4段階

微分幾何学において、4 次元勾配(または4 次元勾配)は、ベクトル解析の勾配の4 ベクトル版です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\部分 }}}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$

特殊相対性理論と量子力学では、4 次元勾配はさまざまな物理的な 4 次元ベクトルとテンソル間の特性と関係を定義するために使用されます。

この記事では(+ − − −) メトリック署名を使用します。

SR と GR はそれぞれ特殊相対性理論と一般相対性理論の略語です。

${\displaystyle c}$真空中の光の速度を示します。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$SR の平坦な時空 計量です。

物理学では 4 つのベクトル式を記述する別の方法があります。

• 4ベクトルスタイルは、 として使用できます。これは通常、よりコンパクトで、ベクトル表記、(内積の「ドット」など) を使用できます。4 ベクトルを表すには常に太字の大文字を使用し、3 空間ベクトルを表すには太字の小文字を使用します (例 ) 。3 空間ベクトルの規則のほとんどには、4 ベクトル数学に類似した規則があります。${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• リッチ計算スタイルを使用できます:はテンソルのインデックス表記を使用し、特に などの複数のインデックスを持つテンソルを含む複雑な式に役立ちます。${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

ラテンテンソルのインデックスの範囲は{1, 2, 3}で、3 空間ベクトルを表します (例: ) 。 ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

ギリシャテンソルの指数は{0, 1, 2, 3}の範囲にあり、4 次元ベクトルを表します (例: ) 。 ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

SR 物理学では、通常、などの簡潔なブレンドが使用されます。ここで、 は時間コンポーネントを表し、 は空間 3 コンポーネントを表します。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$${\displaystyle a^{0}}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

SR のテンソルは通常、上位インデックスと下位インデックスを持つ4Dテンソルであり、4D は 4 つの次元 (つまり、各インデックスが取ることができる値の数) を示します。 ${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

ミンコフスキー計量で使用されるテンソル収縮はどちらの側にも進むことができる（アインシュタイン記法を参照）：^{[1] ：56、151–152、158–161} $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

4次元勾配共変成分を4次元ベクトルとリッチ計算記法で簡潔に記述すると次のようになる: ^{[2] [3] : 16} $${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

上記の最後の部分のコンマは、4 位に関する偏微分を意味します。 ${\displaystyle {}_{,\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$

反変成分は以下の通りである: ^{[2] [3] : 16} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

の代替記号はおよびD です(ただし、ダランベール演算子を表すこともできます)。 ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

GR では、より一般的な計量テンソル とテンソル共変微分を使用する必要があります(ベクトル 3 勾配と混同しないでください)。 ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

共変微分は、クリストッフェル記号を介して4次元勾配と時空曲率効果を組み込む。${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

強い等価原理は次のように述べられる: ^{[4] : 184}

「SR でテンソル表記法で表現できる物理法則は、曲がった時空の局所慣性系ではまったく同じ形式になります。」SR の 4 勾配コンマ (,) は、GR では共変微分セミコロン (;) に単純に変更され、2 つの間の接続にはクリストッフェル記号が使用されます。これは相対性物理学では「コンマからセミコロンへの規則」として知られています。

たとえば、SR の場合はGR になります。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

(1,0)-テンソルまたは4-ベクトルでは次のようになる: ^{[4] : 136–139} $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

(2,0)-テンソルでは次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

4 次元勾配は特殊相対性理論(SR)においてさまざまな方法で使用されます。

この記事全体を通して、SR の平坦な時空ミンコフスキー座標に対してはすべて正しい式ですが、一般相対性理論(GR)のより一般的な曲がった空間座標に対しては修正する必要があります。

発散は、各ポイントでのベクトル場のソースの量を与える符号付きスカラー場を生成するベクトル演算子です。このメトリック署名 [+,−,−,−] では、4 勾配に負の空間成分があることに注意してください。ミンコフスキー メトリックは対角 [+1,−1,−1,−1] であるため、4D ドット積を取るとこの成分はキャンセルされます。

4次元位置 の4次元発散は時空の次元を与える。 ${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

4次元電流密度 の4次元発散は保存則、すなわち電荷保存則を与える：^{[1] ：103–107}$${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

これは、電荷密度の時間変化率が電流密度の負の空間発散に等しくなければならないことを意味します。 ${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

言い換えれば、箱の中の電荷は勝手に変化することはできず、電流を介して箱に出入りしなければなりません。これが連続の方程式です。

4次元フラックス（4次元ダスト）の4次元発散は粒子保存則に用いられる：^{[4] : 90–110}${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

これは粒子数密度の 保存則であり、典型的には重粒子数密度のようなものです。

電磁4次元ポテンシャル の4次元発散はローレンツゲージ条件で使用される：^{[1] ：105–107}${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

これはEM 4 ポテンシャルの 保存則に相当します。

弱場限界（つまり、発生源から遠くまで自由に伝播する）における重力放射を表す 横方向のトレースレス 4D (2,0) テンソルの 4 次元発散。${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

横方向条件 は、自由に伝播する重力波の保存方程式と同等です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

時空変換に伴う保存されたノイマンカレントとしての応力エネルギーテンソル の4次元発散は、SRにおける4つの保存則を与える：^{[4] ：101–106}${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

エネルギー保存（時間方向）と線形運動量保存（3 つの別々の空間方向）。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

これは次のように記述されることが多い。 ここで、単一のゼロは実際には 4 ベクトルのゼロであることが理解されている。 $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

完全流体の応力エネルギーテンソルの保存則( )${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$と粒子数密度の保存則 ( ) を、両方とも 4 次元勾配を利用して組み合わせると、相対論的オイラー方程式を導くことができます。これは、流体力学と天体物理学において、特殊相対性理論の効果を考慮したオイラー方程式の一般化です。これらの方程式は、流体の 3 次元空間速度が光速よりもはるかに遅く、圧力がエネルギー密度よりもはるかに小さく、エネルギー密度が静止質量密度によって支配される 場合、古典的なオイラー方程式に簡約されます。${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

平坦な時空で直交座標を使用すると、これを応力エネルギーテンソルの対称性と組み合わせると、角運動量（相対論的角運動量）も保存されることがわかります。 このゼロは実際には（2,0）テンソルのゼロです。 $${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

ヤコビ行列は、ベクトル値関数のすべての 1 次偏微分からなる行列です。

4次元勾配が4次元位置に作用するとSRミンコフスキー空間計量が得られる: ^{[3] : 16}${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

ミンコフスキー計量の場合、成分 （合計されず）は非対角成分がすべてゼロになります。 ${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$${\displaystyle \mu }$

デカルトミンコフスキー計量の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

一般に、 は4Dクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

ローレンツ変換はテンソル形式で次のように表される^{[4] ：69} およびは定数なので、 $${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

したがって、4勾配の定義により $${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

この恒等式は基本的です。4 勾配の成分は、4 ベクトルの成分の逆数に従って変換されます。したがって、4 勾配は「典型的な」 1 形式です。

4次元速度 と4次元勾配のスカラー積は固有時間に関する全微分を与える：^{[1] ：58–59}${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

がローレンツスカラー不変量であるという事実は、固有時間に関する全微分も同様にローレンツスカラー不変量であることを示しています。 ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

例えば、4次元速度は 4次元位置を固有時間に関して 微分したものである。 または ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

別の例として、4 次元加速度は 4 次元速度の固有時間微分です。 ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

または $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

ファラデー電磁テンソル は、物理系の時空における電磁場を記述する数学的対象である。 ^{[1] : 101–128  [5] : 314  [3] : 17–18  [6] : 29–30  [7] : 4}${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

4 次元勾配を適用して反対称テンソルを作成すると、次の式が得られます 。ここで、 $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• 電磁4ポテンシャル、 4加速度と混同しないように${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• 電気スカラー ポテンシャルは${\displaystyle \phi }$
• 磁気3次元ベクトルポテンシャルは ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

4 次元勾配を再度適用し、4 次元電流密度をと定義すると、マクスウェル方程式のテンソル形式を導くことができます。 ここで、2 行目はビアンキ恒等式(ヤコビ恒等式) のバージョンです。 ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$ $${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

波動ベクトルは波を表すベクトルです。他のベクトルと同様に、波動ベクトルには大きさと方向があり、どちらも重要です。大きさは波の波数または角波数（波長に反比例）のいずれかであり、方向は通常、波の伝播方向です。

4次元波動ベクトル はミンコフスキー空間における波の負の位相の4次元勾配（または位相の負の4次元勾配）である：^{[6] ：387}${\displaystyle K^{\mu }}$${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

これは数学的には波（より具体的には平面波）の位相の定義と同等です。 $${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

ここで、4 位置は時間角周波数、は空間 3 空間波数ベクトル、はローレンツスカラー不変位相です。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$ 平面波とがまたはの明示的な関数ではないという仮定のもとで。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

SR平面波の明示的な形式は次のように書ける: ^{[7] : 9}${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$ここで は（複素数の場合もある）振幅です。 ${\displaystyle A_{n}}$

一般的な波は複数の平面波の重ね合わせになります。 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

再び4勾配法、 つまり 複素数値平面波の4勾配版を使用する。$${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

特殊相対性理論、電磁気学、波動理論において、ダランベール演算子はダランベール演算子、または波動演算子とも呼ばれ、ミンコフスキー空間のラプラス演算子です。この演算子は、フランスの数学者で物理学者のジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられました。

の二乗は4-ラプラシアンであり、ダランベール演算子と呼ばれる: ^{[5] : 300  [3] : 17‒18  [6] : 41  [7] : 4}${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

ダランベルシアンは 2 つの 4 次元ベクトルのドット積であるため、ローレンツ不変スカラーです。

3 次元表記法と同様に、記号と がそれぞれ 4 次勾配とダランベルシアンに使用されることもあります。ただし、より一般的には、記号 はダランベルシアン専用です。 ${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box ^{2}}$${\displaystyle \Box }$

ダランベルティアンで使用される 4 勾配の例をいくつか示します。

スピン0粒子（例：ヒッグス粒子） に対するクライン・ゴルドン相対論的量子波動方程式では、$${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

電磁場の波動方程式（ローレンツゲージを使用） では、 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• 真空中：$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• スピンの影響を除いた4 つの電流源の場合:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• スピンの影響を含む量子電気力学ソースの場合:$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

どこ：

• 電磁4ポテンシャル は電磁ベクトルポテンシャルである${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• 4-電流密度 は電磁電流密度である${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• ディラックガンマ行列は スピンの効果を与える${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

重力波の波動方程式（同様のローレンツゲージを使用）^{[6] ：274–322}では 、は弱場極限（つまり、発生源から遠くまで自由に伝播する）での重力放射を表す横方向のトレースレス2次元テンソルです。 ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$ $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

さらに条件は次のとおりです: ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• 純粋に空間的:$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• 痕跡なし:$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• 横方向:$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

グリーン関数の 4 次元バージョンでは、 4Dデルタ関数は次のようになります。 $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$$${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

ベクトル解析において、発散定理はガウスの定理またはオストログラツキーの定理とも呼ばれ、表面を通るベクトル場のフロー（つまり、フラックス）と表面内のベクトル場の挙動を関連付ける結果です。より正確には、発散定理は、閉じた表面を通るベクトル場の外向きのフラックスは、表面内の領域での発散の体積積分に等しいと述べています。直感的には、すべてのソースの合計からすべてのシンクの合計を引いたものが、領域からの正味のフローを与えると述べています。ベクトル解析、およびより一般的には微分幾何学において、ストークスの定理（一般化ストークスの定理とも呼ばれる）は、多様体上の微分形式の積分に関する記述であり、ベクトル解析のいくつかの定理を簡略化および一般化します。

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$ または どこで $${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$は、${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$は、${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$は、方向に沿った成分である${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$ミンコフスキー時空の4次元単連結領域である
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$独自の3Dボリューム要素を持つ3D境界である${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$外向きの法線です
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$4D差分体積要素である

ハミルトン・ヤコビ方程式(HJE) は古典力学の定式化で、ニュートンの運動の法則、ラグランジアン力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同等です。ハミルトン・ヤコビ方程式は、機械システムの保存量を特定する際に特に役立ちます。これは、機械の問題自体が完全に解決できない場合でも可能である可能性があります。また、HJE は、粒子の運動を波として表すことができる唯一の力学定式化です。この意味で、HJE は、光の伝播と粒子の運動の類似点を見つけるという理論物理学の長年の目標 (少なくとも 18 世紀のヨハン・ベルヌーイにまで遡る) を達成しました。

粒子の一般相対論的運動量は次のように表される^{[1] :93–96} 。 ここで、${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$ $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

これは本質的にシステムの4 次元の全運動量であり、最小結合則を使用する場のテスト粒子です。粒子の固有の運動量と、粒子電荷を介したEM 4 次元ベクトルポテンシャルとの相互作用による運動量があります。 ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle q}$

相対論的なハミルトン・ヤコビ方程式は、全運動量を作用 の負の4次勾配に等しく設定することによって得られます。 ${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

時間的要素は次のようになります。${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

空間コンポーネントは次のようになります。${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

ハミルトニアンは どこにありますか。${\displaystyle H}$

これは実際には、4 波ベクトルが上からの位相の負の 4 勾配に等しいことに関係しています。 ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

HJE を得るには、まず 4 次元運動量に対するローレンツ スカラー不変規則を使用します。 $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

しかし、最小結合規則から： $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

それで： $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

時間的要素と空間的要素に分解する: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

ここで、最後は相対論的なハミルトン・ヤコビ方程式です。

4 次元勾配は量子力学と関連しています。

4次元運動量 と4次元勾配の関係はシュレーディンガー量子力学関係を与える。^{[7] : 3–5}${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$