ダランベール演算子

特殊相対性理論、電磁気学、波動論において、ダランベール演算子（ボックスで表記：）は、ダランベール演算子、波動演算子、ボックス演算子、あるいはクアブラ演算子^[1]（参照：ナブラ記号）とも呼ばれ、ミンコフスキー空間のラプラス演算子である。この演算子は、フランスの数学者で物理学者のジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle \Box}$

ミンコフスキー空間の標準座標（t、x、y、z）では、次の形式となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

ここで 3次元ラプラシアンはη ^μνであり、 逆ミンコフスキー計量で ある。${\displaystyle \nabla ^{2}:=\Delta }$

${\displaystyle \eta_{00}=1}$、、のために。${\displaystyle \eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=0}$${\displaystyle \mu \neq \nu }$

μとν の合計指数の範囲は 0 から 3 であることに注意してください。アインシュタイン表記法を参照してください。

（一部の著者は、代わりに、 とともに、(− + + +)の負の測定基準符号を使用しています。） ${\displaystyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1}$

ローレンツ変換はミンコフスキー計量を不変にするので、ダランベルシアンはローレンツスカラーを生成します。上記の座標式は、すべての慣性系における標準座標に対して有効です。

ダランベルシアンにはさまざまな表記法があります。最も一般的なのは、4 つの辺が 4 つの時空次元を表すボックス記号( Unicode : U+2610 ☐ BALLOT BOX ) と、 2 乗項によってスカラー特性を強調するボックスの 2 乗記号(ラプラシアンによく似ています) です。ラプラシアンの三角形表記に合わせて、 が使用されることもあります。 ${\displaystyle \Box}$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$${\displaystyle \Delta _{M}}$

平坦な標準座標でダランベルシアンを表す別の方法は です 。この表記法は量子場の理論で広く使用されています。量子場の理論では偏微分にインデックスが付けられるのが普通なので、偏微分を二乗したものにインデックスが付いていないことはダランベルシアンが存在することを示しています。 ${\displaystyle \partial^{2}}$

ボックス記号は、4 次元の Levi-Civita共変微分を表すために使用されることがあります。この記号は、空間微分を表すために使用されますが、これは座標チャートに依存します。 ${\displaystyle \nabla}$

小さな振動の波動方程式は次のようになる。

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

ここでu ( x , t )は変位です。

真空中の電磁場の 波動方程式は

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

ここで、A ^μはローレンツゲージの電磁4元ポテンシャル です。

クライン・ゴルドン方程式は次の式で表される。

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.}$

ダランベルシアンのグリーン関数は、次式で定義される。 ${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

ここで、は多次元ディラックのデルタ関数であり、およびは ミンコフスキー空間内の 2 つの点です。 ${\displaystyle \delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle {\tilde {x}}'}$

特別な解は、時間的に前方への信号伝播に対応する遅延グリーン関数によって与えられる^[2]

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$

ここで はヘヴィサイドのステップ関数です。 ${\displaystyle \Theta }$

• 4段階
• ダランベールの公式
• クライン・ゴルドン方程式
• 相対論的熱伝導
• リッチ計算
• 波動方程式

• 「ダランベール演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ポアンカレ、アンリ (1906).翻訳:電子の動力学について (7 月)  – Wikisource経由。、元々はパレルモのレンディコンティ・デル・チルコロ・マテマティコで印刷されました。
• ワイスタイン、エリック・W.「ダランベルティアン」。マスワールド。