部分空間トポロジー

位相幾何学や数学の関連分野において、位相空間Xの部分空間とは、 Xの部分集合S のうち、 Xの位相から誘導される位相を備えたものであり、部分空間位相^[1]（あるいは相対位相[ ^1]、誘導位相[ ^1]、トレース位相^[2] ）と呼ばれる。

位相空間との部分集合が与えられたとき、上の部分空間位相は次のように定義される。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

つまり、 の部分集合が部分空間位相において開いているのは、それが と の開集合の交差である場合に限ります。に部分空間位相が備わっている場合、それはそれ自体が位相空間であり、の部分空間と呼ばれます。位相空間の部分集合は、特に明記しない限り、通常、部分空間位相が備わっているものと想定されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$

あるいは、 の部分集合の部分空間位相を、包含写像が成り立つ最も粗い位相として定義することもできる。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

連続しています。

より一般的には、 が 集合 から位相空間 への射影であるとします。このとき、 上の部分空間位相は、 が連続する最も粗い位相として定義されます。この位相の開集合は、で開いているに対して という形式の開集合とまったく同じです。は、の像(これも部分空間位相と)に同相であり、位相的埋め込み と呼ばれます。 ${\displaystyle \iota}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \iota}$${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \iota}$

部分空間は、射影が開写像である場合、つまり の開集合の順像がにおいて開いている場合、開部分空間と呼ばれます。同様に、射影が閉写像である場合、閉部分空間と呼ばれます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \iota}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \iota}$

集合と位相空間の区別は、便宜上、表記上曖昧にされることが多く、これがこれらの定義に初めて遭遇したときに混乱の原因となることがあります。したがって、がのサブセットであり、が位相空間である場合、単純な記号「」および「 」は、の 2 つのサブセットとみなされる と の両方を指すためによく使用され、また、上で説明したように関連する位相空間とみなされるおよびを指すためにも使用されます。したがって、「の開部分空間」などの語句は、が の開部分空間であり、上記の意味で次のことを意味するために使用されます。つまり、(i) であり、(ii) は部分空間位相を備えていると見なされます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau _{S})}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau _{S})}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle S}$

以下では、実数を通常の位相で 表します。${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 自然数の部分空間位相は、 の部分空間として、離散位相です。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• の部分空間として考えられた有理数は 離散位相を持ちません (たとえば、{0} は の開集合ではありません。なぜなら、との交差が単集合{0}のみになるの開部分集合は存在しないからです)。aとbが有理数の場合、区間 ( a , b ) と [ a , b ] はそれぞれ開区間と閉区間ですが、aとbが無理数の場合、 a < x < bとなるすべての有理数xの集合は開区間と閉区間の両方になります。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• のサブスペースとしての集合 [0,1] は開集合かつ閉集合であるが、 のサブセットとしての集合は閉集合であるだけである。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• の部分空間として、[0, 1] ∪ [2, 3] は 2 つの互いに素な開部分集合（閉じている部分集合でもある）から構成され、したがって不連続空間となります。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• S = [0, 1) を実数直線 の部分空間とします。すると、[0, 1 ⁄ 2 ) はSでは開きますが、 では開きません(たとえば、(- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) とSの交差は[0, 1 ⁄ 2 ) になります)。同様に、[ 1 ⁄ 2 , 1) はSでは閉じますが、 では閉じません([0, 1) と交差して [ 1 ⁄ 2 , 1)になる の開部分集合が存在しないから)。Sは自身の部分集合としては開いていて閉じていますが、 の部分集合としては開いていません。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

部分空間位相には、次の特性があります。を の部分空間とし、 を包含写像とします。すると、任意の位相空間に対して、写像が連続する場合、かつその場合のみ、合成写像が連続します。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:Y\to X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:Z\to Y}$${\displaystyle i\circ f}$

この特性は、 上の部分空間トポロジーを定義するために使用できるという意味で特徴的です。 ${\displaystyle Y}$

部分空間位相のさらなる特性をいくつか挙げます。以下では、を の部分空間とします。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• が連続している場合、 への制限も連続です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S}$
• が連続している場合は、 は連続です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$
• の閉集合は、と の閉集合の交差部分とまったく同じです。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• がのサブスペースである場合、も同じ位相を持つ のサブスペースです。つまり、から継承するサブスペースの位相は、 から継承する位相と同じです。${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• が の開部分空間であるとします(つまり)。このとき、 の部分集合がで開集合となるのは、それが で開集合となる場合のみです。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• が の閉部分空間であるとします(つまり)。このとき、 の部分集合がで閉じている場合、かつそれが で閉じている場合に限ります。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• が の基底である場合、 はの基底となります。${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$${\displaystyle S}$
• 距離をこのサブセットに制限することによって距離空間のサブセット上に誘導されるトポロジーは、このサブセットの部分空間トポロジーと一致します。

ある位相的性質を持つ位相空間が、その部分空間にもその性質があることを意味する場合、その性質は遺伝的であると言います。閉じた部分空間だけがその性質を共有しなければならない場合、その性質は弱遺伝的であると言います。

• 完全に距離化可能な空間のすべての開いた部分空間とすべての閉じた部分空間は、完全に距離化可能です。
• ベール空間のすべての開いた部分空間はベール空間です。
• コンパクト空間のすべての閉じた部分空間はコンパクトです。
• ハウスドルフ空間であることは遺伝的です。
• 通常の空間であることは遺伝性が弱いです。
• 完全な境界は遺伝します。
• 完全に切り離されていることは遺伝です。
• 第一可算性と第二可算性は遺伝的です。

• 双対概念商空間
• 製品トポロジー
• 直和トポロジー

• ブルバキ、ニコラ、数学の要素：一般位相幾何学、アディソン・ウェズリー（1966）
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446
• ウィラード、スティーブン。一般位相幾何学、ドーバー出版（2004年）ISBN 0-486-43479-6