直接合計

内部直和と外部直和は、どちらも同型であるが区別される。被加数が先に定義され、その後被加数を用いて直和が定義される場合、外部直和が存在する。例えば、実数${\displaystyle \mathbb {R} }$定義され、続いて${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$直接合計は外部的であると言われる。

一方、代数構造が${\displaystyle S}$定義され、${\displaystyle S}$は、2つの部分構造の直接和として定義される。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$直接和は内部的であると言われます。その場合、${\displaystyle S}$は、 の要素の代数的組み合わせとして一意に表現できます。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$内部直接和の例として、${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$（6を法とする整数）の要素は${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$これは内部直接和として表現できる。${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$。

アーベル群の直和は、直和の典型的な例である。そのような群が2つ与えられた場合、${\displaystyle (A,\circ )}$そして${\displaystyle (B,\bullet ),}$それらの直接的な合計${\displaystyle A\oplus B}$これはそれらの直積と同じです。つまり、基礎となる集合はデカルト積です。${\displaystyle A\times B}$そしてグループ運営${\displaystyle \,\cdot \,}$コンポーネントごとに定義されます。 $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$ この定義は、有限個のアーベル群の直和にも一般化できる。

任意の群族に対して${\displaystyle A_{i}}$インデックス${\displaystyle i\in I,}$それらの直接的な合計^{[ 3 ]}$$\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$は、要素からなる直積の部分群 です。${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$有限のサポートを持つもの、定義により、${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$有限サポートを持つと言われるのは、${\displaystyle a_{i}}$は、${\displaystyle A_{i}}$有限個を除くすべて${\displaystyle i.}$^{[ 4 ]} 無限族の直和${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$非自明群の は積群の真部分群である${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

モジュールの直接和とは、複数のモジュールを組み合わせて新しいモジュールを作成する構成方法である。

この構成の最もよく知られた例は、体上の加群であるベクトル空間を考える際に現れる。この構成は、バナッハ空間やヒルベルト空間にも拡張できる。

加法圏は加群圏の性質の抽象化である。^{[ 5 ] [ 6 ]}このような圏では、有限積と余積は一致し、直和はどちらか一方である。双積を参照。

より一般的には、^{[ 3 ]}圏論 では直和は、対象となる数学的対象の圏において、多くの場合、余積となるが、常にそうとは限らない。例えば、アーベル群の圏では、直和は余積となる。加群の圏においても同様である。

群表現の直和は、基となるモジュールの直和に群作用を加えることで一般化される。具体的には、群が与えられた場合、${\displaystyle G}$そして2つの表現${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$の${\displaystyle G}$（あるいは、より一般的には、2つ${\displaystyle G}$-モジュール)、表現の直接和は${\displaystyle V\oplus W}$の行動によって${\displaystyle g\in G}$コンポーネントごとに与えられる、つまり、 $${\displaystyle g(v,w):=(gv,gw).}$$

直和を定義する同等の方法は次のとおりです。2 つの表現が与えられた場合${\displaystyle (V,\rho _{V})}$そして${\displaystyle (W,\rho _{W})}$直和のベクトル空間は${\displaystyle V\oplus W}$準同型$\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$は${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$どこ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$これは、上記のような座標ごとの操作によって得られる自然地図である。

さらに、もし${\displaystyle V,\,W}$有限次元である場合、基底が与えられると${\displaystyle V,\,W}$、$\displaystyle \rho _{V}}$そして$\displaystyle \rho _{W}}$行列値です。この場合、$\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$次のように与えられます $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

さらに、もし${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$群環上のモジュールとして見なされる${\displaystyle kG}$、 どこ${\displaystyle k}$は、表現の直接和である体である。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$はそれらの直接和に等しい。${\displaystyle kG}$-モジュール。

直接生成物${\displaystyle R\times S}$リングは次のように書かれるべきではありません${\displaystyle R\oplus S}$、 以来${\displaystyle R\times S}$自然環準同型を受け取らない${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$[ ^{7 ]特に}、地図${\displaystyle R\to R\times S}$送信中${\displaystyle r}$に${\displaystyle (r,0)}$は 1 を に送ることができないため、環準同型ではありません。${\displaystyle (1,1)}$（${\displaystyle 0\neq 1}$で${\displaystyle S}$）。 したがって、${\displaystyle R\times S}$は環の圏における余積ではなく、直和として記述すべきではありません。（可換環の圏における余積は環のテンソル積です。^{[ 8 ]}環の圏では、余積は群の自由積と同様の構成によって与えられます。）

直接和の用語と表記法の使用は、無限環族を扱う際に特に問題となる。${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$は非自明な環の無限集合であり、基礎となる加法群の直和は項ごとの乗法を備えることができるが、それによって乗法単位元を持たない環であるrngが生成される。

もし${\displaystyle \mathbf {A} }$は${\displaystyle m_{1}\times n_{1}}$行列と${\displaystyle \mathbf {B} }$は${\displaystyle m_{2}\times n_{2}}$行列、次に直接和${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$は次のように定義されます。${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\times (n_{1}+n_{2})}$ブロック対角行列${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

位相ベクトル空間（TVS）${\displaystyle X,}$バナッハ空間などは、2つのベクトル部分空間の位相的直和であると言われている。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$追加マップの場合 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ これは位相ベクトル空間の同型写像（つまり、この線形写像は全単射同相写像）であり、その場合${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$は位相的補元であると言われている。${\displaystyle X.}$それは、加法位相群 として考える場合（つまりスカラー乗算を無視する場合）に限り真である。${\displaystyle X}$は位相部分群の位相直和である${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N.}$ もしそうであれば、${\displaystyle X}$ハウスドルフは${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$は必然的に閉じた部分空間である${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle M}$実ベクトル空間または複素ベクトル空間のベクトル部分空間である。${\displaystyle X}$常に別のベクトル部分空間が存在する${\displaystyle N}$の${\displaystyle X,}$代数的補集合と呼ばれる${\displaystyle M}$で${\displaystyle X,}$そのため${\displaystyle X}$は、の代数的直和です。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$これは、加算マップが${\displaystyle M\times N\to X}$これはベクトル空間の同型写像です。

代数的直和とは対照的に、位相的直和においては、そのような補集合の存在はもはや保証されない。

ベクトル部分空間${\displaystyle M}$の${\displaystyle X}$は、(位相的に)補空間であると言われている。${\displaystyle X}$あるベクトル部分空間が存在する場合${\displaystyle N}$の${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle X}$は位相直和である${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N.}$ ベクトル部分空間は、補空間でない場合に非補空間と呼ばれます。例えば、ハウスドルフベクトル空間の閉部分集合でないベクトル部分空間は必ず非補空間です。ヒルベルト空間の閉ベクトル部分空間は必ず補空間です。しかし、ヒルベルト空間でないバナッハ空間は必ず何らかの非補空間の閉ベクトル部分空間を持ちます。