3D空間の非平坦領域での積分
表面積分の定義は、表面を小さな表面要素に分割することに依存します。 数学 、特に 多変数微積分学 において 、 面積分は 多重積分を 曲面 上の 積分 に 一般化したものである。これは 線積分の 二重積分 版 と考えることができる 。ある面が与えられたら、その面上で スカラー場 （つまり、 スカラーを 値として 返す位置の 関数）または ベクトル場（つまり、 ベクトルを 値として返す関数）を積分することができる。 図に示すように、
領域 R が平坦でない場合は、その領域は 曲面 と呼ばれる。
表面積分は 物理学、特に 古典電磁気学 の理論に応用されています 。
単一の表面要素の図。これらの要素は、表面を近似するように、制限プロセスによって極小サイズに作られています。
スカラー場の表面積分 f は、面 S 上で定義されたスカラー、ベクトル、またはテンソル場であると 仮定します。 fの S 上 の面積分の明示的な式を見つけるには 、 球面 上の 緯度と経度 のように、 S 上の 曲線座標 系を定義して S を パラメータ化する必要があります。このようなパラメータ化を r ( s , t ) とします。 ここで、 ( s , t ) は 平面 内の 領域 T で変化します。すると、面積分は次のように与えられます。
∬
S
f
d
S
=
∬
T
f
(
r
(
s
,
t
)
)
‖
∂
r
∂
s
×
∂
r
∂
t
‖
d
s
d
t
{\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}
ここで、右辺のバーの間の式は、 r ( s , t ) の 偏微分 の 外積 の 大きさ であり、表面 要素 として知られています（これは、たとえば、経線がより急激に収束し、緯度座標がよりコンパクトに間隔を空けている球の極の近くでは、より小さな値になります）。面積分は、同等の形式で表すこともできます。
∬
S
f
d
S
=
∬
T
f
(
r
(
s
,
t
)
)
g
d
s
d
t
{\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}
ここで gは 曲面写像 r ( s , t )の 最初の基本形 の行列式である 。 [1] [2]
例えば、 あるスカラー関数のグラフの 表面積を求めたい場合、例えば z = f ( x , y ) とすると、
A
=
∬
S
d
S
=
∬
T
‖
∂
r
∂
x
×
∂
r
∂
y
‖
d
x
d
y
{\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
ここで r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) です。したがって 、、および です 。したがって、
∂
r
∂
x
=
(
1
,
0
,
f
x
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}
∂
r
∂
y
=
(
0
,
1
,
f
y
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
A
=
∬
T
‖
(
1
,
0
,
∂
f
∂
x
)
×
(
0
,
1
,
∂
f
∂
y
)
‖
d
x
d
y
=
∬
T
‖
(
−
∂
f
∂
x
,
−
∂
f
∂
y
,
1
)
‖
d
x
d
y
=
∬
T
(
∂
f
∂
x
)
2
+
(
∂
f
∂
y
)
2
+
1
d
x
d
y
{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}
これは、このように記述された表面の面積の標準的な公式です。上記の最後から 2 番目の行のベクトルは、 表面の
法線ベクトルとして認識できます。
外積が存在するため、上記の式は 3 次元空間に埋め込まれた表面に対してのみ機能します。
これは、パラメータ化された表面上の リーマン体積形式 を積分したものと見ることができます。ここで、 計量テンソルは 表面の
最初の基本形式 によって与えられます。
ベクトル場の表面積分 面 S 上のベクトル場 v を 考えます。つまり、 S 内の各 r = ( x , y , z ) に対して、 v ( r ) はベクトルです。
前のセクションでは、 S 上の v の積分を定義しました。ここで、 表面上のベクトル場の 法線成分のみを積分するとします。その結果はスカラー値で、通常は表面を通過する フラックス と呼ばれます。たとえば、 S を流れる流体があり、 v ( r ) が r における流体の速度を決定するとします 。 フラックスは、単位時間あたりに S を 流れる流体の量として定義されます 。
この図は、ベクトル場が各点で S に 接している 場合、流体は S に 平行 に流れ、内側にも外側にも流れないため、フラックスはゼロであることを示しています。これはまた、 v が S に沿って流れていない場合 、つまり v が 接線成分と法線成分の両方を持っている場合、法線成分のみがフラックスに寄与することを意味します。この推論に基づくと、フラックスを求めるには、各点で S の 単位 面法線 nと v の ドット積 を取る必要があります。これによりスカラー場が得られ、得られた場を上記のように積分する必要があります。言い換えると、 v を ベクトル面要素 に関して積分する必要があります。ベクトル面要素 は、 特定の点で S に垂直なベクトルであり、その大きさは
d
s
=
n
d
s
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}
d
s
=
‖
d
s
‖
.
{\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}
式は
∬
S
v
⋅
d
s
=
∬
S
(
v
⋅
n
)
d
s
=
∬
T
(
v
(
r
(
s
,
t
)
)
⋅
∂
r
∂
s
×
∂
r
∂
t
‖
∂
r
∂
s
×
∂
r
∂
t
‖
)
‖
∂
r
∂
s
×
∂
r
∂
t
‖
d
s
d
t
=
∬
T
v
(
r
(
s
,
t
)
)
⋅
(
∂
r
∂
s
×
∂
r
∂
t
)
d
s
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
この式の右側の外積は、パラメータ化によって決定される（必ずしも単位ではない）表面法線です。
この式は左側の積分 を定義します (面要素の点とベクトル表記に注意してください)。
これを 2 形式を積分する特殊なケースとして解釈することもできます。つまり、ベクトル場を 1 形式と同一視し、その ホッジ双対を 表面上で積分します。これは 、浸漬表面上で積分することと同じです。ここで、は 表面上の誘導体積形式であり、 周囲空間のリーマン計量と表面の外向き法線との内積
によって得られます。
⟨
v
,
n
⟩
d
S
{\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} S}
させて
f
=
d
x
d
y
f
z
+
d
y
d
z
f
x
+
d
z
d
x
f
y
{\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}}
を曲面 S上で定義された 微分2次元形式 とし 、
r
(
s
,
t
)
=
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
,
z
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}
をD の 範囲内 で S の 向きを保存するパラメータ化 とする 。座標を から に変更すると 、 微分形式は次のように変換される。
(
s
,
t
)
{\displaystyle (s,t)}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
s
,
t
)
{\displaystyle (s,t)}
d
x
=
∂
x
∂
s
d
s
+
∂
x
∂
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}
d
y
=
∂
y
∂
s
d
s
+
∂
y
∂
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}
したがって、 は に変換されます。 ここで、 は から へ の遷移関数の ヤコビアン の 行列式 を表します 。他の形式の変換も同様です。
d
x
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
d
s
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t}
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}
(
s
,
t
)
{\displaystyle (s,t)}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
そして、 S 上の f の面積分は 次のように与えられる。
∬
D
[
f
z
(
r
(
s
,
t
)
)
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
+
f
x
(
r
(
s
,
t
)
)
∂
(
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
)
+
f
y
(
r
(
s
,
t
)
)
∂
(
z
,
x
)
∂
(
s
,
t
)
]
d
s
d
t
{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}
どこ
∂
r
∂
s
×
∂
r
∂
t
=
(
∂
(
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
)
,
∂
(
z
,
x
)
∂
(
s
,
t
)
,
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}
はS に垂直な表面要素です 。
この 2 形式の面積分は、、および を 成分として持つベクトル場の面積分と同じであることに注意してください 。
f
x
{\displaystyle f_{x}}
f
y
{\displaystyle f_{y}}
f
z
{\displaystyle f_{z}}
面積分に関する定理 微分幾何学 と ベクトル解析を使用すると、 発散定理 、 磁束 、およびその一般化である ストークスの定理 など、 表面積分のさまざまな有用な結果を導くことができます 。
パラメータ化への依存 表面積分は、表面 S のパラメータ化を使用して定義したことに注目してください。与えられた表面は複数のパラメータ化を持つ可能性があることはわかっています。たとえば、球面上の北極と南極の位置を移動すると、球面上のすべての点の緯度と経度が変わります。すると、当然、選択したパラメータ化によって表面積分の定義が変わるかどうかという疑問が生じます。スカラー場の積分の場合、この疑問への答えは簡単です。どのパラメータ化を使用しても、表面積分の値は同じになります。
ベクトル場の積分の場合、面法線が関係するため、状況はより複雑になります。同じ面の 2 つのパラメータ化があり、その面法線が同じ方向を向いている場合、両方のパラメータ化で面積積分の値が同じになることが証明できます。ただし、これらのパラメータ化の法線が反対方向を向いている場合、一方のパラメータ化を使用して取得した面積積分の値は、もう一方のパラメータ化で取得した値の負になります。したがって、面が与えられている場合、一意のパラメータ化に固執する必要はありませんが、ベクトル場を積分する場合は、法線がどの方向を向くかを事前に決定し、その方向と一致するパラメータ化を選択する必要があります。
もう 1 つの問題は、サーフェスがサーフェス全体をカバーするパラメータ化を持たない場合があることです。その場合の明らかな解決策は、そのサーフェスをいくつかの部分に分割し、各部分の表面積分を計算し、それらをすべて合計することです。これは確かにそのように機能しますが、ベクトル場を積分する場合、サーフェスの各部分について法線方向のベクトルを選択する方法に注意する必要があります。そうすることで、部分を元に戻したときに結果が一貫しているようになります。シリンダーの場合、これは、側面領域の法線がボディの外を向くように決定した場合、上部と下部の円形部分についても、法線がボディの外を向く必要があることを意味します。
最後に、各点で一貫した結果を伴う面法線を許容しない面があります (たとえば、 メビウスの帯 )。このような面を断片に分割し、各断片でパラメーター化と対応する面法線を選択し、断片を再び組み合わせると、異なる断片からの法線ベクトルを調整できないことがわかります。これは、2 つの断片間の接合部で、反対方向を指す法線ベクトルが存在することを意味します。このような面は 非方向性 と呼ばれ、この種の面ではベクトル場の積分について話すことはできません。
参照
参考文献
^ Edwards, CH (1994). 上級微積分学 . ミネオラ, NY: ドーバー. p. 335. ISBN 0-486-68336-2 。 ^ ヘイズウィンケル、ミシェル (2001)。サーフェスインテグラル。スプリンガー。 ISBN 978-1-55608-010-4 。
外部リンク 表面積分 — MathWorldより 表面積分 — 理論と演習
![{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240a0ace0f1036661d8bd5521e101b3a7af8502f)
