総微分

数学では、関数fのある点における全微分は、その点の近くでの関数の引数に関する最良の線形近似です。偏微分とは異なり、全微分は関数を単一の引数だけでなくすべての引数に関して近似します。多くの場合、これはすべての偏微分を同時に考えることと同じです。「全微分」という用語は、主にf が複数の変数の関数である場合に使用されます。これは、f が単一の変数の関数である場合、全微分は関数の通常の微分と同じであるためです。 ^{[1] : 198–203}

を開集合とする。関数が点において（全）微分可能であるとは、 次のような 線形変換が存在することを意味する。${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

線型写像は 、におけるの(全)微分または (全)微分と呼ばれます。全微分の他の表記には、や などがあります。関数は、その定義域のあらゆる点で全微分が存在する場合、 (全)微分可能です。 ${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{a}f}$${\displaystyle Df(a)}$

概念的には、全導関数の定義は、点 におけるが への最良の線形近似であるという考えを表現しています。これは、 によって決定される線形近似の誤差を定量化することで正確にすることができます。そのためには、次のように記述します。 ${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

ここで は近似値の誤差に等しい。 における の導関数が であると言うことは、次の文と同等である。 ${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

ここで、は小文字の o 表記であり、が のときよりもはるかに小さいことを示します。全導関数は、誤差項が ほど小さくなる唯一の線形変換であり、これが への最良の線形近似であるという意味での意味です。 ${\displaystyle o}$${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle \lVert h\rVert }$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$

関数 は、その各成分が微分可能である場合に限り微分可能であるため、全微分を研究する場合、共変域で一度に 1 つの座標を扱うことがしばしば可能である。しかし、同じことは、領域内の座標には当てはまらない。 がで微分可能である場合、各偏微分はに存在することは事実である。逆は成り立たない。 のすべての偏微分はに存在するが、 では微分可能ではないということが起こり得る。これは、関数 が で非常に「粗い」ことを意味し、その動作は座標方向でのその動作では適切に説明できないほど極端である。 がそれほど粗くない場合、これは起こり得ない。より正確には、 のすべての偏微分がで存在し、 の近傍で連続している場合、 はで微分可能である。これが起こる場合、さらに、 の全微分は、その点における偏微分のヤコビ行列に対応する線形変換である。 ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

検討中の関数が実数値である場合、全導関数は微分形式 を使って書き直すことができます。たとえば、 が変数 の微分可能な関数であるとします。におけるの全導関数は、この例では行行列であるヤコビ行列 で表すことができます。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

全微分の線形近似特性は、

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

は小さなベクトル（ここで は転置を表すので、このベクトルは列ベクトルとなる）であり、 ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

経験的に、これは、座標方向の 無限小増分であれば、${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

実際、ここでは単に記号でしかない無限小の概念には、広範な数学的構造を持たせることができます。微分形式理論などの手法は、無限小増分 などのオブジェクトの解析的かつ代数的な記述を効果的に与えます。たとえば、はベクトル空間 上の線型関数として内接させることができます。のベクトル を評価すると、番目の座標方向にどれだけのが向いているかが測定されます。全微分は線型関数の線型結合であるため、それ自体が線型関数です。評価は、においてによって決まる方向にどれだけの が向いているかを測定し、この方向が勾配です。この観点からすると、全微分は外微分のインスタンスになります。 ${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle df_{a}(h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$

ここで、 がベクトル値関数、つまり であるとします。この場合、の成分は実数値関数であるため、微分形式 が関連付けられます。全微分はこれらの形式を 1 つのオブジェクトに統合するため、ベクトル値微分形式のインスタンスになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df_{i}}$${\displaystyle df}$

連鎖律は、全微分に関して特にエレガントな記述を持つ。これは、2つの関数 と に対して、合成関数の全微分が次を満たすこと を述べている。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$

との全導関数がヤコビ行列と同一視される場合、右側の合成は単なる行列の乗算になります。これは、合成関数の引数間の本質的に任意の依存関係を考慮できるようになるため、アプリケーションでは非常に便利です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

f が2 つの変数xとy の関数であるとします。これら 2 つの変数が独立で、 fの定義域が である場合、 fの挙動はx方向とy方向の偏微分によって理解できます。ただし、状況によっては、xとy が従属する場合があります。たとえば、 f が曲線 に制限される場合があります。この場合、実際に関心があるのは合成関数 の挙動です。 xに関するfの偏微分は、xの変化に対するfの真の変化率を与えません。xを変更するとy が必ず変化するためです。ただし、全微分に対する連鎖律は、このような依存関係を考慮に入れています。 と書きます。すると、連鎖律は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=y(x)}$${\displaystyle f(x,y(x))}$${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

全微分をヤコビ行列を使って表すと次のようになります。

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$

読みやすさのために評価を省略すると、次のように書くこともできる。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}$

これにより、の偏導関数と の導関数を用いた の導関数の簡単な式が得られます。 ${\displaystyle f(x,y(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y(x)}$

例えば、

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

fのxに対する変化率は、通常、 fのxに対する偏微分です。この場合、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

しかし、y がxに依存する場合、偏微分はyが固定されていると仮定しているため、 xの変化に対するfの真の変化率を与えません。次の線に制約されていると仮定します。

${\displaystyle y=x.}$

それから

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

そして、 fのxに関する全微分は

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

これは偏導関数と等しくないことがわかります。ただし、 y をxですぐに代入する代わりに、上記のように連鎖律を使用することもできます。 ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

間接的な依存関係を排除するために代入を行うことはよくあるが、連鎖律はより効率的で一般的な手法を提供する。が時間と、それ自体が時間に依存する変数の関数であるとする。すると、 の時間微分は ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

連鎖律は、この導関数を関数の偏導関数と時間導関数で表現します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

この表現は物理学においてラグランジアンのゲージ変換によく使用されます。時間と一般化座標の関数の全時間微分だけが異なる 2 つのラグランジアンは、同じ運動方程式を導くからです。興味深い例として、ホイーラー-ファインマン時間対称理論に関する因果関係の解決が挙げられます。括弧内の演算子 (上記の最後の表現) は、全微分演算子 ( に関して) とも呼ばれます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

例えば、の全微分は ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

ここでは、項自体は独立変数に直接依存しないため、項は存在しません。 ${\displaystyle \partial f/\partial t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$

全微分方程式は、全導関数を用いて表現される微分方程式です。外微分は、技術的な意味を与えることができる意味では座標フリーであるため、このような方程式は、内在的かつ幾何学的です。

経済学では、全微分が連立方程式の文脈で生じることはよくある。^{[1] : pp. 217–220}たとえば、単純な需要供給システムでは、製品の需要量q を、その価格pと消費者の所得I（後者は外生変数）の関数Dとして指定し、生産者による供給量を、その価格と2つの外生資源コスト変数rとw の関数Sとして指定することがある。結果として得られる連立方程式

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

変数pとqの市場均衡値を決定します。たとえば、rに関するpの全導関数は、外生変数rに対する市場価格の反応の符号と大きさを示します。示されたシステムでは、この文脈では比較静的導関数としても知られる合計 6 つの全導関数があります: dp / dr、dp / dw、dp / dI、dq / dr、dq / dw、およびdq / dI 。全導関数は、方程式系を全微分し、たとえばdrで割り、 dq / drとdp / dr を未知数として扱い、 dI = dw = 0に設定し、通常はクラメールの規則を使用して、2 つの全微分方程式を同時に解くことで求められます。 ${\displaystyle dp/dr}$

• 方向微分 – 関数の瞬間的な変化率
• フレシェ微分 - ノルム空間上で定義された微分 - 全微分の一般化
• ガトー微分 – 方向微分の概念の一般化
• 微分の一般化 – 微分積分学の基本構成
• 勾配#全微分 – 多変量微分（数学）

• AD ポリアニンと VF ザイツェフ、「常微分方程式の厳密解ハンドブック（第 2 版）」、 Chapman & Hall/CRC Press、ボカラトン、2003 年。ISBN 1-58488-297-2 
• thesaurus.maths.org の全微分より

• ワイスタイン、エリック・W.「トータル・デリバティブ」。マスワールド。
• ロナルド・D・クリズ（2007）バージニア工科大学の隆起面と接平面を用いた2次元スカラー関数の全微分を想定