基本 次のように仮定します。
2·0 = 0 + 0、2·1 = 1 + 1、2 ·2 = 2 + 2 、…、2·100 = 100 + 100、…など。
これは「and」が繰り返し使われているため、無限論理積のように見えるかもしれません。しかし、「etc.」は 形式論理 では論理積として解釈することはできません。代わりに、この文は次のように言い換える必要があります。
すべての自然数nに対して、2· n = n + n が成り立つ。
これは全称量化を用いた単一の文です。
この記述は、元の記述よりも正確であると言える。「その他」は非公式には自然数のみ を含み、それ以外は含まないが、これは厳密には示されていなかった。一方、全称量化においては、自然数が明示的に言及されている。
この特定の例は正しい。なぜなら、 n には任意の自然数を代入でき、「2· n = n + n 」という式が成り立つからである。対照的に、
すべての自然数nに対して、2· n > 2 + n が成り立つ。
これは偽で ある。なぜなら、 n を 例えば 1 に置き換えると、「2·1 > 2 + 1」という命題は偽となるからである。ほとんどの 自然数nに対して「2· n > 2 + n 」が真であることは重要ではない。反例 が一つでも存在すれば、全称量化が偽であることを証明するのに十分である。
一方、すべての合成数 n に対して、2· n > 2 + n は真である。なぜなら、反例のいずれも合成数ではないからである。これは、n が取り得る値を指定する議論領域 [ 注 1 ] 論理条件 が必要となることに注意されたい。例えば、
すべての合成数nに対して、2· n > 2 + n が成り立つ。
論理的 に同等である
すべての自然数n について、n が合成数である場合、2· n > 2 + n が成り立つ。
ここで「if ... then」という構文は、論理的な条件を示しています。
表記法 記号論理学 において、全称量化子記号∀ {\displaystyle \forall } サンセリフ フォントの 「A 」を反転させたもの、Unicode U+2200）は、全称数量詞を示すために使用されます。これは、1935年にゲルハルト・ゲンツェンが ジュゼッペ・ペアノ の作品に倣って初めて使用しました。 ∃ {\displaystyle \exists } 存在量化の記法と、後に バートランド・ラッセル が用いたペアノ記法。[ 1 ]
例えば、P ( n )が述語「2· n > 2 + n 」であり、N が自然数の集合 である場合、
∀ n ∈ N P （ n ） {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)} これは（誤った）記述です
「すべての自然数nに対して、2· n > 2 + n が成り立つ」。 同様に、Q ( n )が「 n は合成数である」という述語である場合、
∀ n ∈ N （ Q （ n ） → P （ n ） ） {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}} （真実の）記述は
「すべての自然数n について、n が合成数である場合、2· n > 2 + n である。」 数量詞の表記法にはいくつかのバリエーションがあり（これらは全ての形式に適用される）、数量詞に関する
物件
否定 全称量化関数の否定は、全称量化子を存在量化子 に変え、量化された式を否定することによって得られます。つまり、
¬ ∀ x P （ x ） と同等 ∃ x ¬ P （ x ） {\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)} どこ¬ {\displaystyle \lnot } 否定 を表します。
例えば、P ( x )が命題関数 「x 集合 Xに対して、全称量化子
生きている人x
書かれている
∀ x ∈ X P （ x ） {\displaystyle \forall x\in X\,P(x)} この記述は誤りです。実際には、次のように述べられています。
生きている人x
あるいは、象徴的に言えば：
¬ ∀ x ∈ X P （ x ） {\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)} 関数P ( x ) がXの すべての 要素に対して真でない場合、少なくとも 1 つの要素に対しては、その文が偽となる。つまり、∀ x ∈ X P （ x ） {\displaystyle \forall x\in X\,P(x)} xが存在する」と同等である。
∃ x ∈ X ¬ P （ x ） {\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)} 「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり「結婚している人は存在しない」）と「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり「結婚していない人が存在する」）を混同するのは誤りである。
¬ ∃ x ∈ X P （ x ） ≡ ∀ x ∈ X ¬ P （ x ） ≢ ¬ ∀ x ∈ X P （ x ） ≡ ∃ x ∈ X ¬ P （ x ） {\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}
その他の接続詞 全称（および存在）量化子は、他のオペランドが影響を受けない限り、論理結合子 ∧ 、∨ 、→ 、および↚を越えて変化せずに移動します。 [ 2 ]
P （ x ） ∧ （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ∧ Q （ y ） ） P （ x ） ∨ （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ∨ Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ P （ x ） → （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） → Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ P （ x ） ↚ （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ↚ Q （ y ） ） P （ x ） ∧ （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ∧ Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ P （ x ） ∨ （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ∨ Q （ y ） ） P （ x ） → （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） → Q （ y ） ） P （ x ） ↚ （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ↚ Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}} 逆に、論理結合子↑ 、↓ 、↛ 、← の場合、量化子は反転します。
P （ x ） ↑ （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ↑ Q （ y ） ） P （ x ） ↓ （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ↓ Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ P （ x ） ↛ （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ↛ Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ P （ x ） ← （ ∃ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∀ y ∈ Y （ P （ x ） ← Q （ y ） ） P （ x ） ↑ （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ↑ Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ P （ x ） ↓ （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ↓ Q （ y ） ） P （ x ） ↛ （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ↛ Q （ y ） ） P （ x ） ← （ ∀ y ∈ Y Q （ y ） ） ≡ ∃ y ∈ Y （ P （ x ） ← Q （ y ） ） 、 ただし、 Y ≠ ∅ {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}
推論規則 推論規則と は、仮説から結論に至る論理的な手順を正当化する規則のことである。全称量化子を用いる推論規則はいくつか存在する。
普遍的インスタンス化は
∀ x ∈ X P （ x ） → P （ c ） {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)} ここで、c は議論領域内の完全に任意の要素である。
普遍一般化は、 c に対して、
P （ c ） → ∀ x ∈ X P （ x ） 。 {\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).} 要素c は 完全に任意でなければなりません。そうでなければ、論理が成り立ちません。cが 任意ではなく、議論領域の特定の要素である場合、P( c ) は命題関数の存在量化のみを意味します。
空集合 慣例として、式は∀ x ∈ ∅ P （ x ） {\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)} P ( x )に関係なく常に真です。空虚な真理 を参照してください。
ユニバーサルクロージャー 式 φ の普遍閉包とは、φ のすべての自由変数に普遍量化子を追加することによって得られる、自由変数のない式のことです。例えば 、 次の式の普遍閉包は次のようになります。
P （ y ） ∧ ∃ x Q （ x 、 z ） {\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)} は
∀ y ∀ z （ P （ y ） ∧ ∃ x Q （ x 、 z ） ） {\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}
参考文献 ↑ ミラー、ジェフ。「集合論と論理の記号の初期の使用」。さまざまな数学記号の初期の使用 。 ↑ つまり、変数がy {\displaystyle y} P （ x ） {\displaystyle P(x)} ↑ Saunders Mac Lane 、 Ieke Moerdijk 、（1992） Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag。ISBN 0-387-97710-4 58ページをご覧ください ヒンマン、P. (2005).数理論理学の基礎 . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0 。 Franklin, J. および Daoud, A. (2011).数学における証明：入門 . Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7 。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
Wiktionaryの「every」の辞書定義