数学の言語

数学の言語、あるいは数学言語とは、自然言語（例えば英語）を拡張したものであり、数学や科学において、結果（科学法則、定理、証明、論理的推論など）を簡潔かつ正確に、そして曖昧さなく表現するために用いられる。

数学言語の主な特徴は以下のとおりです。

• 派生的な意味を持つ一般的な単語の使用。一般的に、より具体的で正確な意味になります。例えば、「または」は「一方、他方、または両方」を意味しますが、日常会話では「両方」が含まれる場合と含まれない場合があります。また、「線」は直線であり、幅はゼロです。
• 一般的な単語を、本来の意味とは全く異なる意味で使用すること。例えば、数学的な「リング」は、「リング」の他の意味とは全く関係がありません。実数と虚数は2種類の数であり、どちらかが他方よりも実数的、あるいは虚数的であるということはありません。
• 新語の使用。例えば、多項式、準同型など。
• 記号を単語やフレーズとして使用する。例えば、${\displaystyle A=B}$そして${\displaystyle \forall x}$それぞれ「${\displaystyle A}$等しい${\displaystyle B}$「そしてすべての${\displaystyle x}$「。
• 文の一部として数式を使用する。例: " ⁠${\displaystyle E=mc^{2}}$は質量エネルギー等価性を定量的に表す。「文に含まれていない式は、記号の意味が文脈に依存する可能性があるため、一般的に意味をなさない。${\displaystyle E=mc^{2}\,}$⁠ 「、これは、Eが物体のエネルギー、 mがその質量、 cが光速であることを指定する文脈です。
• 構成要素に分解できない句の使用。特に、形容詞は必ずしも対応する名詞の意味を制限するとは限らず、意味を完全に変えてしまう場合もあります。たとえば、ほとんどの代数的整数は整数ではなく、整数は特定の代数的整数です。したがって、代数的整数は、代数的である整数ではありません。
• 数学用語には、非公式な説明や略記に用いられるフレーズが含まれる。例えば、「ゼロに置き換える」の代わりに「殺す」という言葉がよく使われ、その結果、「暗殺者」や「殲滅者」といった専門用語が生まれた。

これらの特徴の結果、数学の文章は一般的に、ある程度の予備知識がなければ理解できないものとなる。例えば、「自由加群とは基底を持つ加群のことである」という文は完全に正しいが、基底、加群、自由加群の定義を知らない人にとっては、文法的には正しいものの意味不明な文章に見えるかもしれない。

電気生理学者であるHBウィリアムズは、1927年に次のように記した。

数学は真理の体系であると同時に、特別な言語でもある。それは、私たちの通常の思考や表現手段よりも、より綿密に定義され、より高度に抽象化された言語である。また、数学は、この重要な点で通常の言語と異なっている。すなわち、操作規則に従うということである。ある命題が数学的な形式に変換されると、これらの規則に従って操作することができ、記号のあらゆる配置は、元の命題に含まれる事実と調和し、かつそれに依存する事実を表すことになる。これは、私たちが通常の言語の記号を用いて知的活動を行う際の脳構造の働きとして考えているものと非常に近い。したがって、ある意味で、数学者は、論理的思考の作業の一部を、規則に従って記号を操作するために必要な監視のみで、中枢神経系の外で実行できる装置を完成させることができたと言える。 ^{[ 1 ]： 291}

• 数式
• フォーマルな言葉
• 数学記号の歴史
• 数学的表記法
• 数学用語一覧