商のカテゴリー

数学において、商圏とは、射の集合を同一視することによって別の圏から得られる圏のことである。形式的には、商圏は（局所的に小さい）圏の圏における商対象であり、商群や商空間に類似しているが、圏論的な枠組みにおけるものである。

させて${\displaystyle \mathbf {C} }$カテゴリーである。合同関係$\displaystyle {\mathcal {R}}}$の上${\displaystyle \mathbf {C} }$は次のように与えられる：各オブジェクトのペアについて${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$で${\displaystyle \mathbf {C} }$同値関係${\displaystyle {\mathcal {R}}_{X,Y}}$の上${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$等価関係が射の合成を尊重するようにする。つまり、

$${\displaystyle f_{1},f_{2}:X\to Y\,}$$

は関連している${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$そして

$${\displaystyle g_{1},g_{2}:Y\to Z\,}$$

は関連している${\displaystyle \mathrm {ホム} (Y,Z)}$、 それから${\displaystyle g_{1}f_{1}}$そして${\displaystyle g_{2}f_{2}}$は関連している${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Z)}$。

合同関係が与えられた場合$\displaystyle {\mathcal {R}}}$の上${\displaystyle \mathbf {C} }$商のカテゴリーを定義することができます${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$対象が${\displaystyle \mathbf {C} }$そしてその射は射の同値類である${\displaystyle \mathbf {C} }$つまり、

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} /{\mathcal {R}}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(X,Y)/{\mathcal {R}}_{X,Y}.}$

射の合成${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$明確に定義されているため$\displaystyle {\mathcal {R}}}$これは合同関係です。

自然な商関数が存在する${\displaystyle \mathbf {C} }$に${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$これは各射をその同値類に送る関数です。この関数は対象に対して全単射であり、Hom集合に対して全射です（つまり、完全関数です）。

すべてのファンクター${\displaystyle F\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} }$合同関係を決定する${\displaystyle \mathbf {C} }$言うことによって${\displaystyle f\sim g}$もし${\displaystyle F(f)=F(g)}$ファンクター${\displaystyle F}$次に商関数を通して因数分解する${\displaystyle \mathbf {C} \to \mathbf {C} /\sim }$これは独特な方法で行われる。これは圏論における「第一同型定理」とみなすことができる。

• モノイドと群は、対象が1つである圏とみなすことができる。この場合、商圏は商モノイドまたは商群の概念と一致する。
• 位相空間のホモトピー圏 hTopは、位相空間の圏Topの商圏である。射の同値類は、連続写像のホモトピー類である。
• kを体とし、 k上のすべてのベクトル空間を射とするk線形写像からなるアーベル圏Mod( k )を考える。すべての有限次元空間を「消去」するために、2 つの線形写像f , g : X → Yが合同であるとは、それらの差が有限次元の像を持つ場合に限る。結果として得られる商圏では、すべての有限次元ベクトル空間は 0 と同型である。[これは実際には加法圏の商の一例である。詳細は後述。] 

• Mac Lane、Saunders (1998)。『働く数学者のためのカテゴリー』。大学院数学テキスト。第5巻 （第2 版）。Springer-Verlag。