床と天井の機能

これらの公式は、床関数や天井関数を含む式を簡略化するために使用できます。^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ }}&m&\leq x<m+1 の場合のみ,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ }}&\ \ n-1&<x\leq n の場合のみ,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ }}&x-1&<m\leq x の場合のみ,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ }}&x&\leq n<x+1 の場合のみ.\end{alignedat}}}$

順序理論の言葉で言えば、床関数は残余写像、つまりガロア接続の一部であり、整数を実数に埋め込む関数の上随伴関数である。

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ の場合のみ }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ の場合のみ }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ の場合のみ }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ の場合のみ }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

これらの式は、引数に整数nを加えることが関数にどのような影響を与えるかを示しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

nが整数でない場合は、上記は決して成り立ちません。ただし、すべてのxとyに対して、以下の不等式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

床関数と天井関数はどちらも単調非減少関数である。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

定義から明らかなように、

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$等号が成り立つのは、 xが整数である 場合に限る。

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

実際、整数nに対して、床関数と天井関数はどちらも恒等関数になります。

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

議論を否定すると、底と天井が入れ替わり、符号も変わります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

そして：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

議論を否定すると、分数部分が補完される。

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

床関数、天井関数、および小数部分関数は冪等性を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

入れ子になった床関数または天井関数の結果は、最も内側の関数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

整数の恒等性による。

mとnが整数でn ≠0の場合、

$\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

nが正の場合^{[ 12 ]}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

$\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

mが正の場合^{[ 13 ]}

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

m = 2の場合、これらは以下を意味する。

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

より一般的には、^{[ 14 ]}正のmの場合（エルミートの恒等式を参照）

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

以下は、床を天井に、またはその逆に変換するのに使用できます（mは正の値です）^{[ 15 ]}

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

すべてのmおよびn は厳密に正の整数です: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

これは、正の互いに素なmとnに対して、以下のように簡略化される。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

同様に、天井関数と小数部分関数についても同様です（mとnは正で互いに素 な場合）。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

一般の場合の右辺はmとnに関して対称であるため、これは次のことを意味する。

$\left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

より一般的には、mとnが正の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

これは相互主義の法則と呼ばれることもある。^{[ 17 ]}

正の整数による除算は、興味深く、時には有用な性質を生み出します。${\displaystyle m,n>0}$、

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

同様に、

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

確かに、

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

念頭に置いて${\textstyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor .}$ 天井関数に関する2つ目の同値関係も同様に証明できる。

dがxがdより大きい正の整数である場合、次のようになります。^{[ 18 ]}

${\displaystyle \left\{{\frac {x}{d}}\right\}={\frac {\{x\}+r}{d}}{\text{ および }}\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor ={\frac {\lfloor {x}\rfloor -r}{d}},}$

どこ${\textstyle 0\leq r\leq d-1}$割った余り${\textstyle \lfloor {x}\rfloor }$dによる

正の整数nと任意の実数mおよびxに対して: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor }{n}}\right\rfloor &=\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor \\[4px]\left\lceil {\frac {\left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil }{n}}\right\rceil &=\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .\end{aligned}}}$

この記事で議論されている関数はどれも連続ではありませんが、すべて区分的線形です。${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$、${\displaystyle \lceil x\rceil }$、 そして${\displaystyle \{x\}}$整数値において不連続性を持つ。

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$上半連続であり、${\displaystyle \lceil x\rceil }$そして${\displaystyle \{x\}}$下半連続である。

この記事で議論されている関数はどれも連続ではないため、どれもべき級数展開を持ちません。床関数と天井関数は周期的ではないため、一様に収束するフーリエ級数展開を持ちません。分数部分関数はフーリエ級数展開を持ちます^{[ 20 ]}$${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$xが整数でない 場合。

不連続点では、フーリエ級数は、床関数、天井関数、および小数部分関数とは異なり、左端と右端の極限の平均値に収束します。つまり、yが固定され、xがyの倍数である場合、与えられたフーリエ級数は、 x mod y = 0ではなく、y /2に収束します。連続点では、級数は真の値に収束します。    

式を用いて${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$与える $${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$xが整数でない 場合。

整数xと正の整数yに対して、剰余演算( x mod yと表記) は、x をyで割ったときの余りの値を表します。この定義は、実数xとy ( y ≠ 0) に対して、次の式で拡張できます。

${\displaystyle x{\bmod {y}}=xy\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

すると、床関数の定義から、この拡張演算は多くの自然な性質を満たすことがわかります。特に、x mod yは常に 0 からy の間、つまり、

yが正の場合、

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

yが負の場合、

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

アイゼンシュタインによって修正されたガウスの二次相互法則の第３証明には、２つの基本的なステップがある。 ^{[ 21 ] [ 22 ]}

pとqを互いに異なる正の奇素数とし、${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

まず、ガウスの補題を用いて、ルジャンドル記号が次のように与えられることを示す。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

2番目のステップは、幾何学的議論を用いて、

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

これらの公式を組み合わせると、次の形式の二次相互法則が得られます。

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

小さな数の法奇素数pの二次特性を表すために floor を使用する公式があります: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

任意の実数に対して${\displaystyle x}$丸め​${\displaystyle x}$最も近い整数に、同点の場合は正の無限大に向かってタイブレークを行う、で与えられる。

${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil$ ;}

負の無限大への丸めは次のように与えられます。

${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor .}$

タイブレークが0から離れている場合、丸め関数は次のようになります。

${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$

（どこ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$は符号関数であり、偶数への丸めはより煩雑な方法で表現できます。

${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rfloor -1,}$

これは、正の無限大方向への丸めを表す上記の式です。${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$整数性指標をマイナス${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$。

実数を四捨五入する${\displaystyle x}$最も近い整数値に合わせることは、非常に基本的なタイプの量子化器、つまり均一量子化器を形成します。量子化ステップサイズが何らかの値に等しい典型的な（中間ステップの）均一量子化器${\displaystyle \Delta }$次のように表現できます

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$、

正の整数kのb基数 での桁数は

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

任意の長さの文字列のうち、どの文字も2回使用しないものの数については、 ^{[ 24 ]で与えられています。}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

どこ：

• n > 0 はアルファベットの文字数です（例：英語では26文字）。
• 下降階乗${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$は、同じ文字を二度使用しない長さkの文字列の数を表します。
• n ! はnの階乗を表します
• e = 2.718... はオイラー数です

n = 26の場合、これは 1096259850353149530222034277 になります。

n を正の整数、p を正の素数とする。n !を割り切るpの最高次数の指数は、ルジャンドルの公式の変形によって与えられる^{[ 25 ]}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

どこ${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$^これは、 n をpを基数として表す方法です。p k > nの場合、階乗はゼロになるため、これは有限和です。

ビーティ数列は、すべての正の無理数が床関数を介して自然数を2つの数列に分割する方法を示している。 ^{[ 26 ]}

オイラー定数γ = 0.57721 56649 ...の公式には、床関数と天井関数が含まれています。例: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

そして

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

分数部分関数は、リーマンゼータ関数の積分表示にも現れる。部分積分を用いると、次のことが容易に証明できる^{[ 28 ]。}${\displaystyle \varphi (x)}$は、閉区間 [ a , b ] で連続導関数を持つ任意の関数です。

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

賃貸${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$sの実部が1より大きい場合、 aとbを整数とし、bを無限大に近づけると、

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

この式は、実部が−1より大きいすべてのsに対して有効であり(極が存在するs = 1 を除く)、{ x } のフーリエ展開と組み合わせることで、ゼータ関数を複素平面全体に拡張し、その関数方程式を証明するために使用できます。^{[ 29 ]}

臨界帯0 < σ < 1におけるs = σ + itの場合、

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

1947年、ファン・デル・ポルはこの表現を用いてゼータ関数の根を求めるためのアナログコンピュータを構築した。^{[ 30 ]}

床関数は素数を特徴付けるいくつかの式に現れます。例えば、 $${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor ={\begin{cases}1&{\text{if }}m{\text{ divides }}n\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ したがって、正の整数nが素数であるのは、 ^{[ 31 ]}の場合のみである。

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

素数を生成する公式を与えることもできる。例えば、p _{n を}n番目の素数とし、任意の整数r  >  1 に対して、実数α を次の和で定義する。

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

そして^{[ 32 ]}

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

同様の結果として、θ = 1.3064... (ミルズ定数) という性質を持つ数が存在する。

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

すべて素数である。^{[ 33 ]}

また、 ω = 1.9287800...という性質を持つ数も存在する。

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

すべて素数である。^{[ 33 ]}

π ( x )をx以下の素数の個数とする。ウィルソンの定理から^{[ 34 ]}が容易に導かれる。

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

また、n ≥ 2 の場合、^{[ 35 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\displaystyle \sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

このセクションの公式はどれも実用的ではない。^{[ 36 ] [ 37 ]}

ラマヌジャンはこれらの問題をインド数学会誌に投稿した。^{[ 38 ]}

nが正の整数である場合、以下を証明する。

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

上記の床関数恒等式に対するいくつかの一般化が証明されている。^{[ 39 ]}

ウォーリングの問題の研究は、未解決の問題へとつながった。

^{[ 40 ]}を満たす正の整数k ≥ 6は存在するか？

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\$ ？}

マーラーは、そのようなkは有限個しか存在し得ないことを証明しており、そのような k は知られていない。^{[ 41 ]}