ベス番号

数学、特に集合論において、ベス数とは、慣例的に と表記される無限 基数（超限数とも呼ばれる）の特定の列であり、 はヘブライ文字のベスである。ベス数はアレフ数（ ）と関連しているが、一般化連続体仮説が真でない限り、 でインデックス付けされる数ででインデックス付けされない数が存在します。 ${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$${\displaystyle \beth}$ ${\displaystyle \aleph_{0},\aleph_{1},\dots }$${\displaystyle \aleph}$${\displaystyle \beth}$

ベス数は超限再帰によって定義されます。

• ${\displaystyle \beth_{0}=\aleph_{0},}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}},}$

ここで は順序数であり は極限順序数である。^[1]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \lambda}$

基数は、自然数の集合などの可算無限集合の基数です。 ${\displaystyle \beth_{0}=\aleph_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}$

を順序数、を濃度 の集合とします。すると、 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle A_{\alpha}}$${\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A_{\alpha })}$は の冪集合（すなわち のすべての部分集合の集合）を表す。${\displaystyle A_{\alpha}}$${\displaystyle A_{\alpha}}$

• 集合はからまでのすべての関数の集合を表す。${\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}$${\displaystyle A_{\alpha}}$${\displaystyle \{0,1\}}$

• 基数は基数の累乗の結果であり、${\displaystyle 2^{\beth _{\alpha }}}$

• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=\left|2^{A_{\alpha }}\right|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|}$は のべき集合の濃度です。${\displaystyle A_{\alpha}}$

この定義によれば、

${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$

はそれぞれ

${\displaystyle \mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathbb {N} ))),\dots }$

したがって、2 番目の be 番目の数は連続体の濃度(実数の集合の濃度)に等しく、3 番目の be 番目の数は連続体の冪集合の濃度です。 ${\displaystyle \beth_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \beth_{2}}$

カントールの定理により、前のシーケンスの各セットの濃度は、その前のセットの濃度よりも確実に大きくなります。無限極限順序数 の場合、対応するベス数は、 より確実に小さいすべての順序数に対するベス数の最大値として定義されます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}.}$

この定義は、

${\displaystyle \beth _{\lambda }=|\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|.}$

例えば：

• ${\displaystyle \beth_{\omega}}$の基数です。${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} 、{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )、{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))、{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )))、\dots {\Bigr \}}}$
• ${\displaystyle \beth _{\omega 2}}$の基数です。${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_ {\omega }})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }}))),\ドット {\Bigr \}}}$
• ${\displaystyle \beth _{\omega ^{2}}}$の基数です。${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_ {\omega }})),\dots ,{A_{\omega 2}},{\mathcal {P}}({A_{\omega 2}}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega 2}})),\dots ,}$ ${\displaystyle {A_{\omega 3}},{\mathcal {P}}({A_{\omega 3}}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega 3}})),\dots ,\dots {\Bigr \}}}$

この同等性は、次のことからわかります。

• 任意の集合 に対して、そのすべての要素の和集合は、その要素の基数の最大値とその集合自身の基数の積よりも大きくなることはない。${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle |\bigcup \mathbb {S} |\leq {\Bigl (}|\mathbb {S} |\times \sup {\Bigl \{}|s|:s\in \mathbb {S} {\Bigr \}}{\Bigr )}}$
• 任意の2つの非ゼロ基数について、そのうちの少なくとも1つが無限基数である場合、積は2つのうち大きい方になります。${\displaystyle \kappa _{a},\kappa _{b}}$${\displaystyle \kappa _{a}\times \kappa _{b}=\max\{\kappa _{a},\kappa _{b}\}}$
• 集合は、任意の極限順序数に対して、その部分集合のほとんどまたはすべてよりも小さくなる。${\displaystyle {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$${\displaystyle \lambda }$
• したがって、任意の極限順序数${\displaystyle |\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$${\displaystyle \lambda }$

この動作は後続順序数とは異なることに注意してください。 が後続順序数である場合、 より小さいがany より大きい基数は存在できます(その場合、存在は ZFC で決定できず、一般化連続体仮説によって制御されます)。ただし、 が極限順序数である場合、2 番目に提示された定義であっても、存在することはできません。 ${\displaystyle \beth _{\beta }}$${\displaystyle \beth _{\alpha }:\alpha <\beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

フォン・ノイマン宇宙 には基数があることも示せます。 ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }}$${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

選択公理を仮定すると、無限基数は線形に順序付けられ、2つの基数が比較できないということはあり得ない。したがって、定義によりとの間には無限基数は存在しないので、 ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$

この議論を繰り返すと（超限帰納法を参照）、 すべての順序数に対して が得られます。 ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

連続体仮説は、

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

一般化された連続体仮説によれば、このように定義されたベス数の列は、 すべての順序数に対して、 アレフ数の列と同じになります。 ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

これは、またはaleph nullと定義されているため、基数を持つセットには次のものが含まれます。 ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \beth _{0}}$

• 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 有理数​ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 代数的数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$
• 計算可能な数と計算可能な集合
• 整数、有理数、代数的数の有限集合の集合
• 整数の有限多重集合の集合
• 整数の有限列の集合。

カーディナリティを持つセットには次のものが含まれます。 ${\displaystyle \beth _{1}}$

• 超越数
• 無理数
• 実数​ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 複素数​ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 計算不可能な実数
• ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 自然数の冪集合（自然数のすべての部分集合の集合） ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$
• 整数列の集合（つまり、からまでのすべての関数を含む）${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 実数の列の集合、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• からまでのすべての実解析関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からまでのすべての連続関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からまでのすべての関数の集合で、最大で可算不連続点を持つもの^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 実数の有限部分集合の集合
• からまでのすべての解析関数の集合（正則関数）${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 自然数から自然数（）へのすべての関数の集合。${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \beth _{2}}$(ベス・ツーと発音) は、 (ツー・ザ・パワー・オブと発音)とも呼ばれます。 ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

カーディナリティを持つセットには次のものが含まれます。 ${\displaystyle \beth _{2}}$

• 実数集合のべき集合なので、実数直線の部分集合の数、つまり実数集合の数である。
• 自然数の集合の冪集合の冪集合
• からまでのすべての関数の集合（）${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$
• からまでのすべての関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• からまでのすべての関数の集合で、不連続点が無数にあるもの^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 自然数の集合からそれ自身へのすべての関数の集合の冪集合、または自然数の列の集合の数
• 、、のストーン・チェフコンパクト化${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ^[3]の決定論的フラクタルの集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• におけるランダムフラクタルの集合。^[4]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \beth _{\omega }}$(ベスオメガと発音) は、最小の不可算な 強極限基数です。

より一般的な記号（序数と基数）が時々使用されます。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$λ が極限順序数である場合。

それで

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

ツェルメロ・フランケル集合論(ZF)では、任意の基数およびに対して、次を満たす順序数が存在する。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

そして、ZF では、任意の基数と順序数およびに対して、次のようになります。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

その結果、ZFでは、選択公理の有無にかかわらず、原始元が存在しない場合に、任意の基数およびに対して、等式 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

十分に大きい順序数すべてに対して等式が成り立ちます。つまり、すべての順序数に対して等式が成り立つような順序数が存在するということです。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

これは、原始元が純粋集合（推移閉包に原始元を含まない集合）と同数である集合を形成するという条件で、原始元を含むツェルメロ-フランケル集合論（選択公理の有無にかかわらず）でも成立する。選択公理が成立する場合、原始元の任意の集合は純粋集合と同数である。

ボレル決定性は可算指数のすべてのベスの存在によって暗示される。^[5]

• 超限数
• 不可算集合