値域

数学において、関数の終域（または終点）とは、その関数のすべての出力が収まる集合のことです。これは、 f : X → Yという表記における集合Yに相当します。値域という用語は、終域と像のどちらを指す場合にも曖昧に用いられることがあります。 

終域は、関数f が( X、Y、G ) の三つ組として定義される 場合、 関数 fの一部です。ここで、Xはfの定義域、Yはその終域、G はそのグラフと呼ばれます。^{[ 1 ]} x が定義域Xの要素を移動するf ( x )の形式のすべての要素の集合は、fの像と呼ばれます。関数の像はその終域の部分集合であるため、終域と一致しない場合があります。つまり、全射でない関数は、その終域に、方程式f ( x ) = yが解を持たない要素yを持ちます。

関数f が単なるグラフとして定義されている 場合、 終域は関数 fの一部ではありません。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}例えば、集合論では、関数の定義域が適切なクラスXであることを許容することが望ましいですが、その場合、形式的にはトリプル( X , Y , G )というものは存在しません。このような定義では、関数は終域を持ちませんが、一部の著者はf : X → Yの形式で関数を導入した後、非公式に終域を使用しています 。^{[ 4 ]}

関数の場合

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

定義される

${\displaystyle f\colon \,x\mapsto x^{2},}$または同等に${\displaystyle f(x)\ =\ x^{2},}$

fの終域は${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$しかし、f は負の数には対応しません。したがって、 fの像は集合です。${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$; つまり、区間[ 0, ∞)。

代替関数gは次のように定義される。

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle g\colon \,x\mapsto x^{2}.}$

fとgは与えられたxを同じ数に写像するが、この観点からは、それらは異なる値域を持つため、同じ関数ではない。その理由を説明するために、3つ目の関数hを定義することができる。

${\displaystyle h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.}$

hの定義域は${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$しかし、次のように定義できる${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$:

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .}$

構成は以下のように表記されます。

${\displaystyle h\circ f,}$

${\displaystyle h\circ g.}$

調べてみると、h ∘ fは役に立たない。特に定義しない限り、fの像は不明であることは確かである。f は、f の像が のサブセットであることだけが分かっている。${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$このため、hがfと合成されたときに、出力が定義されていない引数を受け取る可能性があります。負の数は、平方根関数であるhの定義域の要素ではないためです。

したがって、関数合成は、 合成の右側の関数の終域（関数の結果であり、合成のレベルで不明である可能性のある像ではない）が左側の関数の定義域の部分集合である場合にのみ有用な概念となる。

終域は関数が全射であるかどうかに影響します。関数が全射であるのは、終域がその像と等しい場合に限ります。この例では、gは全射ですが、fは全射ではありません。終域は関数が単射であるかどうかには影響しません。

コドメインとイメージの違いを示す2つ目の例は、 2つのベクトル空間間の線形変換によって示されます。特に、からのすべての線形変換は、${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$自身への写像であり、実数係数を持つ2×2行列で表すことができる。各行列は、定義域を持つ写像を表す。${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$およびコドメイン${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$しかし、像は不確実です。変換によっては像がコドメイン全体（この場合はランク2の行列）と等しくなるものもありますが、多くはそうではなく、より小さな部分空間（ランク1または0の行列）に写像されます。例えば、次の行列Tを考えてみましょう。

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

これは、点( x , y )を( x , x )に写像する線形変換を表します。点(2, 3)はTの像には含まれていませんが、線形変換により、依然として値域に含まれています。${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$に${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$これらは明確に関連性があります。すべての2×2行列と同様に、 T はその集合の要素を表します。像と終域の差を調べることは、問題となっている関数の性質を発見するのに役立つことがよくあります。たとえば、像が終域全体よりも小さいため、 T はフルランクではないと結論付けることができます。

• 全単射– 1対1対応 
• 射影 § 終域
• 内部関数– 定義域と値域が同じ関数 

• ブルバキ、ニコラス(1970)。テオリ・デ・アンサンブル。数学の要素。スプリンガー。ISBN 9783540340348。
• エクルズ、ピーター・J. (1997)、『数学的推論入門：数、集合、関数』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59718-0
• フォースター、トーマス（2003）、『論理、帰納法、集合』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-53361-4
• Mac Lane、Saunders (1998)、『数学者のためのカテゴリー』（第2 版）、Springer、ISBN 978-0-387-98403-2
• Scott, Dana S. ; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory , Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
• Sharma, AK (2004), 『集合論入門』、Discovery Publishing House、ISBN 978-81-7141-877-0
• スチュワート、イアン；トール、デイヴィッド・オーム（1977）、『数学の基礎』、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853165-4