射影的に拡張された実数直線

実解析において、射影的に拡張された実数直線（実数直線の一点コンパクト化とも呼ばれる）は、実数の集合を点∞で表す拡張である。^[1]したがって、これは標準的な算術演算が可能な範囲で拡張された集合であり、^{[1]時には[2]}またはで表す。追加された点は、実数直線の両端に隣接する点と見なされるため、無限大点 と呼ばれる。より正確には、無限大点は、絶対値が増加し無制限である実数列の極限である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

射影的に拡張された実数直線は、3 つの点に特定の値0、1、∞が割り当てられた実射影直線と同一視できます。射影的に拡張された実数直線は、+∞と−∞が異なるアフィン拡張された実数直線とは異なります。

ほとんどの数学的数値モデルとは異なり、この構造ではゼロ除算が可能です。

${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$

となる。特に、1 / 0 = ∞かつ1 / ∞ = 0であるため、この構造では逆 関数 1 / x は全関数となる。 ^{[1]ただし、この構造は}体ではなく、 2項算術演算はいずれも全関数ではない。たとえば、逆数が全関数であっても、 0 ⋅ ∞は未定義である。^[1]ただし、この構造には使用可能な解釈があり、たとえば、幾何学では、垂直線の傾きは∞である。^[1]

射影的に拡張された実数直線は、慣例的に∞と呼ばれる単一の点を追加することによって、リーマン球面が複素数体を拡張するのと同じ方法で実数体を拡張します。

対照的に、アフィン拡張された実数直線（実数直線の2点コンパクト化とも呼ばれる）は、 +∞と−∞を区別します。

順序関係は、意味のある形でに拡張することはできません。数a ≠ ∞が与えられた場合、 a > ∞またはa < ∞を定義する説得力のある議論はありません。∞ は他のどの要素とも比較できないため、 でこの関係を保持する意味はありません。^[2]ただし、での定義では の順序が使用されます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

∞ は他の点と何ら変わらない点であるという考えの根本は、実射影直線が同次空間であり、実際は円に同相であるという点です。たとえば、2 × 2 の実可逆行列の一般線型群には推移作用があります。群作用は、線型分数変換の分母が0のとき、像が∞であるという理解のもと、メビウス変換(線型分数変換とも呼ばれる)によって表現できます。

作用の詳細な分析により、任意の 3 つの異なる点P、Q、Rに対して、 Pを 0 に、Qを 1 に、Rを∞にする線形分数変換が存在することが示されます。つまり、線形分数変換のグループは、実射影直線上で3 重推移的です。複比は不変であるため、これを 4 組の点に拡張することはできません。

点が の1次元線形部分空間と 1 対 1 で対応しているので、射影直線という用語が適切です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

この空間での算術演算は、実数での同じ演算の拡張です。新しい定義の動機は、実数の関数の 極限です。

のサブセット に対する標準的な演算に加えて、以下に示す例外を除き、 に対して以下の演算が定義されています: ^{[3] [2]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle a\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}}$

以下の式は実関数の極限を考慮して導き出すことはできず、また、それらの定義によって、定義されたすべてのケースに対して標準的な代数的性質の記述を形式を変えずに保持することはできない。^[a]そのため、それらは未定義のままである。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}}$

指数関数 はまで拡張できない。^[2]${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

以下の等式は、両辺が未定義か、両辺が定義されていて等しいかのいずれかを意味します。これは、${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}}$

関係する式が定義されている場合は、次の式が成り立ちます。${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}}$

一般に、 に有効なすべての算術法則は、出現するすべての式が定義されている場合は常に にも有効です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

区間の概念はに拡張できます。ただし、 は順序付き集合ではないため、区間の意味は少し異なります。閉区間の定義は次のとおりです（ と仮定します ）: ^{[2] [追加の引用が必要]}${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}}$

端点が等しい場合を除き、対応する開区間と半開区間は、それぞれの端点を削除することによって定義されます。この再定義は、区間演算で0を含む区間で割るときに役立ちます^。[2]

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$空集合も区間であり、任意の一点を除外したものも同様である。 ^[b]${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

開区間を基底として用いると、上の位相が定義される。 基底として十分なのは、の有界開区間と、 となるすべての の区間である。${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a<b.}$

前述のように、位相は円に同相である。したがって、 （与えられた同相に対して）この円上の通常の計量（直線または円に沿って測定）に対応して計量化可能である。通常の計量の拡張となる計量は存在しない。${\displaystyle \mathbb {R} .}$

区間演算はからに拡張されます。区間の算術演算の結果は常に区間になります。ただし、2 項演算を伴う区間に互換性のない値が含まれており、未定義の結果になる場合は除きます。^[c]特に、任意の に対して、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,}$

どちらの区間にも0と∞ が含まれているかどうかは関係ありません。

微積分のツールは の関数を分析するために使用できます。定義はこの空間の位相に基づいています。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

とします。 ${\displaystyle x\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}}$

• A がxの近傍であるとは、Aがx を含む開区間Bを含む場合です。
• となる実数yが存在し、A が半開区間 を含む場合、 A はxの右側近傍です。${\displaystyle y\neq x}$${\displaystyle [x,y)}$
• となる実数yが存在し、A が半開区間 を含む場合、 A はxの左側近傍です。${\displaystyle y\neq x}$${\displaystyle (y,x]}$
• Aがxのパンクチャード近傍（それぞれ右側または左側のパンクチャード近傍）であるとは、 がxの近傍（それぞれ右側または左側の近傍）である場合をいう。${\displaystyle x\not \in A,}$${\displaystyle A\cup \{x\}}$

とします。 ${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},}$ ${\displaystyle p\in {\widehat {\mathbb {R} }},}$${\displaystyle L\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

x がp に近づくときのf  ( x )の極限はLであり、

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$

であるとき、そしてそのときに限り、 Lの任意の近傍Aに対して、 pの穴の開いた近傍B が存在し、したがって である。 ${\displaystyle x\in B}$${\displaystyle f(x)\in A}$

x が右（左）からpに近づくときのf  ( x )の片側極限はLであり、

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),}$

であるとき、そしてそのときに限り、Lの任意の近傍Aに対して、 pの右側（左側）の穴あき近傍B が存在し、${\displaystyle x\in B}$${\displaystyle f(x)\in A.}$

および の両方が成立する場合に限り、 であることが示されます。 ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L}$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L}$

上記の定義は、実関数の極限の通常の定義と比較することができます。次の文では、最初の極限は上記の定義と同じであり、2 番目の極限は通常の意味です。 ${\displaystyle p,L\in \mathbb {R} ,}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$は、${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L}$は、${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L}$は、${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=\infty }$は、${\displaystyle \lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty }$は、${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty }$は、${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty }$

とする。すると、pがAの極限点となるのは、 pのあらゆる近傍に次の点が含まれる場合のみである。${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle y\in A}$${\displaystyle y\neq p.}$

p をAの極限点とする。 x がAを通ってp に近づくときのf  ( x )の極限はLであり、これはLのすべての近傍Bに対してpの穴あき近傍Cが存在し、したがって次が成り立つ場合に限る。${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle x\in A\cap C}$${\displaystyle f(x)\in B.}$

これは、連続性の通常の位相的定義を、上の部分空間位相に適用し、fをに制限することに対応する。${\displaystyle A\cup \lbrace p\rbrace ,}$${\displaystyle A\cup \lbrace p\rbrace .}$

機能

${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

がpで連続であるとき、そしてそのときに限り、fはpで定義され、

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).}$

関数​ ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},}$

${\displaystyle f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}}$

がAで連続であるためには、任意の に対して、f がpで定義され、 Aを通ってx がpに向かうときのの極限が${\displaystyle p\in A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(p).}$

すべての有理関数 P ( x )/ Q ( x ) （ PとQは多項式 ）は、一意に、 から まで連続する関数に延長できます。特に、多項式関数 の場合がこれに該当します。多項式関数 は、定数でない場合はで値を取ります。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty ,}$

また、正接関数を拡張して ${\displaystyle \tan }$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,}$

は連続であるが、連続する関数までさらに延長することはできない。${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

で連続する多くの基本関数は、で連続する関数に延長することはできない。これは、例えば指数関数やすべての三角関数の場合である。例えば、正弦関数はで連続だが、で連続にできない。上で見たように、正接関数はで連続する関数に延長できるが、この関数はで連続にできない。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \infty .}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \infty .}$

共線域を に拡張すると連続になる不連続関数の多くは、共線域をアフィン拡張された実数系に拡張しても不連続のままです。これは関数 の場合です。一方、 では連続で では不連続である関数の中には、共線域を に拡張すると連続になるものもあります。これは逆正接の場合です。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$

実射影直線を実射影平面の文脈で考えると、デザルグの定理の結果が暗黙的に導かれます。特に、点間の射影調和共役関係の構築は、実射影直線の構造の一部です。たとえば、任意の 2 つの点が与えられた場合、無限遠点はそれらの中点の射影調和共役です。

射影性は調和関係を保存するので、実射影直線の自己同型を形成します。実数は環 上の射影直線の一般的な構成に従って環を形成するので、射影性はホモグラフィとして代数的に記述されます。全体として、それらは群PGL(2,  R )を形成します。

自身の逆である射影性を反転と呼びます。双曲反転には2 つの不動点があります。これらのうち 2 つは、実射影直線上の基本的な算術演算である否定と逆数に対応します。実際、0 と ∞ は否定の下で固定され、1 と -1 は逆数の下で固定されます。

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