尖った空間

数学において、基点空間または基底空間とは、基点と呼ばれる特別な点を持つ位相空間のことである。特別な点とは、空間から選ばれた特定の点であり、例えば次のような名前が付けられる。${\displaystyle x_{0},}$これは、その後の議論中も変更されず、すべての操作中に追跡されます。自然にポイントが付けられた空間の一般的な例としては、球面（北極を基点とする）、閉区間[0,1]（0を基点とする）、位相群（単位元を基点とする）などがあります。

点空間の地図（基点地図）は、基点を保持する連続地図、つまり地図です。${\displaystyle f}$尖った空間の間${\displaystyle X}$ベースポイント付き${\displaystyle x_{0}}$そして尖った空間${\displaystyle Y}$ベースポイント付き$\displaystyle y_0}}$は、トポロジーに関して連続である場合、ベースマップである。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$そしてもし${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$これは通常、

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

基点空間は代数トポロジー、特にホモトピー理論において重要であり、基本群などの多くの構成は基点の選択に依存する。

点付き集合の概念はそれほど重要ではない。いずれにせよ、これは点付き離散空間の場合である。

点付き空間は、部分集合が一点である相対位相の特殊な場合として扱われることが多い。そのため、ホモトピー理論の多くは通常、点付き空間上で展開され、その後、代数位相における相対位相へと移行される。

すべてのポインテッドスペースのクラスは、トップカテゴリを形成します。_{${\displaystyle \bullet }$}基点保存連続写像を射とする。この圏を考える別の方法は、コンマ圏として考えることである。${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$トップ）${\displaystyle \{\bullet \}}$は任意の一点空間であり、Top は位相空間の圏である。（これはコスライス圏とも呼ばれ、と表記される。 ）${\displaystyle \{\bullet \}/}$（上）このカテゴリのオブジェクトは連続マップです${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$このような地図は、${\displaystyle X.}$における形態（${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$Top ) は、次の図式が可換となるTop内の射です。

図の可換性は、次の条件と同等であることが容易にわかる。${\displaystyle f}$ベースポイントを保持します。

尖った空間として、${\displaystyle \{\bullet \}}$Topのゼロオブジェクトです_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}一方、 Topでは単なる端末オブジェクトです。

忘れっぽいファンクタートップがあります_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}${\displaystyle \to }$基点がどれであるかを「忘れる」トップ。このファンクターは、各位相空間に割り当てを行う左随伴関数を持つ。${\displaystyle X}$互いに素な結合${\displaystyle X}$そして一点空間${\displaystyle \{\bullet \}}$その唯一の要素が基準点とみなされる。

• 点付き空間の部分空間${\displaystyle X}$位相部分空間${\displaystyle A\subseteq X}$基点を共有する${\displaystyle X}$これにより、包含マップは基点保存型となる。
• 尖った空間の商空間を形成できる${\displaystyle X}$任意の同値関係の下で。商の基点は、基点の像である。${\displaystyle X}$商マップの下。
• 2 つの尖った空間の積を形成できる${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$位相積として${\displaystyle X\times Y}$と${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$基準点として機能する。
• 点付き空間の圏における余積はウェッジ和であり、これは空間の「一点和」と考えることができる。
• 2つの点付き空間のスマッシュ積は、本質的に直積とウェッジ和の商です。スマッシュ積によって点付き空間の圏が、点付き0球面を単位対象とする対称モノイド圏に変わると言いたいところですが、これは一般的な空間では成り立ちません。結合法則が成り立たない可能性があるからです。しかし、コンパクト生成弱ハウスドルフ空間のような、より限定された空間の圏では成り立ちます。
• サスペンションの低減${\displaystyle \Sigma X}$尖った空間の${\displaystyle X}$は（同相写像を除いて）のスマッシュ積である${\displaystyle X}$そして尖った円${\displaystyle S^{1}.}$
• 縮小サスペンションは、点付き空間の圏からそれ自身への関手である。この関手は、関手に左随伴である。${\displaystyle \Omega }$尖った空間を取る${\displaystyle X}$そのループ空間へ${\displaystyle \Omega X}$。

• 群の圏― 対象が群であり、射が群準同型である圏 
• 距離空間の圏– 対象が距離空間であり、射が距離写像である圏 
• 集合の圏– 対象が集合であり、射が関数である圏 
• 位相空間の圏― 対象が位相空間であり、射が連続写像である圏 
• 位相ベクトル空間のカテゴリー

• ガメリン、セオドア・W. ;グリーン、ロバート・エヴェリスト(1999) [1983].トポロジー入門（第2 版）.ドーバー出版. ISBN 0-486-40680-6。
• Mac Lane、Saunders（1998年9月）。『働く数学者のための圏論』（第2 版）。Springer。ISBN 0-387-98403-8。

• MathOverflowにおけるいくつかの基点と群状体に関する議論