リース製品

群論において、輪積は半直積に基づく2 つの群の特別な組み合わせです。輪積は、ある群を別の群の多数のコピーに作用させることによって形成され、指数関数にいくらか似ています。輪積は、順列群の分類に使用され、群の興味深い例を構築する方法も提供します。

2 つのグループと（下と上^[1]とも呼ばれる）が与えられた場合、無制限リース積と制限リース積という 2 つのリース積のバリエーションが存在します。それぞれまたはで表わされる一般的な形式は、が何らかの集合 に作用することを必要とします。指定されていない場合は通常（通常のリース積）ですが、異なるが暗示されることもあります。2 つのバリエーションは、、および がすべて有限である場合に一致します。どちらのバリエーションも（LaTeX 記号として\wrを使用）またはA  ≀  H（Unicode U+2240） と表されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega =H}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle A\wr H}$

この概念は半群に一般化され、有限半群のクローン・ローズ構造理論における中心的な構成となっています。

を群とし、を集合（左側）に作用する群とする。の直積（で自身を添え字とする）は、 で添え字が付けられた 内の列の集合であり、群演算は点ごとの乗算で与えられる。への の作用は、を再添え字付けすることでへの作用に拡張することができ、すなわち次のように定義される。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle A^{\Omega }}$

${\displaystyle h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }}$

全ての人々のために。 ${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }}$

すると、によるの無制限な花輪積は 、上で与えられたの への作用との半直積になります。の部分群は花輪積の 基底と呼ばれます。${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A^{\Omega }}$${\displaystyle A^{\Omega }}$${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$

制限付きリース積は、リース積の基底として 直和を使用することを除いて、制限なしリース積と同じ方法で構成されます。この場合、基底は、 内のすべてのシーケンスと、有限個の非単位元要素で構成されます。が有限 の場合、2 つの定義は一致します。${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$${\displaystyle A^{\Omega }}$${\displaystyle \Omega }$

最も一般的なケースでは、、 は左乗算によってそれ自体に作用します。この場合、無制限および制限付きリース積はそれぞれ および で表されます。これは、通常のリース積 と呼ばれます。${\displaystyle \Omega =H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$

AとHの輪積の構造はH集合 Ωに依存し、Ω が無限大の場合は制限付き輪積を使用するか制限なし輪積を使用するかによっても異なります。ただし、文献では使用されている表記法が不十分な場合があり、状況に注意する必要があります。

• 文献では、A ≀ _Ω H は、無制限リース積A  Wr _Ω  Hまたは制限リース積A  wr _Ω  Hを表す場合があります。
• 同様に、A ≀ H は、無制限の正規リース積A  Wr  Hまたは制限付きの正規リース積A  wr  Hを表す場合があります。
• 文献では、 Ω ≠ Hの場合でもH集合 Ω を表記から省略することがあります 。
• H  =  S _{n が}n次対称群であるという特殊なケースでは、文献では Ω = {1,..., n } ( S _nの自然作用を伴う) と仮定し、表記から Ω を省略するのが一般的です。つまり、A ≀ S _{n は、}通常の花輪積A ≀ _{S n} S _{n の}代わりに、A ≀ _{{1,..., n }} S _{n を}表すのが一般的です。最初のケースでは、基本群はAのn 個のコピーの積であり、後者ではAのn !個のコピー の積です。

有限直積は群の有限直和と同じなので、Ω が有限であれば、無制限のA  Wr _Ω  Hと制限付き輪積A  wr _Ω  H は一致することになります。特に、Ω = HでHが有限の場合にこれが当てはまります。

A  wr _Ω  H は常にA  Wr _Ω Hのサブグループです。  

A、H 、Ωが有限であれば、

| A ≀ _Ω H | = |あ| ^|Ω| | H |。^[2]

普遍埋め込み定理: G がHによるAの拡大である場合、無制限花輪積A ≀ Hの部分群が存在し、これはGと同型です。^{[3]これは、}クラスナー-カルジュニン埋め込み定理としても知られています。クローン-ローズ定理は、基本的にこれの半群と同等のものを伴います。^[4]

群A が集合 Λ に作用する場合、A  Wr _Ω  H (したがってA  wr _Ω  Hも) が作用できる Ω と Λ からの集合を構築する標準的な方法が 2 つあります。

• Λ × Ω 上の原始花輪積作用。

  (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω Hおよび( λ , ω ') ∈ Λ × Ω の場合、

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}$

• ^{Λ Ω上}の原始花輪積作用。

  ^{Λ Ω}の要素は、H集合 Ωによってインデックス付けされたシーケンス ( λ _ω ) です。要素(( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω Hが与えられた場合、( λ _ω ) ∈ Λ ^Ωに対する演算は次のように与えられます。

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).}$

• ランプライターグループは限定リース製品です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\wr S_{n}}$（一般化対称群）。この花輪積の基底は、n次の対称群Snの作用がφ ( σ )(α1 _, ..., αn ):=( ασ ₍₁₎ ,..., ασ _{( n ) )で与え}られる場合の、 n_重直積の_コピーである。^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{n}=\mathbb {Z} _{m}...\mathbb {Z} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$${\displaystyle \phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{m}^{n})}$

• ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$（超八面体群）。
• S _nの{1,..., n } への作用は上記の通りである。2次の対称群S ₂は超八面体群と同型なので、一般化対称群の特殊なケースである。^[6]${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

• 最小の非自明な花輪積は であり、これは上記の超八面体群の 2 次元の場合です。これは正方形の対称群であり、D ₄、つまり位数 8 の二面体群とも呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$
• p を素数、とする。Pを対称群 S p n のシロー p 部分群とする。するとP_は^のn個のコピーの反復正則花輪積に同型となる。ここで、およびすべての に対して成り立つ。^{[7] [8]}たとえば、S ₄のシロー 2 部分群は上記の群である。${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle W_{n}=\mathbb {Z} _{p}\wr ...\wr \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle W_{1}:=\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle W_{k}:=W_{k-1}\wr \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$

• ルービックキューブ群は、8 つのコーナーと 12 の辺の対称性に対応する因子である花輪積の積における指数 12 の正規部分群です。${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}\wr S_{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr S_{12})}$

• 数独の妥当性保存変換 (VPT) グループには、二重リース積 ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S _{2 が}含まれます。ここで、因子は、3 行または 3 列のバンドまたはスタック内の行/列の順列( S ₃ )、バンド/スタック自体の順列 ( S ₃ )、およびバンドとスタックを交換する転置 ( S ₂ ) です。ここで、インデックス セットΩは、バンド (またはスタック) のセット (| Ω | = 3) とセット {バンド、スタック} (| Ω | = 2) です。したがって、| S ₃ ≀ S ₃ | = | S ₃ | ³ | S ₃ | = (3!) ⁴かつ |( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | S ₃ ≀ S ₃ | ² | S ₂ | = (3!) ⁸ × 2.

• リース積は、完全な根付き木とそのグラフの対称性において自然に生じます。たとえば、繰り返されるリース積S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S _{2 は、完全な}二分木の自己同型群です。

• 数学百科事典の花輪積。
• チャールズ・ウェルズ、「リース製品構造のいくつかの応用」、改訂版。