間に局所的に微分同相であるため、次元以外に局所不変量は存在しません。したがって、多様体上の微分可能構造は本質的に位相的です。

対照的に、リーマン多様体の曲率は局所的（実際は無限小）不変量です^{[説明が必要] （そして}等長変換の下で唯一の局所的不変量です）。

構造が離散的な係数を持つ場合（変形がない場合、または構造の変形が元の構造と同型である場合）、その構造は剛性であると言われ、その研究対象は（幾何学的または位相的な構造である場合）、位相幾何学です。構造が非自明な変形を持つ場合、その構造は柔軟であると言われ、その研究対象は幾何学です。

写像のホモトピー類の空間は離散的であるため、 ^[a]ホモトピーまでの写像を研究することが位相幾何学である。同様に、多様体上の微分可能構造は通常は離散空間であり、したがって位相幾何学の例であるが、エキゾチックなR ⁴は微分可能構造の連続モジュライを持つ。

代数多様体は連続モジュライ空間を持つため、代数幾何学で研究されます。これらは有限次元モジュライ空間です。

与えられた微分可能多様体上のリーマン計量の空間は無限次元空間です。

シンプレクティック多様体は境界ケースであり、その研究の一部はシンプレクティック位相幾何学およびシンプレクティック幾何学と呼ばれます。

ダルブーの定理によれば、シンプレクティック多様体には局所構造がないため、その研究は位相幾何学と呼ばれるべきである。

対照的に、多様体上のシンプレクティック構造の空間は連続的なモジュライを形成し、その研究は幾何学と呼ばれることを示唆しています。

しかし、同位体までは、シンプレクティック構造の空間は離散的である（シンプレクティック構造の任意の族は同位体である）。^[1]