確率と統計の表記

確率論と統計には、標準的な数学表記法と数学記号に加えて、一般的に使用される規則がいくつかあります。

• ランダム変数は通常、またはなどのように大文字のローマ字で表記されます。この文脈では、ランダム変数は通常、連続変数の場合は「被験者の身長」、離散変数の場合は「学校の駐車場にある車の数」、カテゴリ変数の場合は「隣の自転車の色」のように、言葉で表されます。ランダム変数は単一の数値や単一のカテゴリを表すわけではありません。たとえば、 と表記される場合、ランダム変数の特定の実現（身長、車の数、自転車の色など）Xが特定の値またはカテゴリ（1.735 m、52、紫など） に等しい確率を表します。と を混同して同じ意味にしないことが重要です。はアイデアで、は値です。明らかにこれらは関連していますが、意味が同一ではありません。${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\displaystyle P(X=x)}$${\textstyle x}$${\textstyle X}$${\textstyle x}$${\textstyle X}$${\textstyle x}$
• ランダム変数の特定の実現は、対応する小文字で表記されます。たとえば、はランダム変数 に対応する サンプルです。累積確率は、ランダム変数とその実現を区別するために正式に表記されます。^[1]${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\textstyle X}$${\displaystyle P(X\leq x)}$
• 確率は、他の関数と区別するために、また「 P は確率である」と定義しなくて済むようにP を測定するために と書かれることがあります。 は の略で、 は事象空間、は の関数である（つまり に依存する）ランダム変数、 はによって指定されたドメイン内の関心のある結果（たとえば、特定の高さや車の特定の色）です。表記法が代わりに使用されます。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)}$${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \Pr(A)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)}$または は、イベントAとイベントBの両方が発生する確率を示します。ランダム変数XとYの結合確率分布は と表され、結合確率質量関数または確率密度関数は と表され、結合累積分布関数は と表されます。${\displaystyle \mathbb {P} [B\cap A]}$${\displaystyle P(X,Y)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle F(x,y)}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)}$または、イベントAまたはイベントBのいずれかが発生する確率を示します(この場合の「または」は、いずれか一方または両方を意味します)。${\displaystyle \mathbb {P} [B\cup A]}$
• σ-代数は通常、大文字のカリグラフィで書かれます（例えば、確率Pを定義する集合の集合）。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 確率密度関数(pdf) と確率質量関数は、 、 または のように小文字で表されます。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{X}(x)}$
• 累積分布関数(cdf) は、 、 または のように大文字で表されます。${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle F_{X}(x)}$
• 生存関数または補完累積分布関数は、累積の記号の上に上線を付けて表記されることが多い。または、 と表記される。${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$${\displaystyle S(x)}$
• 特に、標準正規分布の pdfは で表され、その cdf は で表されます。${\textstyle \varphi (z)}$${\textstyle \Phi (z)}$
• 一般的な演算子:

• ${\textstyle \mathrm {E} [X]}$ : Xの期待値
• ${\textstyle \operatorname {var} [X]}$ : Xの分散
• ${\textstyle \operatorname {cov} [X,Y]}$ : XとYの共分散

• XはYから独立している、またはと書かれることが多い。また、XはYから独立している、WはYから独立している、と書かれることが多い。${\displaystyle X\perpY}$${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\,|\,W}$または

${\displaystyle X\perp Y\,|\,W}$

• ${\displaystyle \textstyle P(A\mid B)}$条件付き確率は、与えられた^[2]の確率である。${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

• ギリシャ文字（例：θ、β）は、未知のパラメータ（母数パラメータ）を表すためによく使用されます。^[3]
• チルダ (~) は「確率分布を持つ」ことを示します。
• 真のパラメータの上にハット記号またはキャレット（サーカムフレックスとも呼ばれる）を置くと、そのパラメータの推定値を表します。たとえば、は の推定値です。${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$${\displaystyle \theta}$
• 一連の値の算術平均は、多くの場合、記号の上に「オーバーバー」を配置して示されます ( 「バー」と発音)。${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\textstyle x}$
• サンプル統計でよく使用される記号をいくつか以下に示します。
  • 標本平均 、${\displaystyle {\bar {x}}}$
  • 標本分散 、${\textstyle s^{2}}$
  • 標本標準偏差 、${\textstyle s}$
  • 標本相関係数 、${\textstyle r}$
  • サンプルキュムラント。${\textstyle k_{r}}$
• 人口パラメータによく使用される記号をいくつか以下に示します。
  • 人口平均、${\textstyle \mu }$
  • 母集団分散、${\textstyle \sigma ^{2}}$
  • 母集団の標準偏差、${\textstyle \sigma }$
  • 人口相関 、${\textstyle \rho }$
  • 人口キュムラント 、${\textstyle \kappa _{r}}$
• ${\displaystyle x_{(k)}}$は順序統計量として使用され、ここではサンプル最小値、 は総サンプルサイズ からのサンプル最大値です。^[4]${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle x_{(1)}}$${\displaystyle x_{(n)}}$${\textstyle n}$

確率分布のαレベルの上限臨界値は、確率 で超過する値、つまり となる値です。ここで は累積分布関数です。統計でよく使用される分布の上限臨界値には、標準的な表記法があります。 ${\textstyle \alpha }$${\textstyle x_{\alpha }}$${\textstyle F(x_{\alpha })=1-\alpha }$${\textstyle F}$

• ${\textstyle z_{\alpha }}$または標準正規分布の場合${\textstyle z(\alpha )}$
• ${\textstyle t_{\alpha ,\nu }}$または自由度を持つt分布の場合${\textstyle t(\alpha ,\nu )}$${\textstyle \nu }$
• ${\displaystyle {\chi _{\alpha ,\nu }}^{2}}$または自由度を持つカイ二乗分布の場合${\displaystyle {\chi }^{2}(\alpha ,\nu )}$${\textstyle \nu }$
• ${\displaystyle F_{\alpha ,\nu _{1},\nu _{2}}}$または自由度が のF分布の場合${\textstyle F(\alpha ,\nu _{1},\nu _{2})}$${\textstyle \nu _{1}}$${\textstyle \nu _{2}}$

• 行列は通常、太字の大文字で表されます。例: 。${\textstyle {\mathbf {A}}}$
• 列ベクトルは通常、太字の小文字で表されます (例 ) 。${\textstyle {\mathbf {x}}}$
• 転置演算子は、上付き文字 T (例) またはプライム記号(例) のいずれかで表されます。${\textstyle {\mathbf {A}}^{\mathrm {T} }}$${\textstyle {\mathbf {A}}'}$
• 行ベクトルは列ベクトルの転置として表されます。たとえば、または です。${\textstyle {\mathbf {x}}^{\mathrm {T} }}$${\textstyle {\mathbf {x}}'}$

一般的な略語は次のとおりです。

• ほとんどどこでも
• ほぼ確実に
• cdf 累積分布関数
• CMF 累積質量関数
• df 自由度（また）${\displaystyle \nu }$
• iid 独立かつ同一に分布する
• pdf 確率密度関数
• pmf 確率質量関数
• rv ランダム変数
• 確率wp ;確率wp1 1
• io無限に頻繁に、すなわち${\displaystyle \{A_{n}{\text{ i.o.}}\}=\bigcap _{N}\bigcup _{n\geq N}A_{n}}$
• 最終的に、すなわち${\displaystyle \{A_{n}{\text{ ult.}}\}=\bigcup _{N}\bigcap _{n\geq N}A_{n}}$

• 確率と統計の用語集
• 組み合わせと順列
• 数学表記法の歴史

• 確率と統計における記号の最も初期の使用法。Jeff Miller が管理しています。