外積代数

2次元ユークリッドベクトル空間$\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$は、直交する単位ベクトルのペアからなる基底を備えた実ベクトル空間である。$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}。}$$

仮に $${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2}}$$ は、与えられたベクトルのペアです。$\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$⁠、コンポーネントで記述されています。 独自の平行四辺形があり、${\displaystyle \mathbf {v} }$そして${\displaystyle \mathbf {w} }$その2辺を平行四辺形とする。この平行四辺形の面積は、標準的な行列式の公式で求められる。 $${\displaystyle {\text{面積}}=\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$$

次に、外部積を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {v} }$そして​${\displaystyle \mathbf {w} }$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2})\wedge (c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2})\\&=ac\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\end{aligned}}}$$最初のステップでは、外積の 分配法則を使用します。 2 番目のステップでは、外積が交代写像であるという事実を使用します。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$交代的であるということは、反交換的で あることも意味する。${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})}$最後の行が得られます。この最後の式の係数は、行列[ v w ]の行列式に等しいことに注意してください。これが正または負になる可能性があるという事実は、vとwが定義する平行四辺形の頂点として、反時計回りまたは時計回りの方向に向き付けられる可能性があるという直感的な意味を持ちます。このような領域は平行四辺形の符号付き領域と呼ばれ、符号付き領域の絶対値は通常の領域であり、符号によって向きが決まります。

この係数が符号付き面積であることは偶然ではありません。実際、この面積を代数的構成要素として公理化しようとすると、外積が符号付き面積と関連していることが比較的容易にわかります。具体的には、ベクトルvとwが隣接する2辺を形成する平行四辺形の符号付き面積をA( v , w )とすると、Aは次の性質を満たさなければなりません。

1. 任意の実数rとsに対してA( r v , s w ) = rs A( v , w )が成り立つ。これは、どちらかの辺をリスケールすると面積が同じ量だけリスケールされるためである（また、一方の辺の方向を反転すると平行四辺形の向きが反転する）。
2. A( v , v ) = 0 となるのは、 vによって決定される退化した平行四辺形(つまり線分)の面積がゼロだからである。
3. A( w , v ) = −A( v , w ) 、 vとwの役割を入れ替えると平行四辺形の向きが反転するため。
4. 任意の実数rに対してA( v + r w , w ) = A( v , w )が成り立つ。これは、 vにwの倍数を加えると平行四辺形の底辺も高さも変化せず、結果として面積が維持されるためである。
5. 単位正方形の面積は1なので、A( e ₁ , e ₂ ) = 1 となります。

最後の性質を除いて、2 つのベクトルの外積は面積と同じ性質を満たします。ある意味で、外積は平行四辺形の面積を平行平面上の任意の平行四辺形 (ここでは辺e ₁とe ₂を持つもの) の面積と比較できるようにすることで、最後の性質を一般化しています。言い換えれば、外積は面積の基底に依存しない定式化を提供します。^{[ 5 ]}

ベクトルの場合${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$外積代数は、クロス積と三重積に密接に関係している。標準基底を用いると、${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$2つのベクトルの外積 $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$$ そして $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$$ は $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \,&=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})\\&+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})\\&+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\}}$は三次元空間の自然な基盤である${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!2}(\mathbb {R} ^{3})}$上記の係数は、3 次元におけるベクトルの外積の通常の定義における係数と同じですが、唯一の違いは、外積が通常のベクトルではなく、双ベクトルであることです。

3つ目のベクトルを導入する $${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$$ 3つのベクトルの外積は $${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$は一次元空間の基底ベクトルである${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!3}(\mathbb {R} ^{3})}$スカラー係数は、3つのベクトルの三重積です。

3次元における外積と三重積は、それぞれ幾何学的解釈と代数的解釈の両方を許容する。外積${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$両方に垂直なベクトルとして解釈できる${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$そしてその大きさは、2つのベクトルによって決定される平行四辺形の面積に等しい。また、列ベクトルを持つ行列の小行列式からなるベクトルとして解釈することもできる。${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$の三重積${\displaystyle \mathbf {u} }$、${\displaystyle \mathbf {v} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {w} }$は幾何学的には（符号付き）体積である。代数的には、列を持つ行列の行列式である。${\displaystyle \mathbf {u} }$、${\displaystyle \mathbf {v} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {w} }$3次元における外積も同様の解釈を可能にする。実際、正の向きを持つ正規直交基底が存在する場合、外積はこれらの概念をより高次元に一般化する。

The exterior product is by construction alternating on elements of ⁠${\displaystyle V}$⁠, which means that ${\displaystyle x\wedge x=0}$ for all ${\displaystyle x\in V,}$ by the above construction. It follows that the product is also anticommutative on elements of ⁠${\displaystyle V}$⁠, for supposing that ⁠${\displaystyle x,y\in V}$⁠,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x+y)\wedge (x+y)\\[2mu]&=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y\\[2mu]&=x\wedge y+y\wedge x\end{aligned}}}$

hence

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

More generally, if ${\displaystyle \sigma }$ is a permutation of the integers ⁠${\displaystyle [1,\dots ,k]}$⁠, and ⁠${\displaystyle x_{1}}$⁠, ⁠${\displaystyle x_{2}}$⁠, ..., ⁠${\displaystyle x_{k}}$⁠ are elements of ⁠${\displaystyle V}$⁠, it follows that

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

where ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ is the signature of the permutation⁠${\displaystyle \sigma }$⁠.^[7]

In particular, if ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ for some ⁠${\displaystyle i\neq j}$⁠, then the following generalization of the alternating property also holds:

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Together with the distributive property of the exterior product, one further generalization is that a necessary and sufficient condition for ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$ to be a linearly dependent set of vectors is that

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

The kth exterior power of ⁠${\displaystyle V}$⁠, denoted ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠, is the vector subspace of ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$⁠spanned by elements of the form

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

If ⁠${\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠, then ${\displaystyle \alpha }$ is said to be a k-vector. If, furthermore, ${\displaystyle \alpha }$ can be expressed as an exterior product of ${\displaystyle k}$ elements of ⁠${\displaystyle V}$⁠, then ${\displaystyle \alpha }$ is said to be decomposable (or simple, by some authors; or a blade, by others). Although decomposable ⁠${\displaystyle k}$⁠-vectors span ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠, not every element of ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$ is decomposable. For example, given ⁠${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$⁠ with a basis ⁠${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$⁠, the following 2-vector is not decomposable:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

The exterior product of a k-vector with a p-vector is a ${\displaystyle (k+p)}$-vector, once again invoking bilinearity. As a consequence, the direct sum decomposition of the preceding section

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge ^{\!0}}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!1}}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!2}}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!n}}(V)}$

gives the exterior algebra the additional structure of a graded algebra, that is

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge ^{\!p}}(V)\subset {\textstyle \bigwedge ^{\!k+p}}(V).}$

Moreover, if K is the base field, we have

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \bigwedge ^{\!0}}(V)&=K,\\[2mu]{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)&=V.\end{aligned}}}$

The exterior product is graded anticommutative, meaning that if ${\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$ and ⁠${\displaystyle \textstyle \beta \in \bigwedge ^{\!p}(V)}$⁠, then

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

In addition to studying the graded structure on the exterior algebra, Bourbaki (1989) studies additional graded structures on exterior algebras, such as those on the exterior algebra of a graded module (a module that already carries its own gradation).

Let ${\displaystyle V}$ be a vector space over the field ${\displaystyle K}$. Informally, multiplication in ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ is performed by manipulating symbols and imposing a distributive law, an associative law, and using the identity ${\displaystyle v\wedge v=0}$ for ${\displaystyle v\in V}$. Formally, ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ is the "most general" algebra in which these rules hold for the multiplication, in the sense that any unital associative ${\displaystyle K}$-algebra containing ${\displaystyle V}$ with alternating multiplication on ${\displaystyle V}$ must contain a homomorphic image of ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$. In other words, the exterior algebra has the following universal property:^[8]

To construct the most general algebra that contains ${\displaystyle V}$ and whose multiplication is alternating on ${\displaystyle V}$, it is natural to start with the most general associative algebra that contains ${\displaystyle V}$, the tensor algebra${\displaystyle T(V)}$, and then enforce the alternating property by taking a suitable quotient. We thus take the two-sided ideal${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle T(V)}$ generated by all elements of the form ${\displaystyle v\otimes v}$ for ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V}$, and define ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ as the quotient

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V){\big /}I}$

(and use ${\displaystyle \wedge }$ as the symbol for multiplication in ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$). It is then straightforward to show that ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ contains ${\displaystyle V}$ and satisfies the above universal property.

As a consequence of this construction, the operation of assigning to a vector space ${\displaystyle V}$ its exterior algebra ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ is a functor from the category of vector spaces to the category of algebras.

Rather than defining ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ first and then identifying the exterior powers ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$ as certain subspaces, one may alternatively define the spaces ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$ first and then combine them to form the algebra ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$. This approach is often used in differential geometry and is described in the next section.

Given a commutative ring${\displaystyle R}$ and an ${\displaystyle R}$-module⁠${\displaystyle M}$⁠, we can define the exterior algebra ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (M)}$上記と同様に、テンソル代数の適切な商として${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$⁠。それは類似の普遍的性質を満たします。${\displaystyle \textstyle \bigwedge (M)}$また、${\displaystyle M}$射影加群であること。有限次元を用いる場合、性質はさらに以下を要求する。${\displaystyle M}$有限生成かつ射影的である。最も一般的な状況への一般化は、Bourbaki (1989)に記載されている。

ベクトル束の外積代数は、幾何学や位相幾何学において頻繁に考察される。セル・スワンの定理によれば、有限次元ベクトル束の外積代数と有限生成射影加群の外積代数の代数的性質には本質的な違いはない。加群の層に対しては、より一般的な外積代数を定義することができる。

V が有限次元nを持ち、 Vの基底e ₁ , ..., e _nが与えられていると仮定します。このとき、任意の交代テンソルt ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V )は、アインシュタインの総和規約を用いた添え字表記で次のように書くことができます。

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

ここで、 t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r}は指数に関して完全に反対称である。

階数rとpの 2 つの交代テンソルtとsの外積は次のように表される。

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

このテンソルの成分は、添え字に角括弧で示されるテンソル積s ⊗ tの成分の歪んだ部分と正確に一致する。

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

内部積は、インデックス表記で次のように表すこともできます。${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ランクの反対称テンソルである${\displaystyle r}$⁠。次に、 α ∈ V ^∗に対して、 ⁠${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$はランクの交代テンソルです。${\displaystyle r-1}$⁠、以下によって与えられる

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

ここでnはVの次元である。

2つのベクトル空間VとX、および自然数kが与えられたとき、VkからXへの交代演算子は多重線形写像である^。

${\displaystyle f\colon V^{k}\to X}$

v ₁ , ..., v _kがV内の線形従属ベクトルである場合、

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

地図

${\displaystyle w\colon V^{k}\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V),}$

これは、${\displaystyle k}$ベクトルから${\displaystyle V}$彼らの外部製品、つまり対応する${\displaystyle k}$-ベクトルも交代演算子です。実際、このマップは、で定義された「最も一般的な」交代演算子です。${\displaystyle V^{k};}$他の交代演算子が与えられた場合${\displaystyle f\colon V^{k}\to X,}$一意の線形マップが存在する${\displaystyle \phi \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to X}$と${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ この普遍的な性質は、交代演算子の空間を特徴づける。${\displaystyle V^{k}}$そして、それはその定義として機能し得る。

上記の議論は、次のケースに特化しています。${\displaystyle X=K}$⁠、基底フィールド。この場合、交代多重線形関数

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

これは交代多重線形形式と呼ばれます。すべての交代多重線形形式の集合はベクトル空間です。なぜなら、そのような2つの写像の和、またはそのような写像とスカラーの積は再び交代するからです。外積の普遍性により、次数 の交代形式の空間は${\displaystyle k}$の上${\displaystyle V}$双対ベクトル空間と自然に同型である${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\bigwedge ^{\!k}(V)}{\bigr )}^{*}}$⁠ . もし${\displaystyle V}$が有限次元である場合、後者は自然にと同型である。${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V^{*})}$特に、${\displaystyle V}$は${\displaystyle n}$-次元、交代マップの空間の次元${\displaystyle V^{k}}$に${\displaystyle K}$二項 係数${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$⁠ .

このような識別のもとでは、外部生成物は具体的な形をとる。すなわち、与えられた2つの反対称マップから新しい反対称マップを生成する。${\displaystyle \textstyle \omega \colon V^{k}\to K}$そして​​${\displaystyle \textstyle \eta \colon V^{m}\to K}$これらは2つの反対称写像です。多重線形写像のテンソル積の場合と同様に、それらの外積の変数の数は、それらの変数の数の合計になります。外積の要素を多重線形形式と同一視する方法の選択に応じて、外積は次のように定義されます。

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

または

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

ここで、基底フィールドの特性が${\displaystyle K}$が 0 の場合、多重線形マップの交代 Alt は、その変数のすべての順列にわたる符号調整値の平均として定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

現場が${\displaystyle K}$有限特性を持つ場合、階乗や定数を含まない第2式の同等バージョンは適切に定義されます。

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

ここでSh _{k , m} ⊂ S _{k + m}は、( k , m )シャッフルの部分集合です。これは、集合{1, 2, ..., k + m }の順列σで、 σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k )およびσ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m )を満たすものです。これは非常に具体的で微調整されているように見えるかもしれませんが、同等の生のバージョンは、上記の式でS _{k + m} / ( S _k × S _m )の左剰余類の順列について合計することです。

仮に${\displaystyle V}$は有限次元です。${\displaystyle V^{*}}$ベクトル空間の双対空間を表す${\displaystyle V}$⁠、次に各⁠${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$代数上に反微分を定義することが可能です。${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$⁠、 $${\displaystyle \iota _{\alpha }\colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k-1}}(V).}$$

この導出は、内積と呼ばれます。${\displaystyle \alpha }$⁠、または挿入演算子、またはによる縮約⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ .

仮に​${\displaystyle \textstyle w\in \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠。それから${\displaystyle w}$は多重線形写像である${\displaystyle V^{*}}$へ​${\displaystyle K}$⁠、したがって、それはその値によって定義されます。${\displaystyle k}$畳み込みデカルト積${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$⁠ . もし${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}}$は${\displaystyle k-1}$要素⁠${\displaystyle V^{*}}$⁠、次に定義する $${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$$

さらに、${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$いつでも${\displaystyle f}$は純粋なスカラー（つまり、 に属する）です。${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!0}(V)}$⁠ )

仮に${\displaystyle V}$有限次元を持つ${\displaystyle n}$⁠。すると、内積はベクトル空間の標準的な同型写像を誘導する。

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V)}$

再帰的定義により

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

幾何学的設定では、最上位外部パワーの非ゼロ要素${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!n}}(V)}$（これは一次元ベクトル空間である）は、ボリューム形式（または方向形式、ただしこの用語は曖昧さを招く場合がある）と呼ばれることがある。方向形式という名称は、優先する最上位要素の選択によって外部代数全体の方向が決定されるという事実から来ている。これは、ベクトル空間の順序付き基底を固定することと同義だからである。優先ボリューム形式に関して、${\displaystyle \sigma }$⁠、同型性は明示的に次のように与えられる。

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V)\colon \alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

体積形式に加えて、ベクトル空間Vに識別する内積が備わっている場合${\displaystyle V}$と共に​${\displaystyle V^{*}}$⁠、その結果得られる同型写像はホッジスター演算子と呼ばれ、要素をそのホッジ双対に写像します。

${\displaystyle \star \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V).}$

構成${\displaystyle \star }$それ自体でマップ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)\to \bigwedge ^{\!k}(V)}$そして、常に恒等写像のスカラー倍である。ほとんどの応用において、ボリューム形式は、の正規直交基底の外積であるという意味で、内積と互換性がある。${\displaystyle V}$この場合、

${\displaystyle \star \circ \star \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

ここで、id は恒等写像であり、内積はメトリック署名( p , q )を持ち、p はプラス、q はマイナスです。

について​${\displaystyle V}$有限次元空間、内積（または擬ユークリッド内積）${\displaystyle V}$⁠は同型性を定義する${\displaystyle V}$と共に​${\displaystyle V^{*}}$⁠、したがって同型性も${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$と共に​${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\bigwedge ^{\!k}(V)}{\bigr )}^{*}}$⁠。これら2つの空間のペアリングは、内積の形もとります。分解可能な⁠${\displaystyle k}$⁠ -ベクトル、

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

内積行列の行列式。特殊な場合v _i = w _iでは、内積はkベクトルの二乗ノルムであり、グラミアン行列( ⟨ v _i , v _j ⟩ )の行列式で与えられる。これは双線形（複素数の場合は半双線形）に拡張され、 上の非退化内積となる。${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠ 。 e _i、 i = 1, 2, ..., nが の正規直交基底を形成する場合、${\displaystyle V}$⁠、すると次の形式のベクトル