制限順序

集合論において、極限順序数とは、ゼロでも後続順序数でもない順序数のことである。言い換えれば、順序数λが極限順序数であるとは、λより小さい順序数が存在し、βがλより小さい順序数であるときはいつでも、β < γ < λとなる順序数γが存在することを意味する。すべての順序数は、ゼロ、後続順序数、または極限順序数のいずれかである。

例えば、最小の極限順序数はωであり、これはすべての自然数よりも大きい最小の順序数です。これは極限順序数です。なぜなら、任意のより小さい順序数 (つまり、任意の自然数) nに対して、それよりも大きい (例えばn + 1) が、ωより小さい別の自然数を見つけることができるからです。次に小さい極限順序数は ω + ω です。これについては、記事の中でさらに詳しく説明します。

フォン・ノイマンの順序数の定義を用いると、すべての順序数は、それより小さいすべての順序数の整列集合である。したがって、最大要素を持たない空でない順序数の集合の和集合は、常に極限順序数となる。フォン・ノイマンの基数割り当てを用いると、すべての無限基数もまた極限順序数となる。

極限順序数を定義するその他の方法は以下のとおりです。

• それは、それより小さいすべての順序数の上限に等しいが、ゼロではない。（後続の順序数と比較すると、それより小さい順序数の集合には最大値が存在するため、上限はその最大値、つまり前の順序数となる。）
• ゼロではなく、最大値も存在しない。
• これは、α > 0 の場合、ωα の形で表すことができます。つまり、カントール標準形では最後の項に有限の数は含まれておらず、順序数はゼロではありません。
• これは、順序位相に関する順序数のクラスの極限点である。（他の順序数は孤立点である。）

0 は直前の数を持たないため、極限順序数に分類すべきかどうかについては議論があり、一部の教科書では 0 を極限順序数のクラスに含めていますが^{[ 1 ]}、他の教科書では除外しています^{[ 2 ] 。}

順序数のクラスは整列しているため、最小の無限極限順序数が存在し、ω (オメガ) で表されます。順序数 ω は、自然数の最小上限であるため、（極限を無視すれば）最小の無限順序数でもあります。したがって、ω は自然数の順序タイプを表します。最初の極限順序数より上の次の極限順序数は ω + ω = ω·2 であり、これは任意の自然数nに対して ω· nに一般化されます。すべての ω·n の和集合(任意の順序数の集合に対する上限演算) を取ると、ω·ω = ω ²が得られ、これは任意の自然数nに対して ω ⁿに一般化されます。このプロセスは、次のようにさらに繰り返すことで生成できます。

${\displaystyle \omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots }$

一般に、乗算、べき乗、繰り返しべき乗などによるこれらの再帰的な定義はすべて極限順序数を生成します。これまで議論してきた順序数はすべて可算順序数です。しかし、可算順序数であるチャーチ・クリーネ順序数より小さいすべての順序数を体系的に命名するための再帰的に列挙可能なスキームは存在しません。

可算数を超える最初の不可算数序数は通常 ω ₁と表記される。これは極限序数でもある。

さらに続けると、以下のものが得られる（これらはすべて濃度が増加する）。

${\displaystyle \omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots }$

一般に、最大要素を持たない空でない順序数の集合の和集合を取ると、必ず極限順序数が得られます。

α > 0 の場合の ω²α の形の順序数は、極限の極限などです。

後続順序数と極限順序数（様々な共終点を持つ）のクラス、およびゼロは、順序数のクラス全体を網羅するため、これらのケースは超限帰納法による証明や超限再帰法による定義でよく用いられます。極限順序数は、このような手続きにおける一種の「転換点」を表しており、先行するすべての順序数の和集合を取るなどの極限操作を用いる必要があります。原理的には、極限順序数ではどのような操作でも構いませんが、和集合を取る操作は順序位相において連続的であり、通常はこれが望ましいとされています。

フォン・ノイマン基数割り当てを用いると、すべての無限基数は極限順序数でもある（そしてこれは適切な観察である。基数はラテン語のcardo（蝶番または転換点）に由来する）。この事実の証明は、無限ホテル論法によって、すべての無限後継順序数が極限順序数と等数であることを示すだけで済む。

基数には、継承と限界（すべてがより高いレベルにアップグレードされる）という独自の概念があります。

加法的に分解不可能

極限順序数 α は、α より小さい順序数 β < α の和として表せない場合、加法的に分解不可能であると呼ばれる。これらの数は、次の形式の任意の順序数である。${\displaystyle \omega ^{\beta }}$βは順序数です。最小値は次のように表記されます。$\displaystyle \gamma _{0}}$2番目は$\displaystyle \gamma _{1}}$など^{[ 3 ]}

乗法的に分解不可能

極限順序数 α は、α より小さい順序数 β < α の積として表せない場合、乗法的に分解不可能であると呼ばれる。これらの数は、次の形式の任意の順序数である。${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\beta }}}$βは順序数です。最小値は次のように表記されます。$\displaystyle \delta _{0}}$2番目は$\displaystyle \delta _{1}}$など^{[ 3 ]}

指数的に分解不可能で、それを超える

「指数分解不可能」という用語は、α より小さい β < α の順序数の指数積(?)として表現できない順序数を指すのではなく、イプシロン数を指し、「四分法分解不可能」はゼータ数を指し、「五分法分解不可能」はイータ数を指すなどである。^{[ 3 ]}

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