不等式（数学）

数学において、不等式とは、2つの数値またはその他の数式を等しくない比較にする関係のことです。^[1]数直線上の2つの数値を大きさで比較するときに最もよく使用されます。不等式の主な種類は、より小さい(<) とより大きい(>) です。

さまざまな種類の不等式を表すために使用される表記法はいくつかあります。

• a < bという表記は、aがbより小さい ことを意味します。
• a > bという表記は、aがbより大きい ことを意味します。

どちらの場合も、a はbと等しくありません。これらの関係は厳密な不等式として知られており、^[1] aはbより厳密に小さいか、厳密に大きいことを意味します。等式は除外されます。

厳密な不等式とは対照的に、厳密ではない不等式関係には次の 2 種類があります。

• a ≤ bまたはa ⩽ bまたはa ≦ bという表記は、 aがb以下である （または、同等に、b以下である、またはbを超えない）ことを意味します。
• a ≥ bまたはa ⩾ bまたは a ≧ bという表記は、 aがb以上である （または同等に、少なくともb 、またはb未満ではない）ことを意味します。

17世紀と18世紀には、不等号を表すために個人的な記法やタイプライターの記号が使われた。^[2]例えば、1670年にジョン・ウォリスは、<と>の下ではなく上に1本の横棒を使った 。その後1734年に、≦と≧は「より小さい（より大きい）以上等しい」または「二重の横棒付きのより小さい（より大きい）または等しい」として知られ、ピエール・ブーゲの著作に初めて登場した。^[3]その後、数学者はブーゲの記号を「1本の横棒付きのより小さい（より大きい）または等しい」（≤）または「より小さい（より大きい）または斜めの等しい」（⩽）に簡略化した。

より大きくないという関係は、「より大きい」の記号を斜線で二分した「ない」という記号で表すこともできます。より小さくないという関係も同様です。${\displaystyle a\ngtr b,}$${\displaystyle a\nless b.}$

a ≠ bという表記は、 aがbと等しくないことを意味します。この不等式は、厳密な不等式の一種であると考えられることもあります。^{[4]これは、一方が他方より大きいとは言っていません。また、} aとb が順序付き集合のメンバーである必要もありません。

工学分野では、この表記法は、ある量が他の量よりも「はるかに大きい」ことを述べるためにあまり正式には使われません。 ^[5]通常は数桁大きいです。

• a ≪ bという表記は、aがbよりはるかに小さい ことを意味します。^[6]
• a ≫ bという表記はaがbよりはるかに大きいこと を意味する。^[7]

これは、より小さい値は近似の精度にほとんど影響を与えることなく無視できることを意味します(物理学における超相対論的限界の場合など)。

上記のすべてのケースにおいて、互いに鏡映しとなる 2 つのシンボルは対称的です。つまり、 a < bとb > aは同等です。

不等式は次の特性によって決まります。これらの特性はすべて、すべての非厳密な不等式 (≤ および ≥) を対応する厳密な不等式 (< および >) に置き換えた場合にも適用され、関数を適用する場合には単調関数は厳密に 単調な関数に制限されます。

≤ と ≥ の関係は互いの逆であり、任意の実数 aとbに対して次のようになる。

不等式の推移法則は、任意の実数 a、b、cに対して次のようになることを述べている。^[8]

前提のいずれかが厳密な不等式である場合、結論も厳密な不等式になります。

不等式の両辺に共通の定数cを加えたり減算したりすることができる。 ^[4]したがって、任意の実数 a、b、cについて：

言い換えれば、不等式関係は加算（または減算）の下で保存され、実数は加算の下で順序付けられたグループになります。

乗算と除算を扱う特性は、任意の実数a、b 、およびゼロ以外のcに対して次のことを述べています。

言い換えれば、不等式関係は正の定数による乗算および除算では維持されますが、負の定数が関係する場合は逆になります。より一般的には、これは順序付きフィールドに適用されます。詳細については、§ 順序付きフィールドを参照してください。

加法逆行列の性質は、任意の実数aとbに対して次のようになります。

両方の数が正の場合、乗法逆数間の不等式関係は元の数間の不等式関係と逆になります。より具体的には、両方とも正（または両方とも負） の任意の非ゼロの実数aとbについて、次のようになります。

aとbの符号のすべてのケースは、次のように連鎖表記法で記述することもできます。

単調増加関数は、その定義により、^[9]不等式の両辺に適用しても不等式の関係を壊すことはありません（両方の式がその関数の定義域にある場合）。ただし、単調減少関数を不等式の両辺に適用すると、不等式の関係が逆転します。加法逆数と正の数の乗法逆数の規則は、どちらも単調減少関数を適用する例です。

不等式が厳密 ( a < b、a > b )で関数が厳密に単調である場合、不等式は厳密なままです。これらの条件の 1 つだけが厳密である場合、結果として得られる不等式は非厳密です。実際、加法逆数と乗法逆数の規則はどちらも厳密に単調減少関数を適用する例です。

このルールの例をいくつか挙げます。

• aとb が正の実数であるとき、不等式の両辺をn > 0 (同等、- n < 0) 乗すると、次の式が成り立ちます。
  0 ≤ a ≤ b ≤ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ。
  0 ≤ a ≤ b ≡ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• aとbが正の実数 の場合、不等式の両辺の自然対数を取ると次のようになります。
  0 < a ≤ b ≤ ln( a ) ≤ ln( b ) 。
  0 < a < b ≡ ln( a ) < ln( b )。
  (自然対数は厳密に増加する関数であるため、これは当てはまります。)

（非厳密な）半順序とは、集合P上の二項関係≤であり、反射的、反対称的、推移的である。^[10]つまり、P内のすべてのa、b、cに対して、次の3つの条件を満たす必要がある。

• a ≤ a (反射性)
• a ≤ bかつb ≤ aならば、a = b（反対称性）
• a ≤ bかつb ≤ cならば、a ≤ c（推移性）

半順序を持つ集合は半順序集合と呼ばれる。^[11]これらはあらゆる種類の順序が満たさなければならない非常に基本的な公理である。

厳密な半順序とは、次の式を満たす関係 < である。

• a < a (非反射性)
• a < bならば、b < a（非対称性）
• a < bかつb < cならば、a < c（推移性）

いくつかの種類の半順序は、次のような公理を追加することによって指定されます。

• 全順序: P内の任意のaとbに対して、a ≤ bまたはb ≤ a。
• 稠密な順序: P内のa < bとなるすべてのaとbに対して、 a < c < bとなるc がP内に存在します。
• 最小上限特性:上限を持つPの空でない部分集合はすべて、 P内に最小上限(上限)を持ちます。

( F , +, ×) が体であり、 ≤ がF上の全順序である場合、次の場合に限り 、 ( F , +, ×, ≤) は順序付き体と呼ばれます。

• a ≤ b はa + c ≤ b + cを意味します。
• 0 ≤ aかつ 0 ≤ b は0 ≤ a × bを意味します。

⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ,\leq )}$と⁠ ⁠ は${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\leq )}$どちらも順序体ですが、⁠ ⁠ を順序体とするために≤ を定義することはできません。^{[12]これは、−1 が}iの2乗であり、したがって正になるためです。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

Rは順序体であることに加えて、最小上限特性も持っています。実際、Rはその性質を持つ唯一の順序体として定義できます。^[13]

a < b < cという表記は、「 a < bかつb < c 」を意味し、上記の推移性により、a < cであることもわかります。上記の法則により、3 つの項すべてに同じ数を加算または減算したり、3 つの項すべてを同じ非ゼロの数で乗算または除算したりして、その数が負の数である場合はすべての不等式を逆にすることができます。したがって、たとえば、a < b + e < c は、 a − e < b < c − eと同等です。

この表記は任意の数の項に一般化できます。たとえば、a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _nは、 i = 1, 2, ..., n − 1に対してa _i ≤ a _{i +1}であることを意味します。推移性により、この条件は任意の 1 ≤ i ≤ j ≤ nに対してa _i ≤ a _jと同等です。

連鎖記法を使用して不等式を解く場合、項を独立して評価することが可能であり、場合によってはそれが必要になります。たとえば、不等式 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2 を解く場合、加算または減算によって不等式のいずれかの部分のx を分離することはできません。代わりに、不等式を独立して解く必要があり、x < ⁠1/2⁠およびx ≥ −1 であり、これらを組み合わせると最終解 −1 ≤ x < ⁠が得られる。1/2⁠ .

時々、異なる方向の不等式で連鎖表記法が使用されることがあります。その場合、意味は隣接する項間の不等式の論理積です。たとえば、ジグザグ posetの定義条件は、 a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ...と記述されます。混合連鎖表記法は、 <、=、≤ などの互換性のある関係で使用されることが多いです。たとえば、a < b = c ≤ d は、 a < b、b = c、c ≤ dを意味します。この表記法は、 Pythonなどのいくつかのプログラミング言語に存在します。対照的に、 Cなどの比較結果の型に順序付けを提供するプログラミング言語では、同種の連鎖であってもまったく異なる意味を持つ場合があります。^[14]

不等式は、緩和できず一般に有効である場合にシャープであると言われる。正式には、すべての有効な普遍量化不等式ψに対して、ψ ⇒ φが成り立つ場合、ψ ≡ φも成り立つ場合、普遍量化不等式φはシャープと呼ばれる。たとえば、不等式∀ a ∈ R . a ² ≥ 0はシャープであるが、不等式∀ a ∈ R . a ² ≥ −1はシャープではない。^[要出典]

平均の間には多くの不等式があります。たとえば、任意の正の数a ₁、a ₂、...、a _{nに対して、} H ≤ G ≤ A ≤ Q が成り立ちます。ここで、これらは次の数列の平均を表します。

• 調和平均 :${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• 幾何平均 :${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• 算術平均 :${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• 二次平均 :${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

コーシー・シュワルツの不等式は、内積空間のすべてのベクトルuとvに対して、内積が 成り立つことを述べています。内積の例には、実数および複素数のドット積があります。標準的な内積を持つユークリッド空間R ⁿでは、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになります 。 $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

べき乗不等式は、 a ^{b の}形式の項を含む不等式です。ここで、aとbは実数の正の数または変数式です。これらは数学オリンピックの演習でよく登場します。

例:

• 任意の実数xに対して 、$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• x > 0 かつp > 0の場合、p → 0の極限では、上限と下限は ln( x ) に収束します。$${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$$
• x > 0の場合、$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• x > 0の場合、$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• x , y , z > 0の場合、$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• 任意の異なる実数aとbに対して、$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• x , y > 0かつ0 < p < 1の場合、$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• x , y , z > 0の場合、$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• a , b >0ならば[ ^15] $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• a , b >0ならば[ ^16] $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• a、b、c > 0の場合、$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• a , b > 0ならば、$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

数学者は、正確な式を簡単に計算できない量を制限するために不等式をよく使用します。不等式の中には、頻繁に使用されるため名前が付けられているものもあります。

加算と乗算の演算を伴う複素数 の集合は体ですが、 ≤ の関係を定義することは不可能であるため、 は順序付き体になります。順序付き体を作成するには、次の 2 つの特性を満たす必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• a ≤ bならば、a + c ≤ b + cである。
• 0 ≤ aかつ0 ≤ bならば0 ≤ ab。

≤ は全順序なので、任意の数aに対して、0 ≤ aまたはa ≤ 0のいずれかになります(この場合、上記の最初の特性により、0 ≤ − aとなります)。どちらの場合でも、0 ≤ a ^{2です。これは、} i ² > 0かつ1 ² > 0であることを意味します。したがって、−1 > 0かつ1 > 0であり、 (−1 + 1) > 0 であり、矛盾しています。

ただし、演​​算 ≤ は、最初のプロパティのみを満たすように定義できます (つまり、「a ≤ bの場合、a + c ≤ b + c」)。辞書式順序の定義が使用されることもあります。

• a ≤ b、もし
  • Re( a ) < Re( b )、または
  • Re( a ) = Re( b )かつIm( a ) ≤ Im( b )

この定義では、 a ≤ b はa + c ≤ b + c を意味することが簡単に証明できます。

線形不等式系はフーリエ・モツキン消去法によって簡略化できる。^[17]

円筒代数分解は、多項式方程式と不等式のシステムに解があるかどうかをテストし、解が存在する場合はそれを記述できるアルゴリズムです。このアルゴリズムの複雑さは、変数の数に対して二重指数関数的になります。特定のケースでより効率的なアルゴリズムを設計することは、活発な研究分野です。

• 二項関係
• 括弧（数学） 、同様の‹および›記号を括弧として使用する場合
• 包含（集合論）
• 不等式
• 区間（数学）
• 不等式のリスト
• 三角不等式の一覧
• 部分的に順序付けられた集合
• 関係演算子はプログラミング言語で不等式を表すために使用される。

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ウィキメディア・コモンズには、不等式 (数学)に関連するメディアがあります。

• 「不等式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Ed Pegg, Jr.著「不等式のグラフ」
• 不平等に関する AoPS Wiki エントリ