QED

QEDまたはQEDは、ラテン語のフレーズquod erat demonstrandumの頭文字で、「証明されるべきもの」を意味します。文字通り、「示されるべきもの」を意味します。^{[1]伝統的に、この略語は印刷された出版物の}数学的証明や哲学的議論の最後に置かれ、証明または議論が完了したことを示します。

語源と初期の使用

quod erat demonstrandumという語句は、ギリシャ語のὅπερ ἔδει δεῖξαι ( hoper edei deixai、略称ΟΕΔ ) をラテン語に翻訳したものである。このラテン語の意味は「証明されるべきもの」である ( demonstrandumは動名詞である)。しかし、ギリシャ語のὅπερ ἔδει δεῖξαι を翻訳すると、少し異なる意味になることがある。特に、動詞「δείκνυμι」は「示す」と「証明する」の両方を意味するため^[2]、このギリシャ語の別の翻訳は「示さなければならなかったものそのもの」となる^{[3] 。}

このギリシャ語のフレーズは、ユークリッド^[4]やアルキメデスを含む多くの初期のギリシャの数学者によって使用されました。

このラテン語のフレーズは、ジョルジョ・ヴァッラの1501年のユークリッド訳で確認されています。^[5]その略語qedは、1598年にヨハネス・プレトリウスによって一度使用され、^{[6] 1643年に}アントン・ドイシングによってさらに使用され、^[7] 1655年にアイザック・バローによってQEDの形で広範に使用され、^[8]その後、ルネサンス以降の多くの数学者や哲学者によって使用されました。^[9]

現代哲学

ヨーロッパルネサンス時代には、学者たちはラテン語で文章を書くことが多く、証明を締めくくる際にはQEDなどのフレーズがよく使われました。

おそらく、哲学的議論におけるQEDの最も有名な使用例は、1677年に死後に出版されたバルーク・スピノザの『倫理学^{』に見られる。 [11]}ラテン語で書かれたこの本は、多くの人にスピノザの最高傑作であると考えられている。この本のスタイルと体系は、スピノザが言うように、「幾何学的な順序で実証」されており、公理と定義の後に命題が続く。スピノザにとって、これは日記の形式に従ったルネ・デカルトの『省察』の文体よりもかなり進歩している。^[12]

QEFとの違い

少し意味が異なるラテン語のフレーズがもう1つあり、通常は同じように短縮されますが、あまり一般的ではありません。Quod erat faciendumは、ギリシャの幾何学者の語尾のὅπερ ἔδει ποιῆσαι ( hoper edei poiēsai )に由来し、「これはしなければならないこと」を意味します。^[13]意味が異なるため、2つのフレーズを混同しないでください。

ユークリッドは、定理の証明ではなく幾何学的対象の構築である命題を完結させるために、ギリシア語の原文であるQuod Erat Faciendum (QEF)を使用した。^{[14]例えば、1辺が与えられた場合に}正三角形を構築する方法を示すユークリッドの最初の命題は、このように結論付けられる。^[15]

同等の形式

英語には正式な同等表現はありませんが、証明の終わりは「このように証明された」、「これで証明は完了する」、「要求どおり」、「望みどおり」、「予想どおり」、「したがって証明された」、「エルゴ」、「したがって正しい」などの簡単な文で宣言される場合があります。

象徴的に使用される印刷形式

数学における証明の最も重要な重要性のため、ユークリッドの時代から数学者は証明の始まりと終わりを区別する慣習を発展させてきました。印刷された英語のテキストでは、定理、補題、命題の正式な記述は伝統的にイタリック体で書かれています。証明の始まりは通常そのすぐ後に続き、太字またはイタリック体の「証明」という単語で示されます。一方、証明の終わりを示す記号的な慣習もいくつか存在します。

一部の著者は今でも古典的な略語であるQEDを使用していますが、現代の数学のテキストでは比較的まれです。ポール・ハルモスは、証明の最後にQED記号として黒の正方形（または長方形）を使用することを最初に行ったと主張しており、^[16]この慣習は標準になりましたが、普遍的ではありません。ハルモスは、この記号の使用を、記事の終わりを示すために単純な幾何学的形状、いわゆるエンドマークを使用していた雑誌の印刷の慣習から採用したと述べています。^[17]^{[18]この記号は後に、数学者によって}トゥームストーン、ハルモス記号、またはハルモスとさえ呼ばれました。ハルモス記号は、講義中に証明の終了を示すために黒板に描かれることがよくありますが、この慣習は印刷されたテキストで使用するほど一般的ではありません。

墓石記号は、TeXでは文字(塗りつぶされた四角形、\blacksquare) として表示されますが、時には(白抜きの四角形、\square または \Box) として表示されます。^[19]LaTeXの AMS 定理環境では、白抜きの四角形がデフォルトの証明終了記号です。Unicodeは明示的に「証明終了」文字 U+220E (∎) を提供しています。著者の中には、証明の終了を示すために、▮ (U+25AE、黒い縦長の四角形) や ‣ (U+2023、三角形の箇条書き) などの他の Unicode 記号を使用する人もいます。他の著者は、2 つのスラッシュ (//、) または 4 つのスラッシュ (////、) を採用しています。^[20]また、著者は、証明をインデントされたブロックとして表示することで、印刷上分離することを選択しています。^[21] $\blacksquare$ $\square$ ${\displaystyle //$ ${\displaystyle ////$

現代の「ユーモラスな」用法

ジョセフ・ヘラーの1961年の小説『キャッチ22』では、牧師が、自分が署名したとされる偽造手紙（本人は署名していないことを知っていた）を調べるよう指示され、そこに自分の名前が実際にあったことを確認した。調査員は「では、あなたが書いたのですね。QED」と答えた。牧師は、自分が書いたものではなく、自分の筆跡でもないと答えたが、調査員は「では、また他人の筆跡で署名したのですね」と答えた。^[22]

参照

参考文献

^ “QUOD ERAT DEMONSTRANDUM の定義”. www.merriam-webster.com 。2017 年 9 月 3 日に取得。
^ LSJのエントリ δείκνυμι 。
^ ユークリッド原論、ギリシャ語からトーマス・L・ヒース訳。2003年グリーンライオン出版、24ページ
^ ユークリッド著『Elements 2.5』（JL Heiberg 編）、2005 年 7 月 16 日閲覧
^ ヴァッラ、ジョルジョ。「Georgii Vallae Placentini viri clariss. De expetendis, et fugeendis rebus opus. 1」。
^ プレトリウス、ヨハネス。「Ioannis Praetorii Ioachimici 問題、Quatuor の直腸線は datis quadrilaterum fieri であり、Circulo に座っています。」
^ デユージング、アントン。「Antonii Deusingii Med. ac Philos. De Vero Systemate Mundi Dissertatio Mathematica : Quâ Copernici Systema Mundi Reformatur: Sublatis interinfinitis penè orbibus, quibus in Systemate Ptolemaico humana men distrahitur」。
^ バロー、アイザック。「エレメンタジオメトリ : libri XV」。
^ 「数学用語の最も古い使用例 (Q)」jeff560.tripod.com . 2019年11月4日閲覧。
^ フィリップ・ヴァン・ランズベルジェ (1604)。三角幾何学。アプド・ザカリアム・ローマン。 1 ～ 5 ページ。クォッド・エラト・デモンストランドム 0-1700。
^ 「Baruch Spinoza (1632–1677) – 近代哲学」. opentextbc.ca . 2019年11月4日閲覧。
^ ベネディクト・デ・スピノザ主要著作集、RHMエルウィス訳、1951年。ISBN 0-486-20250 -X。
^ ガウス、カール・フリードリヒ;ウィリアム・C・ウォーターハウス（2018年2月7日）。 Disquisitiones Arithmeticae。スプリンガー。ISBN 9781493975600。
^ Weisstein, Eric W. "QEF" mathworld.wolfram.com . 2019年11月4日閲覧。
^ 「ユークリッド原論、第1巻、命題1」。mathcs.clarku.edu 。 2019年11月4日閲覧。
^ この（一般的に受け入れられている）主張は、ハルモスの自伝『私は数学者になりたい』の中でなされた。証明終了記号としての黒塗りの四角形の最初の使用は、ハルモスの測度論（1950年）のようだ。記号の意図された意味は序文で明示的に与えられている。
^ ハルモス、ポール・R. (1985)。『数学者になりたい：オートマトグラフィー』シュプリンガー、p. 403。ISBN 9781461210849。
^ Felici, James (2003). 「タイポグラフィの完全マニュアル：完璧な書体設定ガイド」カリフォルニア州バークレー：Peachpit Press。
^ 詳細については、たとえば数学記号のリストを参照してください。
^ ルディン、ウォルター（1987）。実数と複素解析。マグロウヒル。ISBN 0-07-100276-6。
^ ルディン、ウォルター（1976年）。数学解析の原理。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-054235-X。
^ ヘラー、ジョセフ (1971)。キャッチ22。S.フレンチ。ISBN 978-0-573-60685-4. 2011年7月15日閲覧。

外部リンク

数学用語の最も古い使用例 (Q)

[1] “QUOD ERAT DEMONSTRANDUM の定義”. www.merriam-webster.com 。2017 年 9 月 3 日に取得。

[2] LSJのエントリ δείκνυμι 。

[autogenerated1-3] ユークリッド原論、ギリシャ語からトーマス・L・ヒース訳。2003年グリーンライオン出版、24ページ

[4] ユークリッド著『Elements 2.5』（JL Heiberg 編）、2005 年 7 月 16 日閲覧

[5] ヴァッラ、ジョルジョ。「Georgii Vallae Placentini viri clariss. De expetendis, et fugeendis rebus opus. 1」。

[6] プレトリウス、ヨハネス。「Ioannis Praetorii Ioachimici 問題、Quatuor の直腸線は datis quadrilaterum fieri であり、Circulo に座っています。」

[7] デユージング、アントン。「Antonii Deusingii Med. ac Philos. De Vero Systemate Mundi Dissertatio Mathematica : Quâ Copernici Systema Mundi Reformatur: Sublatis interinfinitis penè orbibus, quibus in Systemate Ptolemaico humana men distrahitur」。

[8] バロー、アイザック。「エレメンタジオメトリ : libri XV」。

[9] 「数学用語の最も古い使用例 (Q)」jeff560.tripod.com . 2019年11月4日閲覧。

[10] フィリップ・ヴァン・ランズベルジェ (1604)。三角幾何学。アプド・ザカリアム・ローマン。 1 ～ 5 ページ。クォッド・エラト・デモンストランドム 0-1700。

[11] 「Baruch Spinoza (1632–1677) – 近代哲学」. opentextbc.ca . 2019年11月4日閲覧。

[12] ベネディクト・デ・スピノザ主要著作集、RHMエルウィス訳、1951年。ISBN 0-486-20250 -X。

[13] ガウス、カール・フリードリヒ;ウィリアム・C・ウォーターハウス（2018年2月7日）。 Disquisitiones Arithmeticae。スプリンガー。ISBN 9781493975600。

[14] Weisstein, Eric W. "QEF" mathworld.wolfram.com . 2019年11月4日閲覧。

[15] 「ユークリッド原論、第1巻、命題1」。mathcs.clarku.edu 。 2019年11月4日閲覧。

[16] この（一般的に受け入れられている）主張は、ハルモスの自伝『私は数学者になりたい』の中でなされた。証明終了記号としての黒塗りの四角形の最初の使用は、ハルモスの測度論（1950年）のようだ。記号の意図された意味は序文で明示的に与えられている。

[17] ハルモス、ポール・R. (1985)。『数学者になりたい：オートマトグラフィー』シュプリンガー、p. 403。ISBN 9781461210849。

[18] Felici, James (2003). 「タイポグラフィの完全マニュアル：完璧な書体設定ガイド」カリフォルニア州バークレー：Peachpit Press。

[19] 詳細については、たとえば数学記号のリストを参照してください。

[20] ルディン、ウォルター（1987）。実数と複素解析。マグロウヒル。ISBN 0-07-100276-6。

[21] ルディン、ウォルター（1976年）。数学解析の原理。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-054235-X。

[22] ヘラー、ジョセフ (1971)。キャッチ22。S.フレンチ。ISBN 978-0-573-60685-4. 2011年7月15日閲覧。