不等式（数学）

数学において、不等式とは、2 つの数またはその他の数式を等しくない比較を行う関係のことです。^{[ 1 ]}最もよく使われるのは、数直線上の 2 つの数をその大きさで比較する場合です。不等式の主な種類は、より小さいとより大きいです (それぞれ、小なり記号と大なり記号で表される<と> )。

さまざまな種類の不等式を表すために、いくつかの異なる表記法が用いられます。

• 表記a < bは、 aがbより小さい ことを意味します。
• 表記a > bは、 aがbより大きい ことを意味します。

いずれの場合も、a はbと等しくありません。これらの関係は厳密不等式として知られており、^{[ 1 ]} aはbより厳密に小さいか、厳密に大きいことを意味します。等号は除外されます。

厳密な不等式とは対照的に、厳密ではない不等式関係には2種類ある。

• 表記a ≤ bまたはa ⩽ bまたはa ≦ bは、 aがb以下である （または同等に、b以下である）ことを意味します。
• 表記a ≥ bまたはa ⩾ bまたはa ≧ bは、 aがb以上である （または同等に、少なくともbである）ことを意味します。

17 世紀と 18 世紀には、不等号を表すために個人的な表記やタイプライターの記号が使われていました。^{[ 2 ]}例えば、1670 年にジョン・ウォリスは< と > の下ではなく上に1 本の水平線を使いました。その後 1734 年に、「より小さい (より大きい) 上等」または「より小さい (より大きい) または 2 本の水平線付き」として知られる ≦ と ≧ がピエール・ブーゲの著作に初めて登場しました。^{[ 3 ]}その後、数学者たちはブーゲの記号を「より小さい (より大きい) または 1 本の水平線付き」(≤) または「より小さい (より大きい) または 斜線付き等号」(⩽) に簡略化しました。

関係は、以下で表すこともできます。${\displaystyle a\ngtr b,}$「より大きい」の記号をスラッシュで二分したものが「not」です。「より小さくない」についても同様です。${\displaystyle a\nless b.}$

表記a ≠ bは、 aがbと等しくないことを意味します。この不等式は、厳密な不等式の一種とみなされることがあります。^{[ 4 ]}これは、一方が他方より大きいとは言っていません。また、 aとb が順序付き集合の要素であることも要求していません。

工学分野では、この表記法の非公式な使用法は、ある量が別の量よりも「はるかに大きい」ことを示すことであり、^{[ 5 ]}通常は数桁大きい。

• 表記a ≪ bは、 aがbよりはるかに小さいこと を意味します。^{[ 6 ]}
• 表記a ≫ b は、 aがbよりはるかに大きい ことを意味します。^{[ 7 ]}

これは、より小さい値を無視しても近似の精度にほとんど影響がないことを意味する（物理学における超相対論的極限の場合など）。

上記のすべての場合において、互いに鏡像関係にある2つの記号は対称的です。a < bとb > aは同等です。

不等式は、以下の性質によって規定されます。これらの性質はすべて、すべての非厳密不等式（≤ および ≥）を対応する厳密不等式（< および >）に置き換えた場合、および関数を適用する場合（単調関数は厳密に単調な関数に限定される）にも成り立ちます。

足し算と引き算

共通定数c は、不等式の両辺に加算または減算することができます。 ^{[ 4 ]}したがって、任意の実数a、b、cに対して、次のようになります。

a ≤ bの場合、a + c ≤ b + cおよびa − c ≤ b − cが成り立ちます。

言い換えれば、不等式関係は加算（または減算）の下で保持され、実数は加算に関して順序付けられたグループとなる。

掛け算と割り算

乗算と除算に関する性質は、任意の実数a、b、およびゼロでないcに対して、次のことを述べている。

a ≤ bかつc > 0の場合、ac ≤ bcおよびa / c ≤ b / cが成り立ちます。

a ≤ bかつc < 0の場合、ac ≥ bcおよびa / c ≥ b / cが成り立つ。

言い換えれば、不等式は正の定数による乗算と除算では維持されますが、負の定数が関係する場合は逆になります。より一般的には、これは順序体にも当てはまります。詳しくは、§ 順序体を参照してください。

両辺に関数を適用する

定義上、単調増加関数は、不等式の両辺^に適用しても不等式関係は破られません（ただし、両方の式がその関数の定義域内にあることが条件です^）。しかし、単調減少関数を不等式の両辺に適用すると、不等式関係が逆転します。加法逆元と正の数の乗法逆元の規則は、いずれも単調減少関数を適用した例です。

不等式が厳密（a < b、a > b）であり、かつ関数が厳密に単調である場合、不等式は厳密なままです。これらの条件のうちいずれか一方のみが厳密である場合、結果として得られる不等式は厳密ではありません。実際、加法逆元と乗法逆元の規則はどちらも、厳密に単調減少する関数を適用した例です。

このルールの例をいくつか挙げると次のようになります。

• aとbが正の実数である場合、不等式の両辺をn > 0（または−n < 0）乗します。
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ。
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0。
• aとbが正の実数である場合、不等式の両辺の自然対数を取ると次のようになります。
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b )。
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b )。
  （これは、自然対数が単調増加関数であるためです。）

（非厳密な）半順序とは、集合P上の反射的、反対称的、推移的な二項関係≤ のことである。^{[ 10 ]}つまり、Pのすべてのa、b、cに対して、次の 3 つの節を満たさなければならない。

• a ≤ a (反射律)
• a ≤ bかつb ≤ aの場合、a = bとなる（反対称性）
• a ≤ bかつb ≤ cならば、a ≤ cである（推移律）

部分順序を持つ集合は、部分順序集合と呼ばれます。^{[ 11 ]}これらは、あらゆる種類の順序が満たさなければならない非常に基本的な公理です。

厳密な半順序は、次の条件を満たす関係 < です。

• a ≮ a (非反射性)
• a < bの場合、b ≮ a (非対称性)、
• a < bかつb < cならばa < cである(推移性)

ここで、≮は<が成り立たないことを意味する。

半順序の中には、次のような公理を追加することで規定されるものがあります。

• 全順序: Pのすべてのaとbに対して、a ≤ bまたはb ≤ aが成り立つ。
• 稠密順序: Pのすべてのaとbに対して、 a < bとなるようなPのcが存在する。
• 最小上界の性質：上界を持つPの空でない部分集合はすべて、 P内に最小上界（上限）を持つ。

表記a < b < cは「 a < bかつb < c 」を表し、上記の推移律により、a < cも成り立ちます。上記の法則により、3 つの項すべてに同じ数を加算または減算したり、3 つの項すべてに同じゼロ以外の数を乗算または除算して、その数が負の場合はすべての不等式を反転させることができます。したがって、たとえば、a < b + e < cはa − e < b < c − eと等価です。

この表記法は任意の数の項に一般化できます。たとえば、a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _nは、 i = 1, 2, ..., n − 1に対してa _i ≤ a _{i +1}を意味します。推移律により、この条件は任意の 1 ≤ i ≤ j ≤ nに対してa _i ≤ a _jと同等です。

連鎖記法を用いて不等式を解く場合、項を個別に評価することが可能であり、場合によってはそうする必要がある。例えば、不等式 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2 を解く場合、加算または減算によって不等式のいずれかの部分にx を分離することはできない。代わりに、不等式を個別に解く必要があり、それぞれx < 1 / 2とx ≥ −1 が得られ、これらを組み合わせて最終的な解 −1 ≤ x < 1 / 2となる。

時折、異なる方向の不等式で連鎖記法が使用されることがあり、その場合、意味は隣接する項間の不等式の論理積になります。たとえば、ジグザグ半順序集合の定義条件は、 a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ...と記述されます。混合連鎖記法は、<、=、≤ などの互換性のある関係でより頻繁に使用されます。たとえば、a < b = c ≤ dは、 a < b、b = c、c ≤ dを意味します。この記法は、 Pythonなどのいくつかのプログラミング言語に存在します。対照的に、 Cなどの比較結果の型に基づいて順序付けを提供するプログラミング言語では、同種の連鎖であってもまったく異なる意味を持つ場合があります。^{[ 14 ]}

不等式は、緩和しても一般に有効でない場合、シャープであると言われます。形式的には、全称量化不等式φは、有効な全称量化不等式ψに対して、ψ ⇒ φが成り立つならば、ψ ⇔ φも成り立つ場合にシャープであると言われます。例えば、不等式∀ a ∈ R . a ² ≥ 0はシャープですが、不等式∀ a ∈ R . a ² ≥ −1はシャープではありません。

平均値の間には多くの不等式があります。例えば、任意の正の数a ₁ , a ₂ , ..., a _nに対して、次のようになります。

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

ここで、それらは以下の数列の手段を表す。

• 調和平均 ：${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• 幾何平均 ：${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• 算術平均 ：${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• 二次平均 ：${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

コーシー・シュワルツの不等式は、内積空間のすべてのベクトルuとvに対して、次のことが成り立つと 述べている。$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は内積です。内積の例としては、実数および複素数のドット積があります。標準的な内積を持つ ユークリッド空間R ^{nでは、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになります。}$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

べき乗不等式とは、 a ^bの形の項を含む不等式のことで、aとb は正の実数または変数式です。これらは数学オリンピックの演習問題によく登場します。

例：

• 任意の実数xに対して、$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• x > 0 かつp > 0 の場合、$${\displaystyle {\frac {1}{p}}\left(x^{p}-1\right)\geq \ln(x)\geq {\frac {1}{p}}\left(1-{\frac {1}{x^{p}}}\right).}$$p → 0の極限では、上限と下限は ln( x ) に収束します。
• x > 0 の場合、$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• x > 0 の場合、$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• x、y、z > 0 の場合、$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• 任意の異なる実数aとbに対して、$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{ba}}>e^{\frac {a+b}{2}}.}$$
• x、y > 0 かつ 0 < p < 1 の場合、$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• x、y、z > 0 の場合、$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{\frac {x+y+z}{3}}.}$$
• a、b > 0 の場合、^{[ 15 ]}$${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• a、b > 0 の場合、^{[ 16 ]}$${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• a、b、c > 0 の場合、$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• a、b > 0 の場合、$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

数学者は、正確な公式で簡単に計算できない量を制限するために、しばしば不等式を用います。中には、非常に頻繁に使用されるため、名前が付けられている不等式もあります。

複素数の集合${\displaystyle \mathbb {C} }$加算と乗算の演算を持つ体であるが、となるような関係≤を定義することは不可能である。${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$順序付きフィールドになります。${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$順序付きフィールドの場合、次の2つの特性を満たす必要があります。

• a ≤ bならば、a + c ≤ b + cである。
• 0 ≤ aかつ0 ≤ bならば、0 ≤ abである。

≤ は全順序であるため、任意の数aに対して、0 ≤ aまたはa ≤ 0のいずれかになります(この場合、上記の最初の性質から0 ≤ − aが成り立ちます)。どちらの場合も0 ≤ a ²です。これはi ² > 0および1 ² > 0を意味します。したがって、−1 > 0および1 > 0となり、(−1 + 1) > 0 となります。これは矛盾です。

しかし、演算 ≤ は、最初の性質（つまり、「 a ≤ bならば、a + c ≤ b + c」）のみを満たすように定義することもできます。辞書式順序の定義が使用される場合もあります。

• a ≤ b の場合
  • Re( a ) < Re( b )または
  • Re( a ) = Re( b )かつIm( a ) ≤ Im( b )

この定義では、 a ≤ b はa + c ≤ b + cを意味することが容易に証明できます。

線形不等式のシステムはフーリエ・モツキン消去法によって単純化できる。^{[ 17 ]}

円筒代数分解は、多項式方程式と不等式の系に解が存在するかどうかを判定し、解が存在する場合はそれを記述するアルゴリズムです。このアルゴリズムの計算量は、変数の数に対して二重指数関数的に増加します。特定のケースにおいてより効率的なアルゴリズムを設計することは、活発な研究分野となっています。

• 二項関係
• 括弧（数学）  ：‹と › のような記号を括弧として使用する場合
• 包含関係（集合論）
• 不等式
• 区間（数学）
• 不等式のリスト
• 三角不等式の一覧
• 一部注文済みのセット
• 関係演算子は、プログラミング言語において不等号を表すために用いられる。

• Hardy, G. ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1999).不等式. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8。
• ベッケンバッハ、EF；ベルマン、R.（1975）。不等式入門。ランダムハウス社。ISBN 0-394-01559-2。
• ドラックマン、バイロン・C.、クラウド、マイケル・J. (1998).不等式：工学への応用. シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-98404-6。
• Grinshpan, AZ (2005)、「一般不等式、その帰結、および応用」、Advances in Applied Mathematics、34 (1): 71–100、doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• クラムキン、マレー・S.「クイック不等式」(PDF)。Math Strategies。2022年10月9日にオリジナルからアーカイブされた(PDF) 。
• ローウォーター、アーサー（1982）。不等式入門（講義ノート）。
• ハロルド・シャピロ(2005)。「数学的問題解決」。古問題セミナー。クングリガ・テクニスカ・ホグスコーラン。
• 「第3回USAMO」。 2008年2月3日にオリジナルからアーカイブされました。
• Pachpatte, BG (2005).数学的不等式. North-Holland Mathematical Library. Vol.  67 ( 初版). アムステルダム、オランダ: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2。ISSN 0924-6509。MR 2147066。Zbl 1091.26008。   
• エールゴット、マティアス（2005）。多基準最適化。シュプリンガー・ベルリン。ISBN 3-540-21398-8。
• Steele, J. Michael (2004). 『コーシー＝シュワルツのマスタークラス：数学的不等式の技法入門』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-54677-5。

• 「不等式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• エド・ペッグ・ジュニアによる不等式のグラフ
• AoPS Wikiの不等式に関する項目