行列類似度

線形代数では、2 つのn × n行列AとB は、次の 条件を満たす可逆なn × n行列P が存在する場合に相似であると呼ばれる。$${\displaystyle B=P^{-1}AP.}$$2 つの行列は、 P を基底変換行列として、2 つの異なる基底の下で同じ線形写像 を表す場合に限り、類似していると言えます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

変換A ↦ P ⁻¹ APは、行列Aの相似変換または共役変換と呼ばれます。一般線形群では、相似性は共役性と同じであり、相似行列は共役とも呼ばれます。ただし、一般線形群の特定の部分群Hでは、共役性の概念は相似性よりも制限的である可能性があります。なぜなら、P が H に含まれるように選択する必要があるからです。

線形変換を定義する際、基底変換によって同じ変換のより単純な形式が得られる場合があります。たとえば、回転軸が座標軸と一致しない場合のℝ ³における回転を表す行列は計算が複雑になることがあります。回転軸が正のz軸と一致している場合は、単純に次のようになります。 $${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$ どこ${\displaystyle \theta }$は回転角です。新しい座標系では、変換は次のように表されます。 $${\displaystyle y'=Sx',}$$ ここで、x'とy'はそれぞれ、回転軸に平行なベクトルを含む新しい基底における元のベクトルと変換されたベクトルである。元の基底では、変換は次のように記述される。 $${\displaystyle y=Tx,}$$ ここで、ベクトルxとyおよび未知の変換行列Tは元の基底にあります。Tをより単純な行列で表すには、 xとy を次のように変換する基底変換行列P を使用します。${\displaystyle x'=Px}$そして${\displaystyle y'=Py}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$$

したがって、元の基底の行列は、${\displaystyle T}$は、${\displaystyle T=P^{-1}SP}$元の基底における変換は、簡単に導出できる3つの行列の積であることがわかります。実際には、相似変換は3つのステップで動作します。新しい基底（P）に変更し、単純な変換（S）を実行し、元の基底（P ^-1）に戻します。

相似性とは、正方行列の空間における同値関係である。

行列は、異なる基底（場合によっては異なる基底）に関して同じ線形演算子を表す場合に限り類似しているため、類似行列は、共通の基底演算子のすべての特性を共有します。

• ランク
• 特性多項式、およびそこから導き出せる属性：
  • 決定要因
  • トレース
  • 固有値とその代数的重複度
• 固有値の幾何学的重複度（ただし、基底変換行列Pに従って変換される固有空間は除く）。
• 最小多項式
• フロベニウス正規形
• ジョーダン正規形、ジョーダンブロックの順列まで
• 効力ゼロの指数
• 基本因子は、主イデアル領域上の行列の相似性に関する完全な不変量セットを形成する。

このため、与えられた行列Aに対して、 Aと相似な単純な「標準形」B を見つけることに興味があります。A の研究は、より単純な行列Bの研究に帰着します。たとえば、Aが対角行列と相似である場合、 Aは対角化可能であると呼ばれます。すべての行列が対角化可能であるわけではありませんが、少なくとも複素数(または任意の代数的に閉じた体) 上では、すべての行列はジョルダン形式の行列と相似です。これらの形式はどちらも一意ではありません (対角成分またはジョルダンブロックは置換される可能性があります) ので、これらは真の標準形ではありません。さらに、これらの形式の決定は、 Aの最小または特性多項式(A の固有値を見つけることと同等) を因数分解できるかどうかに依存します。有理標準形にはこれらの欠点はありません。有理標準形は任意の体上に存在し、真に一意であり、体での算術演算のみを使用して計算できます。AとB は、同じ有理標準形を持つ場合に限り相似です。有理標準形はAの基本因子によって決定されます。これらはジョルダン形式の行列からすぐに読み取ることができますが、行列 (多項式成分を持つ) XI _n − A (その行列式が特性多項式を定義するものと同じ)の多項式環上のスミス標準形を計算することによって、任意の行列に対して直接決定することもできます。このスミス標準形はA自体の標準形ではないことに注意してください。さらに、 XI _n − Aとも類似しておらず、後者から異なる可逆行列 (多項式成分を持つ) による左乗算と右乗算によって得られます。

行列の類似性は基底体に依存しません。LがK を部分体として含む体であり、AとBがK上の 2 つの行列である場合、AとB がK 上の行列として類似しているのは、 L上の行列として類似している場合のみです。これは、 K上の有理標準形がL上の有理標準形でもあるためです。つまり、与えられた行列が類似しているかどうかを判断するために、より大きな体上にのみ存在するジョルダン標準形を用いることができるということです。

類似性の定義において、行列P を置換行列として選択できる場合、AとBは置換類似である。また、P をユニタリ行列として選択できる場合、 AとBはユニタリ同値である。 スペクトル定理によれば、すべての正規行列は、ある対角行列とユニタリ同値である。スペクトの定理によれば、2 つの行列がユニタリ同値であるのは、それらが特定のトレース等式を満たす場合に限る。

• 正統形式
• 行列の合同性
• 行列の等価性
• ヤコビ回転