連結和

数学、特に位相幾何学において、連結和演算は多様体に対する幾何学的修正である。この演算は、与えられた2つの多様体を、それぞれの多様体上の特定の点付近で結合する効果を持つ。この構成は、閉曲面の分類において重要な役割を果たす。

より一般的には、同一のサブ多様体に沿って多様体を結合することもできます。この一般化はしばしばファイバー和と呼ばれます。

また、結び目に関する密接に関連する概念として、結び目和または結び目の合成と呼ばれるものもある。

2 つのm次元多様体の連結和は、各多様体の内部にある球を削除し、結果として生じる境界球を貼り合わせることによって形成される多様体である。

両方の多様体が向き付けられている場合、接着写像の向きを反転させることで定義される一意の連結和が存在する。この構成では球の選択が用いられるが、結果は同相を除いて一意である。この操作は滑らかなカテゴリーでも機能させることができ、その場合、結果は微分同相を除いて一意である。滑らかなケースでは微妙な問題がある。向きが正しく選択されていても、球の境界間のすべての微分同相が同じ合成多様体を与えるとは限らない。たとえば、ミルナーは、2 つの 7 セルをその境界に沿って接着すると、結果として7 球と同相ではあるが微分同相ではないエキゾチックな球が得られることを示した。

しかし、接着方法を選択する標準的な方法があります${\displaystyle M_{1}}$そして${\displaystyle M_{2}}$これにより、一意に定義された連結和が得られます。^{[ 1 ]}埋め込みを選択します${\displaystyle i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}}$そして${\displaystyle i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}}$となることによって${\displaystyle i_{1}}$方向を維持し、${\displaystyle i_{2}}$方向を反転します。${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$互いに素な和から

${\displaystyle (M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))}$

特定することによって${\displaystyle i_{1}(tu)}$と${\displaystyle i_{2}((1-t)u)}$各単位ベクトルについて$u ∈ Sⁿ⁻¹$そしてそれぞれ${\displaystyle 0<t<1}$. 方向を選択してください${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$これは以下と互換性があります${\displaystyle M_{1}}$そして${\displaystyle M_{2}}$この構成が明確に定義されているという事実は、円盤定理に決定的に依存しており、それは決して自明ではない。詳細については、Kosinski著『微分多様体』^{[ 2 ]}を参照のこと。

連結和の演算は次のように表される。${\displaystyle \#}$。

連結和の演算は球面を持つ${\displaystyle S^{m}}$アイデンティティとして、つまり、${\displaystyle M\mathbin {\#} S^{m}}$は同相（または微分同相）である${\displaystyle M}$。

閉曲面の分類は、トポロジーにおける基礎的かつ歴史的に重要な成果であり、任意の閉曲面は、ある数の球面の連結和として表現できると述べている。${\displaystyle g}$トーリといくつかの数${\displaystyle k}$実射影平面の。

連結和は部分多様体に沿って定義できる。^{[ 3 ]： §1}

させて${\displaystyle M_{1}}$そして${\displaystyle M_{2}}$同じ次元の滑らかで向き付けられた2つの多様体であり、${\displaystyle V}$滑らかで閉じた向き付けられた多様体であり、両方に部分多様体として埋め込まれている。${\displaystyle M_{1}}$そして${\displaystyle M_{2}.}$さらに、正規束の同型写像が存在すると仮定する。

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

これにより、各繊維の向きが反転します。${\displaystyle \psi }$方向保存微分同相写像を誘導する

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

各正規束${\displaystyle N_{M_{i}}V}$微分同相的に近傍と同一視される${\displaystyle N_{i}}$の${\displaystyle V}$で${\displaystyle M_{i}}$そして地図

${\displaystyle N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

方向反転微分同相写像

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

法線ベクトル上。連結和${\displaystyle M_{1}}$そして${\displaystyle M_{2}}$平行${\displaystyle V}$では、その空間は

${\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}$

削除された近傍を方向保存微分同相写像で結合することによって得られる。この和はしばしば次のように表される。

${\displaystyle (M_{1},V)\mathbin {\#} (M_{2},V).}$

その微分同相型は、2 つの埋め込みの選択に依存する。${\displaystyle V}$そして選択について${\displaystyle \psi }$。

大まかに言えば、サブマニフォールドの各通常のファイバーは${\displaystyle V}$単一のポイントが含まれています${\displaystyle V}$、そして、${\displaystyle V}$これは、前のセクションで説明した連結和を各ファイバーに沿って実行したものです。このため、に沿った連結和は${\displaystyle V}$繊維の合計と呼ばれることが多い。

特別なケース${\displaystyle V}$ある点は、前のセクションの連結和を回復する。

もう1つの重要な特殊ケースは、次元が${\displaystyle V}$は、${\displaystyle M_{i}}$すると同型写像${\displaystyle \psi }$正規束が存在するのは、それらのオイラー類が反対である場合に限る。

${\displaystyle e\left(N_{M_{1}}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).}$

さらに、この場合、正規束の構造群は円群である。${\displaystyle SO(2)}$; したがって、埋め込みの選択は、からの写像のホモトピークラスのグループと正準的に同一視できる。${\displaystyle V}$円に、それはさらに第一整数コホモロジー群に等しい${\displaystyle H^{1}(V)}$。したがって、和の微分同相型は、の選択に依存します。${\displaystyle \psi }$そして、以下の要素から選択できます。${\displaystyle H^{1}(V)}$。

余次元2に沿った連結和${\displaystyle V}$シンプレクティック多様体のカテゴリーでも実行できます。この展開はシンプレクティック和と呼ばれます。

連結和は多様体上の局所演算であり、つまり、その近傍でのみ項を変更する。${\displaystyle V}$これは、例えば、和を単一の多様体上で実行できることを意味する。${\displaystyle M}$2 つの重複しないコピーを含む${\displaystyle V}$接着効果${\displaystyle M}$それ自体に。例えば、2次元球面の2つの異なる点における連結和は、2次元トーラスを生成する。

2つの結び目の連結和という、密接に関連する概念があります。実際、結び目を単なる1次元多様体とみなすならば、2つの結び目の連結和は、1次元多様体としてのそれらの連結和に他なりません。しかし、結び目の本質的な性質は、その多様体構造（すべての結び目が円と等価である）ではなく、むしろ周囲の空間への埋め込みです。したがって、結び目の連結和は、以下のように明確な埋め込みを生み出す、より精緻な定義を持ちます。

この手順により、新しい結び目、つまり元の結び目の連結和（または結び目和、または合成）が投影されます。結び目の連結和を適切に定義するには、3次元空間における向き付けられた結び目を考慮する必要があります。2つの向き付けられた結び目の連結和を定義するには、次のようになります。

1. 各結び目の平面投影を考え、これらの投影が互いに素であると仮定する。
2. 平面上に、各結び目に沿った弧の1組の辺を持ち、それ以外は結び目とは分離していて、かつ長方形の辺上の結び目の弧が長方形の境界の周りで同じ方向に向いているような長方形を見つけます。
3. 次に、これらの弧を結び目から削除し、長方形のもう一方の辺を形成する弧を追加することで、2つの結び目を結合します。

結果として得られる連結和結び目は、元の2つの結び目の向きと一致する向きを継承し、結果として得られる結び目の向き付けられた周囲同位体クラスは、元の2つの結び目の向き付けられた周囲同位体クラスのみに依存して明確に定義されます。

この操作により、3次元空間の向き付けられた結び目は、一意の素因数分解を持つ可換モノイドを形成し、素結び目の意味を定義できます。可換性の証明は、一方の項を非常に小さくなるまで縮小し、もう一方の結び目に沿って引っ張ることで確認できます。非結び目は単位です。2つの三つ葉結び目は最も単純な素結び目です。高次元の結び目は、${\displaystyle n}$-球体。

3次元空間では、アンノットは2つの非自明な結び目の和として表すことはできません。この事実は結び目の種数の加法性から導かれます。別の証明は、マズール詐欺と呼ばれることもある無限構成に基づいています。より高次元（余次元が少なくとも3）では、2つの非自明な結び目を足し合わせることでアンノットを得ることができます。

結び目の向きを考慮しない場合、連結和演算は（向き付けされていない）結び目の同位類上では適切に定義されません。これを確認するには、同値ではない（向き付けされていない結び目として）2つの非可逆結び目K、L を考えます。例えば、2つのプレッツェル結び目K = P (3, 5, 7) とL = P (3, 5, 9) を考えます。K +_とK ₋をKの 2 つの非同値な向きとし、L ₊とL _−をLの 2 つの非同値な向きとします。形成できる向き付けされた連結和は4 つあります。

• A = K ₊ # L ₊
• B = K ₋ # L ₋
• C = K ₊ # L ₋
• D = K ₋ # L ₊

これら４つの向き付けられた結び目の向き付けられた環境同位類はすべて異なっており、向きを考慮せずに結び目の環境同位類を考えると、{ A ~ B } と { C ~ D } という２つの異なる同値類が存在する。AとBが向き付けられていない同値であることを示すには、両者とも上記と同じ互いに素な結び目射影のペアから構成できることに注目すればよい。唯一の違いは結び目の向きである。同様に、CとDも同じ互いに素な結び目射影のペアから構成できることがわかる。

• バンド合計
• 素因数分解（3次元多様体）
• 多様体分解
• 衛星結び目

• Robert Gompf : シンプレクティック多様体の新しい構成法、Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
• ウィリアム・S・マッセイ著、『代数トポロジー入門』、シュプリンガー・フェルラーク、1991年。ISBN 0-387-97430-X。