インフィムムとスプレムム

最後に、半順序集合には最小上限が存在しなくても、多くの最小上限が存在する場合があります。最小上限とは、それよりも厳密に小さい上限が存在しない上限のことです。これは、各最小上限が他のすべての上限よりも小さいという意味ではなく、単にそれよりも大きくないという意味です。「最小」と「最小」の区別は、与えられた順序が全順序でない場合にのみ可能です。実数のような全順序集合では、これらの概念は同じです。

例として、${\displaystyle S}$自然数のすべての有限部分集合の集合とし、からすべての集合を取って得られる半順序集合を考える。${\displaystyle S}$整数の集合とともに${\displaystyle \mathbb {Z} }$正の実数の集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$上記のように部分集合の包含順で並べると、明らかに両方とも${\displaystyle \mathbb {Z} }$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$は、すべての有限な自然数の集合よりも大きい。しかし、どちらも$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$より小さい${\displaystyle \mathbb {Z} }$また、その逆も真ではない。どちらの集合も最小の上限ではあるが、どちらも上限ではない。

最小上界の性質は、前述の完全性の性質の一例であり、実数の集合に典型的な性質です。この性質は、デデキント完全性と呼ばれることもあります。

順序付きセットの場合${\displaystyle S}$は、空でないすべての部分集合が${\displaystyle S}$上限値を持つものは、最小上限値も持つ。${\displaystyle S}$は最小上限特性を持つと言われている。上記のように、集合は${\displaystyle \mathbb {R} }$すべての実数の中で、最小上界の性質を持つ。同様に、集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の最小上限特性を持つ。${\displaystyle S}$は空でない部分集合である${\displaystyle \mathbb {Z} }$そして、いくつかの数字があります${\displaystyle n}$すべての要素が${\displaystyle s}$の${\displaystyle S}$以下${\displaystyle n,}$すると、最小の上限が存在する${\displaystyle u}$のために${\displaystyle S,}$上限となる整数${\displaystyle S}$また、他のすべての上限以下である。${\displaystyle S.}$整列集合は最小上界の性質も持ち、空集合もまた最小上界、すなわち集合全体の最小値を持つ。

最小上限特性を持たない集合の例は${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$有理数の集合。${\displaystyle S}$有理数の集合とする${\displaystyle q}$そのため${\displaystyle q^{2}<2.}$それから${\displaystyle S}$上限がある（${\displaystyle 1000,}$例えば、${\displaystyle 6}$）しかし、最小上限は${\displaystyle \mathbb {Q} }$: もし私たちが${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$は最小の上限であり、任意の 2 つの実数の間に矛盾がすぐに導き出されます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$（含む$\displaystyle {\sqrt {2}}}$そして${\displaystyle p}$) 合理的な何かが存在する${\displaystyle r,}$それ自体が最小上限値でなければならない（もし${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$）またはメンバー${\displaystyle S}$より大きい${\displaystyle p}$（もし${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$) もう一つの例は超実数です。正の無限小の集合には最小の上限がありません。

対応する最大下限の性質が存在する。順序付き集合が最大下限の性質を持つのは、最小上限の性質も持つ場合のみである。集合の下限集合の最小上限は最大下限であり、集合の上限集合の最大下限は最小上限である。

部分的に順序付けられた集合の場合${\displaystyle P}$すべての有界部分集合には上限が存在する。これは任意の集合にも当てはまる。${\displaystyle X,}$すべての関数を含む関数空間において${\displaystyle X}$に${\displaystyle P,}$どこ${\displaystyle f\leq g}$かつその場合に限り${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$例えば、これは実関数に適用され、これらは関数の特殊なケースとみなせるので、実数にも適用されます。${\displaystyle n}$実数のタプルと数列。

最小上限の性質は、上限を示す指標である。

もし${\displaystyle A}$任意の実数集合は${\displaystyle A\neq \varnothing }$かつその場合に限り${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$その他${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$^{[ 2 ]}

セット内容

もし${\displaystyle A\subseteq B}$実数の集合である場合${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$（もし${\displaystyle A=\varnothing }$これは次のように読み取れます${\displaystyle \inf B\leq \infty }$） そして${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

関数の下の画像${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$は非減少関数であり、${\displaystyle S}$は、空でない有界部分集合である。${\displaystyle \mathbb {R} }$、 それから ${\displaystyle f(\inf(S))\leq \inf(f[S])}$そして${\displaystyle f(\sup(S))\geq \sup(f[S])}$、ここで画像は次のように定義される。${\displaystyle f[S]\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$

下限と上限の特定

下限が${\displaystyle A}$存在する（つまり、${\displaystyle \inf A}$は実数です）そしてもし${\displaystyle p}$任意の実数である場合${\displaystyle p=\inf A}$かつその場合に限り${\displaystyle p}$は下限であり、すべての${\displaystyle \epsilon >0}$そこには${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$と${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ 同様に、${\displaystyle \sup A}$は実数であり、${\displaystyle p}$任意の実数である場合${\displaystyle p=\sup A}$かつその場合に限り${\displaystyle p}$は上限であり、すべての${\displaystyle \epsilon >0}$そこには${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$と${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

数列の極限との関係

もし${\displaystyle S\neq \varnothing }$が任意の空でない実数集合である場合、常に非減少数列が存在する。${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$で${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$同様に、（おそらく異なる）非増加数列が存在するだろう。${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$で${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$ 特に、集合の下限と上限は、次の場合にその閉包に属する。${\displaystyle \inf S\in \mathbb {R} }$それから${\displaystyle \inf S\in {\bar {S}}}$そしてもし ${\displaystyle \sup S\in \mathbb {R} }$それから${\displaystyle \sup S\in {\bar {S}}}$

下限と上限をそのような数列の極限として表現することで、数学のさまざまな分野の定理を適用できます。たとえば、位相幾何学におけるよく知られた事実を考えてみましょう。${\displaystyle f}$は連続関数であり、${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$定義域内の点の列が一点に収束する${\displaystyle p,}$それから${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$必然的に収束する${\displaystyle f(p).}$ それは、もし${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$は実数（すべての${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$は${\displaystyle S}$）そしてもし${\displaystyle f}$定義域が連続関数である${\displaystyle S}$そして${\displaystyle \sup S,}$それから $${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$ これは（例えば）^{[注1 ]}以下を保証する${\displaystyle f(\sup S)}$集合の支持点である${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ 仮定に加えて、連続関数${\displaystyle f}$も増加関数または非減少関数である場合、次の結論を導き出すことも可能です。${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ これは、例えば、次のような結論を導き出すために適用できる。${\displaystyle g}$は、定義域が の実数値（または複素数値）関数です。${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$その上限は${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$が有限であれば、すべての非負の実数に対して${\displaystyle q,}$$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$ 地図以来${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle f(x)=x^{q}}$は定義域が連続で減少しない関数である。${\displaystyle [0,\infty )}$常に${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$そして${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

この議論は${\displaystyle \sup ,}$同様の結論は以下からも得られる${\displaystyle \inf }$適切な変更を加えることで（例えば、${\displaystyle f}$増加しない（減少しない）以外の規範は、${\displaystyle \sup }$または${\displaystyle \inf }$弱いものを含める${\displaystyle L^{p,w}}$空間ノルム（${\displaystyle 1\leq p<\infty }$）、ルベーグ空間上のノルム${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$および演算子ノルム。${\displaystyle S}$収束する${\displaystyle \sup S}$（または${\displaystyle \inf S}$）は、実数の加算と乗算は連続演算であるため、以下に示す多くの公式を証明するのにも役立ちます。

以下の式は、集合に対する算術演算を都合よく一般化する記法に基づいています。${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$これらは実数の集合である。

セットの合計

2つの集合のミンコフスキー和${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$実数の集合は $${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$ ミンコフスキー和は、各集合から1つずつ選んだ数のペアの可能な算術和すべてから構成される。ミンコフスキー和の下限と上限は、次の条件を満たす。${\displaystyle A\neq \varnothing \neq B}$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$ そして $${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

セットの積

2つの集合の乗算${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$実数の和は、ミンコフスキー和と同様に定義される。 $${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は空でない正の実数の集合である。${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$そして同様にsupremaについても${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$^{[ 3 ]}

集合のスカラー積

実数の積${\displaystyle r}$そしてセット${\displaystyle B}$実数の集合は $${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

もし${\displaystyle r>0}$それから $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$ もし${\displaystyle r<0}$それから $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$ の場合${\displaystyle r=0}$、もし${\displaystyle A\neq \varnothing }$$${\displaystyle \inf(0\cdot A)=0\quad {\text{ and }}\quad \sup(0\cdot A)=0}$$ 使用${\displaystyle r=-1}$そして表記法${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$したがって、 $${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

集合の乗法逆元

任意の集合に対して${\displaystyle S}$含まない${\displaystyle 0,}$させて $${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

もし${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$空でないならば $${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$ この方程式は、次の場合にも成り立つ。${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$定義が${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$が使用される。^{[注2 ]} この等式は、別の形で次のように書くこともできる。 ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ さらに、${\displaystyle \inf _{}S=0}$かつその場合に限り${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ここで^{[注2 ]}${\displaystyle \inf _{}S>0,}$それから${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

• 数値集合の最小値${\displaystyle \{2,3,4\}}$は${\displaystyle 2.}$番号${\displaystyle 1}$これは下限値ではあるが、最大の下限値ではないため、最小値ではない。
• より一般的に言えば、集合に最小要素が存在する場合、その最小要素はその集合の下限値（infimum）である。この場合、最小要素は集合の最小値とも呼ばれる。
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• もし${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$極限値を持つ減少数列${\displaystyle x,}$それから${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• 数値集合の上限${\displaystyle \{1,2,3\}}$は${\displaystyle 3.}$番号${\displaystyle 4}$これは上限ではあるが、最小上限ではないため、上限値ではない。
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

最後の例では、有理数の集合の上限が無理数であるため、有理数は不完全であることを意味します。

至高の基本的な性質の一つは $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$任意の関数 に対して${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g.}$

部分集合の上限${\displaystyle S}$の${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$どこ${\displaystyle \,\mid \,}$「割り切る」は、要素の最小公倍数です。${\displaystyle S.}$

集合の上限${\displaystyle S}$ある集合の部分集合を含む${\displaystyle X}$は、部分的に順序付けられた集合を考慮したときの部分集合の和集合です。${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$、 どこ${\displaystyle P}$は、​${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \,\subseteq \,}$は部分集合です。