機能的誘導体

仮定する${\displaystyle B}$はバナッハ空間であり、${\displaystyle F}$は、上で定義された関数である。${\displaystyle B}$の微分${\displaystyle F}$ある時点で${\displaystyle \rho \in B}$線形関数${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$の上${\displaystyle B}$^{[ 2 ]は}、すべてのに対してという条件によって定義される。${\displaystyle \phi \in B}$、 $${\displaystyle F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho$$ ;\phi ]+\varepsilon \left\|\phi \right\|} ここで${\displaystyle \varepsilon }$は、${\displaystyle \|\phi \|}$そのような方法で${\displaystyle \varepsilon \to 0}$として${\displaystyle \|\phi \|\to 0}$これはつまり${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$は、のフレシェ微分である。${\displaystyle F}$で${\displaystyle \rho }$。

しかし、この関数微分の概念は非常に強いため、存在しない場合もあり、^{[ 3 ]}そのような場合は、ガトー微分のようなより弱い概念が好まれます。多くの実際的なケースでは、関数微分は方向微分として 定義されます^{[ 4 ]。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\[1ex]&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$$ なお、この関数微分の概念は、ノルムを用いなくても定義できることに注意してください。

より一般的な場合、関数空間${\displaystyle B}$の領域として現れる${\displaystyle F}$はベクトル空間ではないため、次の形式のバリエーションは${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$意味をなさない。この場合、私たちは変種を検討する。${\displaystyle \alpha _{?}:(-\varepsilon _{0},\varepsilon _{0})\to B}$の${\displaystyle \rho }$になる${\displaystyle C^{1}}$-関数の族であって、${\displaystyle \alpha _{0}=\rho }$^{[注3 ]} すべてのそのような変分空間を次のように表す。${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\rho }}$機能的微分${\displaystyle \delta F[\rho ]:{\mathcal {V}}_{\rho }\to \mathbb {R} }$機能的 $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho$$ ;\alpha ]=\delta F[\rho ][\alpha ]=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F[\alpha _{\epsilon }]-F[\rho ]}{\epsilon }}=F[\alpha _{?}]'(0)\end{aligned}}}

どこ${\displaystyle F[\alpha _{?}](\epsilon )=F[\alpha _{\epsilon }]}$すると上記は特殊なケースとなる。${\displaystyle \alpha _{\epsilon }=\rho +\epsilon \eta }$[ ^{5 ]​}

多くのアプリケーションでは、関数の領域は${\displaystyle F}$微分可能な関数の空間である${\displaystyle \rho }$ある空間上で定義される${\displaystyle \Omega }$そして${\displaystyle F}$形式は $${\displaystyle F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}$$ ある関数に対して${\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}$それは${\displaystyle x}$値${\displaystyle \rho (x)}$そしてその導関数${\displaystyle D\rho (x)}$もしそうであれば、さらに、${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]}$は、の積分として表すことができる。${\displaystyle \phi }$別の関数（δF / δρ で表される）を掛け合わせたもの $${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}$$この とき、この関数⁠ δF / δρ ⁠ は、 ρにおけるFの関数微分と呼ばれる。^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle F}$特定の機能のみに制限されています${\displaystyle \rho }$（例えば、境界条件が課されている場合）${\displaystyle \phi }$は、次のような関数に限定される。${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$これらの条件を満たし続ける。

経験的に、${\displaystyle \phi }$変化は${\displaystyle \rho }$ということで、正式には${\displaystyle \phi =\delta \rho }$そしてこれは関数の全微分と形式が似ている${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$、 $${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}$$ どこ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$は独立変数です。最後の 2 つの式を比較すると、関数微分は${\textstyle {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}}$偏微分と同様の役割を果たす${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}}$、ここで積分変数は${\displaystyle x}$これは、総和指数の連続版のようなものです。${\displaystyle i}$[ ^{8 ]} δF / δρは点ρにおけるFの勾配と考えることができるので、 δF / δρ(x)の値は、点xで関数ρが変化した場合、関数F が^どれだけ変化するかを測定する。したがって、次の式が 成り立つ。$${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$$ は、点における方向微分とみなされる。${\displaystyle \rho }$の方向に${\displaystyle \phi }$これはベクトル解析に類似しており、ベクトルの内積は${\displaystyle v}$勾配は、方向の方向微分を与える。${\displaystyle v}$。

関数が与えられた場合 $${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$ そして関数${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}$前のセクションの定義から、積分領域の境界で消滅する、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

2行目は全微分を用いて得られる。ここで、∂f / ∂∇ρはベクトルに関するスカラーの微分である。 [^{注5 ]}

3行目は発散の積の法則を用いて得られた。4行目は発散定理と条件を用いて得られた。${\displaystyle \phi =0}$統合領域の境界上。${\displaystyle \phi }$も任意の関数であり、変分法の基本補題を最後の行に適用すると、関数微分は $${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$$

ここで、ρ = ρ ( r )およびf = f ( r , ρ , ∇ ρ )です。この式は、このセクションの冒頭でF [ ρ ]によって与えられた関数形式の場合に適用されます。他の関数形式については、関数微分の定義をその決定の出発点として使用できます。（クーロンポテンシャルエネルギー汎関数の例を参照してください。）

上記の関数微分に関する式は、より高次元および高階微分を含む場合にも一般化できる。関数は次のようになる。 $${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f\left({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}})\right)\,d{\boldsymbol {r}},}$$

ここで、ベクトルr ∈ R ⁿであり、∇ ^{( i )は}n ⁱ個の成分がi階の偏微分演算子であるテンソルである。 $${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i}=1,2,\dots ,n\ .}$$^{[注6 ]}

関数微分の定義を類似的に適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$$

最後の2つの式では、テンソルのn ^i成分は${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$は、 ρの偏微分に関するfの偏微分である。 $${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}}$$ どこ${\displaystyle \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}}$、テンソルスカラー積は、 $${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$$^{[注7 ]}