プライムパワー

数学において、素数累乗とは、単一の素数の正の整数累乗です。たとえば、7 = 7 ^1、9 = 3 ^2、64 = 2 ^{6 は}素数累乗ですが、 6 = 2 × 3、12 = 2 ² × 3、36 = 6 ² = 2 ² × 3 ²は素数累乗ではありません。

主要なパワーのシーケンスは次のように始まります。

2、3、4、5、7、8、9、11、13、16、17、19、23、25、27、29、31、32、37、41、43、47、49、53、59、 61、64、67、71、73、79、81、83、89、97、101、103、107、109、113、121、125、127、128、131、137、139、149、151、157、 163、167、169、173、179、181、191、 193、197、199、211、223、227、229、233、239、241、243、251、…

（OEISの配列A246655）。

素累乗とは、ちょうど 1 つの素数で割り切れる正の整数のことです。特に、数 1 は素累乗ではありません。素累乗は、一次分解のように、一次数とも呼ばれます。

素累乗は素数の累乗である。すべての素累乗（4より大きい2の累乗を除く）には原始根がある。したがって、p ^nを法とする整数の乗法群（つまり、環Z / p ⁿ Zの単位群）は巡回的である。^[1]

有限体の元の数は常に素数冪であり、逆に、すべての素数冪はある有限体の元の数として現れる（同型性を除いて一意である）。^[2]

解析的整数論で頻繁に使われる素数冪の性質は、素数自体は大きな集合であるが、素数ではない素数冪の集合は、その逆数の無限和が収束するという意味で小さな集合であるということである。^[3]

素数冪の トーシェント関数（φ ）とシグマ関数（σ0）と（σ1 ）は_{、次の式で計算される。}

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

すべての素数累乗は欠損数です。素数累乗p ⁿはnとほぼ素数です。素数累乗p ^{n が}友好的なペアのメンバーになれるかどうかはわかっていません。そのような数がある場合、p ^{n は10 1500}より大きく、n は1400 より大きくなければなりません。

• ほぼプライム
• フェルミ・ディラック素数
• 完璧なパワー
• セミプライム

• ジョーンズ、ガレス A. およびジョーンズ、J. メアリー (1998)初等数論シュプリンガー・フェアラーク ロンドンdoi :10.1007/978-1-4471-0613-5