自然数

数学において、自然数とは、0、1、2、3 …といった数であり、0は含まれない場合もある。^[^a^]^[¹^]正の整数、非負の整数、整数、数え数といった用語も用いられる。^[²^]^[³^]自然数の集合は、一般的に太字のNまたは $黒板$ 太字で表される。 $\mathbb {N}$ ⁠ .

自然数は、数を数えるため、また数えた結果を表すために使われます。例えば、「1週間は7日間ある」のように、自然数は基数と呼ばれます。また、順序付けられた系列内の位置を表すためにも使われます。例えば、「月の3日目」のように、自然数は序数と呼ばれます。^{[ 4 ]}

自然数は、一般的に数字と呼ばれる 10 個の記号 ("0 1 2 3 4 5 6 7 8 9") を使用して文章で表現されます。これらの数字は、固有の識別子やラベル (スポーツチームのジャージ番号など) としても使用でき、名目数と呼ばれます。^{[ 5 ]}は自然数に似ていますが、特定の数学的性質はありません。

自然数は大きさによって比較でき、1、2、3、…というリストでは小さい数より大きい数が続きます。自然数には、加算と乗算という2つの基本的な算術演算が定義されています。しかし、逆演算である減算と除算は、自然数の結果になるのはごくまれです。小さい自然数から大きい自然数を引くと負の数になり、ある自然数を別の自然数で割ると通常は余りが出ます。

数学全体で最も一般的に使用されている数体系である整数、有理数、実数、複素数は自然数を含み、自然数を用いて正式に定義することができる。^{[ 6 ]}

算術とは、これらの数体系における基本的な演算の方法を研究する学問である。数論とは、これらの演算の性質とその一般化を研究する学問である。組み合わせ論の多くは、自然数を用いて定義される数学的な対象、パターン、構造を数えることに関わる。

直感的な概念

自然数の直感的かつ暗黙的な理解は、数を数えたり、順序付けたり、基本的な算術に数を使用したりすることによって自然に発達します^。 [ 7 ^]この中には、自然数とは何かという密接に関連した2つの側面があります。それは、集合のサイズ[ ⁸^]と、数列内の位置です。

コレクションのサイズ

自然数は、「テーブルの上にリンゴは何個ありますか？」といった質問に答えるために使用できます。 ^{[ 9 ]}このように使用される自然数は、有限個のオブジェクトの集合の特性を表します。この特性、つまり集合のサイズは基数と呼ばれ、それを記述または測定するために使用される自然数は基数です。

2つの有限集合のサイズ（濃度）が同じであるのは、それらが1対1に対応している場合です。つまり、各集合から1つずつオブジェクトをペアにして配置でき、すべてのオブジェクトが必ず1つのペアに含まれるということです。隣の画像では、すべてのリンゴがちょうど1つのオレンジとペアになっており、すべてのオレンジがちょうど1つのリンゴとペアになっています。したがって、リンゴの集合の濃度はオレンジの集合の濃度と同じであり、より簡単に言えば、リンゴの数とオレンジの数は同じです。

この等式は数えたり、数の概念を事前に使用したりすることなく確立できるため、^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}基数の定義を形成することができます。 ^{[ 12 ]}この場合、リンゴ、オレンジ、およびどちらかのグループにペアにできる他のコレクションの数は3です。

2つのコレクションの要素数が異なる場合、ペアリングを行うと、一方のコレクションにペアになっていないオブジェクトが残ります。このペアリングによって、両コレクション間のサイズ関係を定義できます。すべてのオブジェクトがペアになっているコレクションは、もう一方のコレクションよりも「小さい」とされ、ペアになっていないオブジェクトが残っているコレクションは「大きい」とされます。

シーケンス内の位置

シーケンスとは、特定の順序で並べられたオブジェクトのリストです。より正確には、シーケンスとは、そのリストの各位置にオブジェクトを割り当てる関数です。位置自体は整列集合を使用してラベル付けされます。すべての要素には常に明確な次の要素があります。^{[ 13 ]}すべての整列集合には順序タイプがあり、これは順序の形状を表す序数です。 ^{[ 14 ]}ここでの位置ラベルは、基数のようにカウントやサイズではなく、単に順序付けられた要素です。^{[ 15 ]}

$自然数は、$ 最も単純な無限整列集合を形成し、順序タイプが $ω$ であるため、無限数列のラベル付けに最もよく用いられる選択肢です。自然数は $0$ または $1$ から始まり、終点のないおなじみの固定順序（ $1、2、3$ など） $で$ 続きます。各自然数は、他のすべての位置との相対的な位置に基づいて、数列内の特定の位置をラベル付けします。たとえば、 $1$ は最初の位置、 $2は$ $1の$ 直後の位置、 $3は$ $1$ と $2の後の、$ $4、5$ などの前の位置です。この順序は、小さい数が大きい数の前に来るという通常の順序と一致します。しかし、自然数は単に最もよく知られた例にすぎません。任意の整列集合は、たとえば文字a 、 $b$ 、cなどの集合のように、数列のインデックス付けに同様に機能します。^[¹⁶^]

用語と表記法

自然数という用語には、 $0、1、2、...$ または $1、2、3、... という$ 2 つの一般的な定義があります。普遍的な慣習がないため、定義は使用状況に合わせて選択できます。^{[ 1 ]}^{[ 17 ]} $曖昧さを解消するために、 1、2、3、...$ と $0、1、2、...$ のシーケンスは、それぞれ正の整数と非負の整数と呼ばれることがよくあります。

「整数」という表現は、 $0 を$ 含む自然数を指す場合によく使われますが、正負すべての整数を意味する場合もあります。^{[ 18 ]}^{[ 2 ]}初等教育では、数える数は通常 $1$ から始まる自然数を指しますが、^{[ 3 ]}この定義は異なる場合があります。^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

自然数の集合は通常 N と表記されるか、 $黒板$ では太字でと表記される。 $\mathbb {N}$ ⁠ .^{[ 17 ]}^{[ 21 ]}^{[ b ]} $0$ が含まれるかどうかは多くの場合コンテキストによって決定されますが、を使用して指定することもできます $\mathbb {N}$ または $\mathbb {Z}$ （すべての整数の集合）添え字または上付き文字付き。例： $\mathbb {N} _{1}$ ⁠、^{[ 23 ]}または $\mathbb {Z} ^{+}$ ^{[ 24 ]} $( 1$ から始まるセットの場合) および $\mathbb {N} _{0}$ ^{[ 25 ]}または $\mathbb {Z} ^{0+}$ ^{[ 26 ]} $( 0$ を含む集合の場合)。

数字

数字とは、自然数を文章で表現するために用いられる記号または記号の集合であり、特定の記号の集合とその使用に関する規則を数字体系と呼びます。数字体系における各記号は、固有の自然数（その値と呼ばれる）を表し、単独で数字として使用することも、他の記号と組み合わせて数字を構成することもできます。

アラビア数字と位取り記数法を用いる十進法は、数学および日常生活において自然数を表すための普遍的な標準です。この普遍的な標準のおかげで、抽象的な数（値）とその記号（数字）の区別は一般的に重要ではなく、数字はしばしば単に「数」と呼ばれます。二進数のように区別が重要な場合でも、このように呼ばれることがあります。二進数はしばしば「二進数」と呼ばれます。

自然数の使用

自然数は、数を数えることや、算術の4つの基本演算（加算、減算、乗算、除算）に用いられる。

数える

数えるということは、 $1$ から始めて自然数を順番に数えていく過程のことです。数えることは、数字だけを使って行うこともできますし（「10まで数える」など）、物を使って数えることもできます（「クラスの生徒の数を数える」など）。

オブジェクトの集合に適用する場合、カウントはオブジェクトと自然数の列との間に一対一の対応を確立することによって、集合の基数を決定します。^{[ 27 ]}これは、タグ付けされたオブジェクトとまだタグ付けされていないオブジェクトを連続的に分割しながら、各オブジェクトに番号を順番に「タグ付け」することを含みます。^{[ 28 ]} $番号は1$ から始まる順序で割り当てる必要があり、順序数ですが、各オブジェクトが1つの番号だけを受け取る限り、オブジェクトの選択順序は任意です。基数原理は、最後のオブジェクトに割り当てられる順序数はオブジェクトの選択された順序に依存せず、カウントの結果、つまり集合の基数を与えるという定理です。^[²⁹^]

正式な定義

形式的な定義では、自然数の既存の直感的な概念と算術の規則を、数学的論理のより基本的な用語で定義します。形式的なシステムでは、自然数の定義特性は固定された順序であると想定し^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} 、後継数という原始的な概念を使用してこの順序を確立します。すべての自然数には後継数があり、それはその後に続く別の固有の自然数です。

自然数の標準的な形式的定義は、ペアノ公理と集合論に基づいている。ペアノ公理（ジュゼッペ・ペアノにちなんで名付けられた）は、自然数が何であるかを明示的に定義するのではなく、自然数がどのように定義されようとも、自然数に必ず当てはまる一連の命題または公理から構成される。対照的に、集合論では、各自然数を特定の集合として定義する。集合は一般的に、異なる対象または要素の集まりとして理解できる。この2つの方法は異なるものの、自然数の集合がペアノ公理を全体として満たすという点で一致している。

ペアノの公理

5 つのペアノ公理は次のとおりです。^{[ 32 ]}^{[ c ]}

$0$ は自然数である。
すべての自然数には、後継数となる自然数が存在する。
$0$ は、いかなる自然数の後継数でもない。
$x$ の後継数が $y$ の後継数と等しい場合、 $x は$ $y$ と等しい。
帰納法の公理：ある命題が $0$ について真であり、かつ、その命題が数について真であるならば、その命題が次の数についても真であるならば、その命題はすべての自然数について真である。

これらはペアノが発表したオリジナルの公理ではありませんが、彼の名誉を称えて名付けられています。ペアノの公理の中には、 $0$ の代わりに $1 を使用する形式もあります。通常の算術では、$ $x$ の後継数は $x$ $+ 1$ です。

集合論的定義

集合論では、各自然数 $nは特定の集合として定義されます。さまざまな構成が提案されていますが、標準的な解決策 ($ ジョン・フォン・ノイマンによる) ^{[ 33 ]}は次のとおりです。

$0 = { }$ は空集合です。
任意の集合 $a$ の後継集合 $S (a)を$ $S$ $($ $a$ $) =$ $a$ $\cup {$ $a$ $}$ と定義する。
無限公理により、0を含み、かつ後継関数に関して閉じている集合が存在する。このような集合は帰納的であると言われる。すべての帰納的集合の共通部分もまた帰納的集合である。
この共通部分は自然数の集合です。

これにより、フォン・ノイマン順序数と呼ばれる自然数の反復的な定義が得られます。 ${\begin{alignedat}{2}0&&&{}=\{\}&&{}=\varnothing \\1&=0\cup \{0\}&&{}=\{0\}&&=\{\varnothing \}\\2&=1\cup \{1\}&&{}=\{0,1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\3&=2\cup \{2\}&&{}=\{0,1,2\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\n&=n-1\cup \{n-1\}&&{}=\{0,1,...,n-1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},...,\{\varnothing ,\{\varnothing \},...\}\}\\\end{alignedat}}$

この構成では、すべての自然数 $nは$ $n$ 個の要素を含む集合であり、各要素は $n$ より小さい自然数である。このことから、基数と順序という直感的な概念を形式的に定義することができる。

濃度：集合 $Sが$ $n$ 個の要素を持つとは、 $n$ から $S$ への1対1対応または全単射が存在する場合を指します。
順序: $n \leq m は、$ $nが$ $m$ の部分集合である場合に限り成り立つ。

別の構造物と呼ばれるツェルメロ順序数^{[ 34 ]} $は0 = { }$ および $S (a) = {a}$ を定義しており、現在では歴史的な関心のみを集めている。

物件

$このセクションでは、 0$ を自然数とする慣例を用います。 $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}$ ⁠ .

追加

集合が与えられた場合 $\mathbb {N}$ 自然数と後継関数 $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ 各自然数を次の自然数に送る加算（⁠ $+$ ⁠ ) は次のように定義されます。 ${\begin{aligned}a+0&=a&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b)&{\textrm {(2)}}\\\end{aligned}}$ 上記の記述では、（1）最初の自然数に対する加算を明示的に定義し、（2）以下に示すように、以前の定義に基づいて後続の各数に対する再帰的な定義を与えています。 ${\begin{alignedat}{2}&a+1=a+S(0)=S(a+0)=S(a)\\&a+2=a+S(1)=S(a+1)=S(S(a))\\&a+3=a+S(2)=S(a+2)=S(S(S(a)))\end{alignedat}}$ このように、加算は後続関数の繰り返し適用と見なすことができる。直感的には、 $a+b$ は、後継関数をに適用することによって評価されます。 $a$ 適用する必要がある回数だけ $0$ 生産する $b$ ⁠ .

代数構造 $(\mathbb {N} ,+)$ は単位元を持つ可換モノイドである。 $0$ これは1つの生成元を持つ自由モノイドです。この可換モノイドは相殺性質を満たすため、群に埋め込むことができます。自然数を含む最小の群は整数群です。

乗算

同様に、加算が定義されているので、乗算演算子 $\times$ $は、 a \times 0 = 0$ および $a \times S(b) = (a \times b) + a$ によって定義できます。これにより、 $(\mathbb {N} ^{*},\times )$ 単位元が1 の自由可換モノイドに分解する。このモノイドの生成元は素数の集合である。

加算と乗算の関係

自然数では、加算と乗算は両立しており、これは分配法則で表されます。 $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ 。しかし $\mathbb {N}$ は減法に関して閉じていない（つまり、ある自然数から別の自然数を引いても、必ずしも別の自然数になるとは限らない）。同様に、次のように言うことができる。 $\mathbb {N}$ 加法逆元を持たない。加法と乗法のこれらの性質は、 $\mathbb {N}$ は環ではなく、半環（リグとも呼ばれる）です。半環は環の代数的一般化であり、乗法は必ずしも可換ではありませんが、乗法は可換です。 $\mathbb {N}$ 可換である。

自然数を「0を除く」かつ「1から始まる」とすると、+と×の定義は上記のとおりですが、 $a + 1 = S (a)$ および $a \times 1 = a$ で始まります。さらに、 $(\mathbb {N^{*}} ,+)$ 識別要素がありません。

注文

自然数上の全順序は、a ≤ b であるのは、a + c = b となる別の自然数 c が存在する場合に限ると定義される。この $順序は、$ $次$ $の$ $意味$ $で$ $算術$ 演算 $と$ 互換性がある。a 、 $b$ $、$ c が $自然$ 数で、 $a$ $\leq$ $b$ ならば、 $a$ $+$ $c$ $\leq$ $b$ $+$ $c$ および $a$ $\times$ $c$ $\leq$ $b$ $\times$ $c$ が成り立つ。

自然数の重要な性質の一つは、整列性を持つことです。つまり、空でない自然数の集合には必ず最小の要素が存在します。整列集合間の順位は順序数で表され、自然数の場合は $ω$ （オメガ）で示されます。

分割

一般的に、ある自然数を別の自然数で割って結果として自然数を得ることはできませんが、代わりに剰余付き除法またはユークリッド除法が利用できます。b $\neq 0$ $で$ ある任意の 2 つの自然数 $a$ と $b$ に対して、次の自然数 $q$ と $r$ が存在します。 $a=b\times q+r{\text{かつ}}r<b。$

数 $q$ は商、 $rは$ $aを$ $b$ で割った余りと呼ばれます。数 $q$ と $rは$ $a$ と $b$ によって一意に決定されます。このユークリッド除法は、数論における他のいくつかの性質（割り切れるかどうか）、アルゴリズム（ユークリッドの互除法など）、および概念の鍵となります。

自然数が満たす代数的性質

上記で定義した自然数に対する加算（+）と乗算（×）演算には、いくつかの代数的性質があります。

加法と乗法に関する閉包性：すべての自然数 $a$ と $b$ に対して、 $a + b$ と $a \times b$ はともに自然数である。^{[ 35 ]}
結合法則：すべての自然数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ に対して、 $a + (b + c) = (a + b) + c$ および $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ が成り立つ。^{[ 36 ]}
可換性：すべての自然数 $a$ と $b$ に対して、 $a + b = b + a$ および $a \times b = b \times a$ が成り立つ。^{[ 37 ]}
恒等要素の存在：すべての自然数aに対して、a + 0 = aおよびa × 1 = aが成り立つ。
- 自然数を「0を除く」かつ「1から始まる」とすると、すべての自然数 $a$ に対して、 $a \times 1 = a$ が成り立つ。しかし、「加法単位元の存在」という性質は満たされない。
$すべての自然数a$ 、 $b$ 、 $c$ に対する乗法の加算に対する分配法則、 $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ 。
ゼロ以外の零因子は存在しない： $a$ と $bが$ 自然数で、 $a \times b = 0$ である場合、 $a = 0$ または $b = 0$ （あるいはその両方）である。

歴史

歴史の大部分において、現在自然数と呼ばれているものは単に数でした。中世後期から17世紀末にかけて、数の概念は負の数、有理数、無理数を含むように拡大し、現在私たちが実数と呼んでいるものになりました。^{[ 38 ]}これにより、元の数とこれらの新しい種類の数を区別する必要が生じました。^{[ 39 ]}

ニコラ・シュケは1484年に「progression naturelle '自然進行'」という用語を使用した。^[⁴⁰^]「natural number」が完全な英語のフレーズとして最も早く使用されたのは1763年である。^[⁴¹^]^[⁴²^] 1771年のブリタニカ百科事典は、対数の記事で自然数を定義している。^[⁴²^]

正式な建築

19世紀のヨーロッパでは、自然数の正確な性質について数学的、哲学的議論が交わされました。アンリ・ポアンカレは、公理は有限の適用においてのみ証明できると述べ、同じ行為の無限の繰り返しを想像できるのは「精神の力」であると結論付けました。^{[ 43 ]}レオポルド・クロネッカーは、自身の信念を「神が整数を創造し、それ以外はすべて人間の仕事である」と要約しました。^{[ d ]}

構成主義者たちは、数学の基礎における論理的厳密性を向上させる必要性を感じていた。^{[ e ]} 1860年代、ヘルマン・グラスマンは自然数の再帰的定義を提案し、自然数は実際には自然数ではなく、定義の結果であると述べた。その後、集合論とペアノの公理をそれぞれ用いた、そのような形式的定義の2つのクラスが現れた。さらに後になって、それらはほとんどの実際的な応用において同等であることが示された。

自然数の集合論的定義はフレーゲによって始められました。彼は当初、自然数を特定の集合と1対1に対応するすべての集合のクラスとして定義しました。しかし、この定義はラッセルのパラドックスを含むパラドックスを引き起こすことが判明しました。このようなパラドックスを回避するために、形式論は修正され、自然数は特定の集合として定義され、その集合と1対1に対応させることができる任意の集合はその数の要素を持つと言われました。^{[ 46 ]}

1881 年、チャールズ・サンダース・パースは自然数算術の最初の公理化を提供しました。 ^{[ 47 ]}^{[ 48 ]} 1888 年、リヒャルト・デデキントは自然数算術の別の公理化を提案し、^{[ 49 ]} 1889 年にペアノは著書『新しい方法による算術の原理』（ラテン語: Arithmetices principia, nova methodo exposita）でデデキントの公理の簡略版を発表しました。このアプローチは現在ペアノ算術と呼ばれています。これは順序数の性質の公理化に基づいています。つまり、すべての自然数には後継数があり、すべてのゼロでない自然数には一意の前継数があります。ペアノ算術は、いくつかの弱い集合論体系と等しく整合しています。そのような体系の 1 つは、無限公理をその否定に置き換えたZFCです。^[⁵⁰^] ZFC では証明できるが、ペアノ公理では証明できない定理には、グッドスタインの定理が含まれる。^[⁵¹^]

自然数としてのゼロ

$0$ または $1$ から始めることは、長い間慣習の問題でした。1727 年に、ベルナール・ル・ボヴィエ・ド・フォントネルは、 $0 は$ $0、1、2、...$ のような数列の項になり得るが、 $1$ は繰り返し加算によって他の数を形成できる基本要素である、という両方の方法を主張しました。 ^[⁵²^] 1889 年に、ジュゼッペ・ペアノは正の整数に「 $N 」を使用し、$ $1$ から始めましたが、^[⁵³^]後に $N$ $0$ と $N$ $1$ を使用するように変更しました。^[²³^]初期の著者のほとんどは $0 を$ 除外しましたが、^[⁴²^]^[⁵⁴^]^[⁵⁵^]ジョージ A. ウェントワース、バートランドラッセル、ニコラブルバキ、ポールハルモス、スティーブンコールクリーネ、ジョンホートンコンウェイなどの多くの数学者は $0 を$ 含めました。^[⁵⁶^]^[⁴²^] $0$ を含めることは1960 年代に広く採用されるようになり^[⁴²^] 、 ISO 31-11 (1978)で正式に定められました。この規格では、自然数に $0 を$ 含めることが定義されており、この慣習は現在のISO 80000-2規格にも引き継がれています。^[⁵⁷^]

一般化

{\displaystyle \mathbb {N} } — 自然数間の包含関係をセットします（ $\mathbb {N}$ ）、整数（ $\mathbb {Z}$ ）、有理数（ $\mathbb {Q}$ ）、実数（ $\mathbb {R}$ ）、複素数（ $\mathbb {C}$ ）

数学全体で最も一般的に使用されている数体系は、それぞれが同じ算術構造を持つ部分集合を含むという意味で、自然数の拡張です。これらの数体系は、自然数を用いて形式的に定義することもできます（ただし、そうする必要はありません）。^{[ f ]}任意の 2 つの自然数の差を数とみなすと、結果は整数となり、これにはゼロと負の数が含まれます。任意の 2 つの整数の商を数とみなすと、結果は有理数となり、これには分数が含まれます。任意の無限小数を数とみなすと、結果は実数となります。任意の多項式方程式の解を数とみなすと、結果は複素数となります。

自然数のその他の一般化については、「数」§ 「概念の拡張」で説明します。

注記

↑ 0が自然数とみなされるかどうかは、著者や文脈によって異なります。
↑古い文献では、この集合の記号として $Jが用いられることがあった。$ ^{[ 22 ]}
↑ハミルトン (1988)、117 頁以降では、これらを「ペアノの公理」と呼び、「1.0 は自然数である」で始めています。ハルモス (1966)、46 頁では、5 つの公理に算術の言語ではなく集合論の言語を使用しています。彼は「(I) $0 \in ω$ (もちろん、 $0 = \emptyset で$ ある) ( $ω$ はすべての自然数の集合)」で始めています。モラッシュ (1991)、第 10.1 節:正の整数の体系の公理化では、自然数が 1 から始まる「2 部構成の公理」を示しています。
↑英語訳はグレイによるものです。脚注でグレイはドイツ語の引用を「ウェーバー 1891–1892、19、1886年のクロネッカーの講演からの引用」としています。^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}
↑イーブス（1990）、p.606 ：「20世紀の数学研究の多くは、この分野の論理的基礎と構造を検証することに費やされてきた。」
↑一般的に想定される集合論的包含関係は、実数を構成し、それ以前の構成をすべて破棄し、他の集合を最終的な構成の部分集合として定義することによって得られる。^{[ 58 ]}

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[1] 0が自然数とみなされるかどうかは、著者や文脈によって異なります。

[24] 古い文献では、この集合の記号として $Jが用いられることがあった。$ ^{[ 22 ]}

[35] ハミルトン (1988)、117 頁以降では、これらを「ペアノの公理」と呼び、「1.0 は自然数である」で始めています。ハルモス (1966)、46 頁では、5 つの公理に算術の言語ではなく集合論の言語を使用しています。彼は「(I) $0 \in ω$ (もちろん、 $0 = \emptyset で$ ある) ( $ω$ はすべての自然数の集合)」で始めています。モラッシュ (1991)、第 10.1 節:正の整数の体系の公理化では、自然数が 1 から始まる「2 部構成の公理」を示しています。

[49] 英語訳はグレイによるものです。脚注でグレイはドイツ語の引用を「ウェーバー 1891–1892、19、1886年のクロネッカーの講演からの引用」としています。^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}

[50] イーブス（1990）、p.606 ：「20世紀の数学研究の多くは、この分野の論理的基礎と構造を検証することに費やされてきた。」

[64] 一般的に想定される集合論的包含関係は、実数を構成し、それ以前の構成をすべて破棄し、他の集合を最終的な構成の部分集合として定義することによって得られる。^{[ 58 ]}

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[7] メンデルソン（2008）、p. x harvp error: no target: CITEREFMendelson2008 ( help )は次のように述べています。「数体系の素晴らしい階層構造全体は、自然数に関するいくつかの単純な仮定から、純粋に集合論的な手段によって構築されています。」ブルーマン（2010）、p. 1：「数は数学の基礎を構成します。」

[8] メイベリー（2000）、p. xvi：「私たちは、数を数えたり、数えたりして計算することを学ぶことで、これらの数についての知識を得る。そのため、数を数えたり計算したりする過程は、自然数の概念そのものを構成するものだと考えるようになる。」

[9] Tao (2016) 、p. 68には、「...自然数に関する私たちの主な概念化の 1 つは、基数、つまり集合にいくつの要素があるかを測定することです」とあります。

[10] フレーゲ、ゴットロープ; フレーゲ、ゴットロープ (1975) [1953].算術の基礎: 数の概念に関する論理数学的探究(第 2版). イリノイ州エバンストン: ノースウェスタン大学出版局. p. 5. ISBN 978-0-8101-0605-5。

[11] メイベリー（2000）、 135ページ：「カントールの発見は、一対一対応で定義される『大きさの同一性』は、数えるという概念、あるいは実際には『数』という概念よりも論理的に先行するということだった…」

[12] ラッセル（1920）、 12ページ：「実際には、2つのコレクションが同じ数の用語を持っているかどうかを論理的に調べる方が、その数が何であるかを定義するよりも簡単である。」

[13] ラッセル（1920）、 14ページ：「例えば、ある集合が3つの要素を持つ場合、それに類似するすべての集合のクラスは、3つの要素からなる集合のクラスになることは容易にわかる。また、ある集合がいくつの要素を持つかにかかわらず、それに『類似する』集合は同じ数の要素を持つ。これを『同じ数の要素を持つ』ことの定義とみなすことができる。」

[14] アボット、ジェームズ・クロフォード (1969)。集合、束、ブール代数。p. 87。我々の最後の概念は、自然数について上で定義した数列の概念の一般化であり、 $\mathbb {N}$ 任意の整列集合によって $\langle A,\leq \rangle$ ⁠ . もし $X$ は任意の集合であり、 $I$ は理想である $A$ ⁠、次に関数 $s_I$ 定義済み $I$ 値は $X$ は、型のシーケンスと呼ばれます。 $I$ したがって、それは以下の部分集合である。 $X$ 要素によってインデックス付けされた⁠ $I$ ⁠ ; つまり、 ⁠ $s_{i}=\{\langle x,s(x)\rangle \mid x\in I\}$ ⁠ .

[15] Jech, Thomas J. (2003). Set theory (The 3rd millennium, rev. and expanded ed.). Berlin ; New York: Springer. p. 20. ISBN 978-3540440857定理2.12 .すべての整列集合は、一意の順序数と同型である。

[16] クワイン（1960）、pp. 262–263は、自然数の許容できる記述に求められる唯一の条件は、それらが数列を形成することであり、したがって「任意の数列、つまり各要素が有限個の先行要素しか持たない任意の無限級数で十分である」と述べている。

[17] ベナセラフ（1965）、 70ページ：「3という数字であるということは、2、1、そして場合によっては0に先行され、4、5、…と続くことと同義である。…どんな対象でも3の役割を果たすことができる。つまり、どんな対象でも何らかの数列の3番目の要素になり得る。3に特有なのは、その役割を定義することである。それは、その役割を果たす対象の典型となることによってではなく、数列の3番目の要素が残りの要素に対して持つ関係を表すことによってである。」

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自然数

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参考文献

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