数論における記号
数論 において 、 クロネッカー記号 （ またはと 表記）は、 ヤコビ記号 をすべての 整数 に一般化したものである。これは レオポルド・クロネッカー （1885、770 ページ）
によって導入された。
（
1つの ん
）
{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}
（ 1つの
|
ん ）
{\displaystyle (a|n)}
ん
{\displaystyle n}
意味 を非ゼロの整数とし、 素因数 分解すると
ん
{\displaystyle n}
ん = あなた ⋅
p
1
e
1
⋯
p
け
e
け
、
{\displaystyle n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}
ここで は 単位 （つまり） であり 、 は 素数 である 。 を整数とする。クロネッカー記号は次 のように定義される
。
あなた
{\displaystyle u}
あなた = ± 1
{\displaystyle u=\pm 1}
p
私
{\displaystyle p_{i}}
1つの
{\displaystyle a}
（
1つの ん
）
{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}
（
1つの ん
）
:=
（
1つの あなた
）
∏
私 = 1
け
（
1つの
p
私
）
e
私
。
{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}
奇数 の場合 、その数は 単に通常の ルジャンドル記号 となる。この場合、 となる。 次のように
定義する。
p
私
{\displaystyle p_{i}}
（
1つの
p
私
）
{\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}
p
私
= 2
{\displaystyle p_{i}=2}
（
1つの 2
）
{\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)}
（
1つの 2
）
:=
{
0
もし
1つの
偶数、
1
もし
1つの ≡ ± 1
（ モッド 8 ）
、
− 1
もし
1つの ≡ ± 3
（ モッド 8 ）
。
{\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}
これはヤコビ記号を拡張したものであるため、 のときは量は単純に 次のように なる 。 のときは 、次のように定義する。
（
1つの あなた
）
{\displaystyle \left({\frac {a}{u}}\right)}
1
{\displaystyle 1}
あなた = 1
{\displaystyle u=1}
あなた = − 1
{\displaystyle u=-1}
（
1つの
− 1
）
:=
{
− 1
もし
1つの < 0 、
1
もし
1つの ≥ 0.
{\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}}
最後に、
（
1つの 0
）
:=
{
1
もし
1つの = ± 1 、
0
さもないと。
{\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
これらの拡張は、すべての整数値に対するクロネッカー記号を定義するのに十分です 。
1つの 、 ん
{\displaystyle a,n}
著者によっては、クロネッカー記号をより制限された値に対してのみ定義しています。たとえば、 は および と合同です 。
1つの
{\displaystyle a}
0 、 1
モッド
4
{\displaystyle 0,1{\bmod {4}}}
ん > 0
{\displaystyle n>0}
値の表 以下は、 1 ≤ n 、 k ≤ 30
の クロネッカー記号の値の表です。
（
け ん
）
{\displaystyle \left({\frac {k}{n}}\right)}
プロパティ クロネッカー記号は、特定の制限の下で、ヤコビ記号と多くの基本的な特性を共有しています。
（
1つの ん
）
= ± 1
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1}
であれば 、そうでなければ 。
いいえ （ 1つの 、 ん ） = 1
{\displaystyle \gcd(a,n)=1}
（
1つの ん
）
= 0
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}
（
1つの b
ん
）
=
（
1つの ん
）
（
b ん
）
{\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)}
の場合を除き 、一方が ゼロでもう一方が負になります。
ん = − 1
{\displaystyle n=-1}
1つの 、 b
{\displaystyle a,b}
（
1つの
メートル ん
）
=
（
1つの メートル
）
（
1つの ん
）
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}
がない限り 、 の 1 つは 0 であり、もう 1 つは と同形の奇数部 (定義は下記) を持ちます 。
1つの = − 1
{\displaystyle a=-1}
メートル 、 ん
{\displaystyle m,n}
3
モッド
4
{\displaystyle 3{\bmod {4}}}
について 、 は 常にとなります。さらに が 同じ符号を持つ 場合、 についても同じことが言えます 。
ん > 0
{\displaystyle n>0}
（
1つの ん
）
=
（
b ん
）
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}
1つの ≡ b
モッド
{
4 ん 、
ん ≡ 2
（ モッド 4 ）
、
ん
さもないと。
{\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
n
<
0
{\displaystyle n<0}
、 について は 、
a
≢
3
(
mod
4
)
{\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
(
a
m
)
=
(
a
n
)
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}
m
≡
n
mod
{
4
|
a
|
,
a
≡
2
(
mod
4
)
,
|
a
|
otherwise.
{\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}
一方、クロネッカー記号は、 ヤコビ記号のように 平方剰余 と関連がありません。特に、 のクロネッカー記号は、 が を法とする平方剰余か非剰余か に関係なく、値をとることができます 。
(
a
n
)
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}
n
≡
2
(
mod
4
)
{\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
二次相互性 クロネッカー記号は、 二次の相互 法則の次のバージョンも満たします。
任意の非ゼロ整数 について 、 その 奇数部 を で表します。 ここで は 奇数です ( については とします)。すると、 となる すべての整数ペアに対して、 次の 対称バージョン の二次相互法則が成り立ちます。
n
{\displaystyle n}
n
′
{\displaystyle n'}
n
=
2
e
n
′
{\displaystyle n=2^{e}n'}
n
′
{\displaystyle n'}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
0
′
=
1
{\displaystyle 0'=1}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
gcd
(
m
,
n
)
=
1
{\displaystyle \gcd(m,n)=1}
(
m
n
)
(
n
m
)
=
±
(
−
1
)
m
′
−
1
2
n
′
−
1
2
,
{\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},}
ここで、符号は または の 場合 に と等しく、 および の 場合 に と等しくなります 。
±
{\displaystyle \pm }
+
{\displaystyle +}
m
≥
0
{\displaystyle m\geq 0}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
−
{\displaystyle -}
m
<
0
{\displaystyle m<0}
n
<
0
{\displaystyle n<0}
互いに素な整数のあらゆるペアに対して成立する、二次の相互性の 同等な非対称バージョン も存在します 。
m
,
n
{\displaystyle m,n}
(
m
n
)
(
n
|
m
|
)
=
(
−
1
)
m
′
−
1
2
n
′
−
1
2
.
{\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}
任意の整数 について と します 。すると、もう1つの同等の非対称バージョンが次のように表されます。
n
{\displaystyle n}
n
∗
=
(
−
1
)
(
n
′
−
1
)
/
2
n
{\displaystyle n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n}
(
m
∗
n
)
=
(
n
|
m
|
)
{\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}
すべての整数のペア （必ずしも互いに素である必要はない）に対して。
m
,
n
{\displaystyle m,n}
補足法則は クロネッカー 記号にも一般化されます。これらの法則は、上で述べた二次の相互法則の各バージョンから簡単に導き出されます (二次の相互法則を完全に記述するには主法則と補足法則の両方が必要となるルジャンドル記号やヤコビ記号とは異なります)。
任意の
整数に対して
n
{\displaystyle n}
(
−
1
n
)
=
(
−
1
)
n
′
−
1
2
{\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}}
そして任意
の奇数の場合は
n
{\displaystyle n}
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
2
−
1
8
.
{\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}
ディリクレ指標との関連 かつ の場合 、写像は を法とする実 ディリクレ指標 です。 逆に、すべての実ディリクレ指標は という形式で表すことができます ( であるため )。
a
≢
3
(
mod
4
)
{\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
χ
(
n
)
=
(
a
n
)
{\displaystyle \chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}
{
4
|
a
|
,
a
≡
2
(
mod
4
)
,
|
a
|
,
otherwise.
{\displaystyle {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
a
≡
0
,
1
(
mod
4
)
{\displaystyle a\equiv 0,1{\pmod {4}}}
a
≡
2
(
mod
4
)
{\displaystyle a\equiv 2{\pmod {4}}}
(
a
n
)
=
(
4
a
n
)
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)}
特に、 原始 実ディリクレ指標は 、 非零の 平方自由整数である 二次体 と 1 対 1 で対応しています( 二次体でなくても、主指標を表すために ケースを含めることができます)。指標は、 体から アルティン記号 として復元できます。つまり、正の素数 に対して 、 の値は 整数環 の イデアルの振る舞いに依存し ます 。
χ
{\displaystyle \chi }
F
=
Q
(
m
)
{\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}
m
{\displaystyle m}
Q
(
1
)
=
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q} }
χ
{\displaystyle \chi }
(
F
/
Q
⋅
)
{\displaystyle \left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)}
p
{\displaystyle p}
χ
(
p
)
{\displaystyle \chi (p)}
(
p
)
{\displaystyle (p)}
O
F
{\displaystyle O_{F}}
χ
(
p
)
=
{
0
,
(
p
)
is ramified,
1
,
(
p
)
splits,
−
1
,
(
p
)
is inert.
{\displaystyle \chi (p)={\begin{cases}0,&(p){\text{ is ramified,}}\\1,&(p){\text{ splits,}}\\-1,&(p){\text{ is inert.}}\end{cases}}}
すると クロネッカー記号に等しくなり 、ここで
χ
(
n
)
{\displaystyle \chi (n)}
(
D
n
)
{\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}
D
=
{
m
,
m
≡
1
(
mod
4
)
,
4
m
,
m
≡
2
,
3
(
mod
4
)
{\displaystyle D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}
は の 判別式 です 。 の伝導者は です 。
F
{\displaystyle F}
χ
{\displaystyle \chi }
|
D
|
{\displaystyle |D|}
同様に、 の場合 、写像は を法とする実ディリクレ指標です。 ただし、すべての実指標がこのように表せるわけではありません。たとえば、指標は 任意の に対して と書くことはできません 。2 次相互法則により、 となります 。指標は、 その奇数部 の場合にのみ として表すことができ 、その場合には を取ることができます 。
n
>
0
{\displaystyle n>0}
χ
(
a
)
=
(
a
n
)
{\displaystyle \chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}
{
4
n
,
n
≡
2
(
mod
4
)
,
n
,
otherwise.
{\displaystyle {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
(
−
4
⋅
)
{\displaystyle \left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)}
(
⋅
n
)
{\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}
n
{\displaystyle n}
(
⋅
n
)
=
(
n
∗
⋅
)
{\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)}
(
a
⋅
)
{\displaystyle \left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)}
(
⋅
n
)
{\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}
a
′
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle a'\equiv 1{\pmod {4}}}
n
=
|
a
|
{\displaystyle n=|a|}
参照
参考文献 Kronecker, L. (1885)、「Zur Theorie der elliptischen Funktionen」、 Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 761–784 Montgomery, Hugh L ; Vaughan, Robert C. (2007). 乗法数論. I. 古典理論 . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第 97 巻. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84903-6 .ZBL1142.11001 。 この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike License に基づいてライセンスされている PlanetMath の Kronecker 記号の資料が組み込まれています 。
