原始的

数学、特に数論において、原始的とは「${\displaystyle p_{n}\#}$は、階乗関数に似た自然数から自然数への関数ですが、正の整数を順次掛け合わせるのではなく、素数のみを掛け合わせます。

ハーヴェイ・ダブナーが考案した「primorial」という名称は、 「factorial」という名称が因数と関連付けられるのと同様に、素数との類似性を示している。

原始的な${\displaystyle p_{n}\#}$最初の${\displaystyle n}$素数: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$

どこ${\displaystyle p_{k}}$は⁠${\displaystyle k}$⁠番目の素数。例えば、${\displaystyle p_{5}\#}$これは最初の5つの素数の積を表します。

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

最初の数体の原始人${\displaystyle p_{n}\#}$は：

1、2、6、30、210、2310、30030、510510、9699690 ...（OEISのシーケンスA002110）。​​​​​​​​​

^{漸近的に、原始粒子は[ 2 ]}に従って成長する。

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}.}$

一般に、正の整数に対して${\displaystyle n}$⁠、その原始的な${\displaystyle n\#}$は、以下のすべての素数の積です。${\displaystyle n}$⁠ ; つまり、 ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\,\leq \,n \atop p\,{\text{prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

どこ${\displaystyle \pi (n)}$は素数計数関数（OEISのシーケンスA000720）です。これは以下と同等です。

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

例えば、${\displaystyle 12\#}$は、以下のすべての素数の積を表します。${\displaystyle 12}$⁠ :

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

以来$\displaystyle \pi (12)=5}$これは次のように計算できます。

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

数列の最初の 12 個の値を検討します。${\displaystyle n\#}$⁠ :

${\displaystyle 1,2,6,6,30,30,210,210,210,210,2310,2310.}$

複合材料 の場合、${\displaystyle n}$⁠、すべての用語${\displaystyle n\#}$前の項と等しい${\displaystyle (n-1)\#}$上記の例では、${\displaystyle 12\#=p_{5}\#=11\#}$以来​${\displaystyle 12}$⁠は複合語です。

原始関数は第1チェビシェフ関数に関連している${\displaystyle \vartheta (n)}$[ ^{4 ]​}

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$

以来${\displaystyle \vartheta (n)}$漸近的に近づく${\displaystyle n}$大きな値の場合⁠${\displaystyle n}$したがって、原始生物は以下のように成長する。

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

• いずれの場合も${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} }$⁠、${\displaystyle n\#=p\#}$もし${\displaystyle p}$は、 を満たす最大の素数である。${\displaystyle p\leq n}$⁠ .
• させて${\displaystyle p_{k}}$になる${\displaystyle k}$⁠ th 素数。それから${\displaystyle p_{k}\#}$正確に${\displaystyle 2^{k}}$約数。
• 原始関数の逆数の合計は定数に 収束する

  ${\displaystyle \sum _{p\,{\text{prime}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$（OEISにおける配列番号A064648）

この数のエンゲル展開は素数列になります。グリフィス（2015）はそれが無理数であることを証明しました。^{[ 5 ]}

• ユークリッドによる素数の無限性に関する定理の証明は、次のように言い換えることができる。任意の素数に対して、${\displaystyle p}$数${\displaystyle p\#+1}$は、以下の素数の集合に含まれない素因数を持つ。${\displaystyle p}$。
• ⁠${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$⁠ . のために⁠${\displaystyle n<10^{11}}$⁠、値はより小さい${\displaystyle e}$[ ^{6 ]}ただし、より^大きな${\displaystyle n}$関数の値が超える${\displaystyle e}$そして無限に振動する${\displaystyle e}$後で。
• 二項係数${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$は、 から までのすべての素数で割り切れる。${\displaystyle n+1}$そして​${\displaystyle 2n}$⁠、そしてそれ以来${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}\leq 4^{n}}$、次の上限値が得られます。^{[ 7 ]}${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$。
  • デニス・ハンソンは初歩的な方法を用いて、${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$⁠ . ^{[ 8 ]}
  • ロッサーとシェーンフェルドは、より高度な手法を用いて、${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$[ ^{9 ]}さらに、彼らは^、${\displaystyle n\geq 563}$⁠、 ⁠${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$⁠ . ^{[ 9 ]}

原始数は加法等差数列における素数の探索において役割を果たします。例えば、 ${\displaystyle 2236133941+23\#}$結果は素数となり、繰り返し加算することで見つかる13個の素数列が始まります。${\displaystyle 23\#}$⁠、そして⁠で終わる${\displaystyle 5136341251}$⁠ .${\displaystyle 23\#}$また、15と16の素数の等差数列における公差でもある。

すべての高度合成数は、素数の積である。^{[ 10 ]}

原初数はすべて平方因子を持たない整数であり、それぞれがそれより小さいどの数よりも多くの異なる素因数を持つ。各原初数について⁠${\displaystyle n}$⁠、その割合${\displaystyle \varphi (n)/n}$は、より小さい任意の正の整数に対してより小さい。${\displaystyle n}$⁠、そこで${\displaystyle \varphi }$はオイラーのトーシェント関数です。

完全乗法関数は、素数における値によって定義される。なぜなら、素数における値は隣接する値の除算によって得られるからである。

原始数に対応する基数体系（例えば、30進数体系。原始数体系とは混同しないように）は、それより小さい基数よりも循環分数の割合が低い。

すべての原始数は疎なトーシェント数である。^{[ 11 ]}

その​${\displaystyle n}$合成数 の合成数${\displaystyle n}$は、までのすべての合成数の積です。${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 12 ]} The ⁠${\displaystyle n}$⁠ -コンポジタルは、 ⁠${\displaystyle n}$階乗を素数で割った値${\displaystyle n\#}$⁠。コンポジターは

1、4、24、192、1728、​​​​​​​​17 280、207 360、2 903 040、43 545 600、696 729 600、... ^{[ 13 ]}

1より大きい正の整数におけるリーマンゼータ関数は、原始関数とジョルダンのトーシェント関数を用いて表現できる^{[ 14 ]}。${\displaystyle J_{k}}$⁠ :

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k\in \mathbb {Z} _{>1}}$。

• ボンセの不平等
• チェビシェフ関数
• 原始的な数体系
• 原始的プライム

• Dubner, Harvey (1987). 「階乗素数と原始素数」J. Recr. Math. 19 : 197– 203.
• スペンサー、アダム「トップ100」第59位 パート4。