サブグループ

群論は数学の一分野であり、群Gの部分集合は、その部分集合の要素がGにおける群演算に関して群を形成する場合に、Gの部分集合と呼ばれる。

形式的には、二項演算∗のもとでの群Gが与えられたとき、Gの部分集合Hが演算∗のもとで群を形成する場合、 HはGの部分群と呼ばれます。より正確には、∗をH × Hに制限したものがH上の群演算である場合、 HはGの部分群です。これはしばしばH≤Gと表記され、「 HはGの部分群である」と読みます。  

任意の群の自明な部分群は、単位元のみからなる部分群 { e } である。 ^{[ 1 ]}

群Gの真部分群とは、 Gの真部分集合である部分群Hのことである(つまり、H ≠ G )。これはしばしばH < Gと表記され、「HはGの真部分群である」と読みます。また、自明群 (つまり、 H ≠ { e } ​)を真部分群から除外する著者もいます。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

HがGの部分群である場合、GはHの上位群と呼ばれることがある。

Gが任意の半群である場合にも、同様の定義がより一般的に適用されますが、この記事では群の部分群のみを扱います。

Gを群とし、HをGの部分集合とする。ここでは、 Gの群演算は乗法的に表され、並置で表されると仮定する。

• すると、HがG の部分群であるのは、 H が空でないかつ積と逆元に関して閉じている場合に限る。積に関して閉じているとは、 Hの任意のaとbに対して、積abがHに含まれることを意味する。 逆元に関して閉じているとは、 Hの任意のaに対して、逆元a ^{− 1}がHに含まれることを意味する。これら 2 つの条件は、 Hの任意のaとbに対して、要素ab ^{− 1}がHに含まれるという1 つの条件にまとめることができるが、2 つの閉包条件を別々にテストする方がより自然であり、通常は同じくらい簡単である。^{[ 4 ]}
• Hが有限の場合、テストは簡略化できます。Hが部分群であるのは、H が空でないかつ積に関して閉じている場合のみです。これらの条件だけで、Hのすべての要素aが、例えば位数nのHの有限巡回部分群を生成し、aの逆元がa ^{n − 1}であることがわかります。^{[ 4 ]}

群演算が加算で表される場合、積に関して閉じているは加算に関して閉じているに置き換えられるべきであり、これはHのすべてのaとbに対して、和a + bがHに含まれるという条件であり、逆に関して閉じているは、 Hのすべてのaに対して、逆元− a がHに含まれると述べるように修正されるべきである。

• 部分群の単位元は群の単位元である。Gが単位元e _Gを持つ群であり、H が単位元e _Hを持つGの部分群である場合、e _H = e _Gとなる。
• 部分群の要素の逆元は、群の要素の逆元です。Hが群Gの部分群であり、aとbがHの要素で、 ab = ba = e _Hであるならば、ab = ba = e _{G です}。
• HがGの部分群である場合、 Hの各要素a をそれ自身に写す包含写像H → Gは準同型写像である。
• Gの部分群AとBの共通部分は、再びGの部分群になります。^{[ 5 ]}例えば、 のx軸とy軸の交点は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$加算に関して言えば、自明な部分群である。より一般的には、 Gの任意の部分群の集合の共通部分は、 Gの部分群である。
• 部分群AとBの和集合が部分群となるのは、 A ⊆ BまたはB ⊆ Aの場合に限る。非例:${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$はのサブグループではありません${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$2と3はこの部分集合の要素であり、その和である5はこの部分集合に含まれていない。同様に、 x軸とy軸の和集合は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$はのサブグループではありません$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$⁠
• SがGの部分集合である場合、 Sを含む最小の部分群、すなわちSを含むすべての部分群の共通部分が存在する。これは⟨ S ⟩と表記され 、 Sによって生成される部分群と呼ばれる。G の要素が⟨ S ⟩に含まれるの は、それがSの要素とその逆元（重複可）の有限積である場合に限る。^{[ 6 ]}
• 群Gのすべての要素aは巡回部分群⟨ a ⟩を生成します。⟨ a ⟩が⁠と同型である場合${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$（整数mod n）ある正の整数nに対して、 n はa n ⁼ eとなる最小の正の整数であり、 n はaの位数と呼ばれる。⟨ a ⟩がと同型である場合${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$⁠すると、 aは無限位数を持つと言われる。
• 任意の群の部分群は包含関係に関して完全束を形成し、これを部分群束と呼ぶ。（ここでの下限は通常の集合論的な共通部分であるが、部分群の集合の上限は、部分群の集合論的な和集合によって生成される部分群であり、集合論的な和集合そのものではない。）e がGの単位元である場合、自明群{ e }はGの最小部分群であり、最大部分群は群G自身である。

部分群HとGの要素aが与えられたとき、左剰余類aH = { ah : h ∈ H } と定義します。a は可逆であるため、 φ( h ) = ah で与えられる写像φ : H → aHは全単射です。さらに、 Gのすべての要素は、Hのちょうど 1 つの左剰余類に含まれています。左剰余類は、同値関係a ₁ ~ a ₂に対応する同値類であり、それは⁠の場合に限ります。  ${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$⁠はHに含まれます。H の左剰余類の数は、GにおけるHの指数と呼ばれ、 [ G : H ]で表されます。 

ラグランジュの定理は、有限群Gと部分群Hに対して、

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

ここで、| G |と | H |はそれぞれGとHの位数を表す。特に、Gのすべての部分群の位数（およびGのすべての要素の位数）は| G |の約数でなければならない。^{[ 7 ] [ 8 ]}

右剰余類も同様に定義されます。Ha = { ha  : h in H }。これらは適切な同値関係の同値類でもあり、その数は[ G  : H ]に等しくなります。

Gのすべてのaに対してaH = Ha が成り立つ場合、Hは正規部分群であると言われます。指数 2 のすべての部分群は正規です。左剰余類と右剰余類は、単に部分群とその補群になります。より一般的には、p が有限群Gの位数を割り切る最小の素数である場合、指数pの部分群(そのようなものが存在する場合) は正規です。

Gを有限巡回群とする

${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

加算法8に関して。部分集合${\displaystyle \{0,2,4,6\}}$2の倍数からなるは、${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}}$より一般的には、8 の各約数dに対して、 dの倍数は部分群を形成します。具体的には、${\displaystyle d=1,2,4,8}$これらのサブグループは${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\},\{0\}}$。

一般に、任意の正の整数nに対して、有限巡回群のすべての部分群を記述することができる。${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$同様に、 nの各約数dに対して、 dの倍数は${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$位数の部分群を形成する${\displaystyle n/d}$そして、すべてのサブグループはこのようにして発生する。

巡回群の部分群は巡回群である。^{[ 9 ]}

対称群S ₄は、要素が置換である群です。${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ 以下に、そのすべての部分群を濃度順に並べたものを示します。

• 偶数は部分群を形成する${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$整数環の​${\displaystyle \mathbb {Z}$ :} 2つの偶数の和は偶数であり、偶数の負の数は偶数です。
• 環Rのすべてのイデアルは、 Rの加法群の部分群である。
• ベクトル空間のすべての線形部分空間は、ベクトルの加法群の部分群である。
• アーベル群において、有限位数の要素は、ねじれ部分群と呼ばれる部分群を形成する。

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