条件付き確率

確率論において、条件付き確率は、ある事象が（仮定、推定、主張、または証拠によって）既に発生したことがわかっている場合に、その事象が発生する確率の尺度です。 ^[¹^]この特定の方法は、事象 A が別の事象 B と何らかの関係で発生することを前提としています。この状況では、事象 A は B に関する条件付き確率によって分析できます。関心のある事象が $A$ であり、事象 $Bが発生したことがわかっているか仮定されている場合、「$ $B$ が与えられたときの $A$ の条件付き確率」、または「 $B$ の条件の下での $A$ の確率」は、通常 $P($ $A$ $|$ $B$ $)$ ^[²^]または場合によっては $P$ $B$ $($ $A$ $)$ と表記されます。これは、確率 B のうち A と交差する部分の割合、または両方の事象が発生する確率と「与えられた」事象が発生する確率の比（B が発生していないと仮定した場合ではなく、A が発生する回数）としても理解できます。

P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}

[ ³^]

例えば、ある人が特定の日に咳をする確率はわずか5%かもしれません。しかし、その人が病気であるとわかっている、あるいは仮定した場合、咳をしている可能性ははるかに高くなります。例えば、病気の人が咳をしている条件付き確率は75%かもしれません。この場合、 $P(咳)$ = 5%、 $P(咳|病気) = 75%となります。この例では$ $A$ と $B$ の間に関係がありますが、 $A$ と $B$ の間にそのような関係や依存関係は必ずしも必要ではなく、また同時に発生する必要もありません。

$P(A | B)は、$ $P(A)$ 、つまり $A$ の無条件確率または絶対確率と等しい場合もあれば、等しくない場合もあります。P $($ $A$ $|$ $B$ $) = P($ $A$ $)$ の場合、事象 $A$ と $Bは$ 独立であると言われます。この場合、いずれかの事象についての知識は、もう一方の事象の可能性を変えません。P $($ $A$ $|$ $B$ $) ($ $B$ が与えられたときの $A$ の条件付き確率) は通常、 $P($ $B$ $|$ $A$ $)$ とは異なります。たとえば、ある人がデング熱にかかっている場合、その人がデング熱の検査で陽性と判定される確率は 90% かもしれません。この場合、測定されているのは、事象 $B$ (デング熱にかかっている) が発生した場合、 $Bが発生したという条件の下での$ $A$ (検査で陽性と判定される)の確率が90% であることであり、単純に $P($ $A$ $|$ $B$ $) = 90% と書きます。一方、ある人がデング熱の検査で陽性と判定された場合、$ 偽陽性率が高いため、実際にこのまれな病気にかかっている確率は 15% しかないかもしれません。この場合、事象 $A$ （検査で陽性）が発生したという条件の下で事象 $B$ （デング熱にかかっている）が発生する確率は15%、つまり $P($ $B$ $|$ $A$ $) = 15%です。このように、2つの確率を誤って等しく扱うと、さまざまな推論の誤りにつながり、これは$ ベースレートの誤謬としてよく見られるものです。

条件付き確率は非常に有用な情報を提供してくれるが、提供される情報や手元にある情報は限られていることが多い。そのため、ベイズの定理を用いて条件付き確率を逆算または変換することが有効な場合がある。 $P(A\mid B)={{P(B\mid A)P(A)} \over {P(B)}}$ [ ⁴^]もう一つの選択肢は、条件付き確率表に条件付き確率を表示して^、事象間の関係を明らかにすることです。

意味

イベントに基づく条件付け

コルモゴロフの定義

確率空間のシグマ場から2 つの事象 $A$ と $B$ が与えられ、 $B$ がゼロより大きい無条件確率(つまり、 $P($ $B$ $) > 0)である場合、$ $B$ が与えられたときの $A$ の条件付き確率( $P(A\mid B)$ ) は、 Bが起こったか、起こったと仮定される場合にAが起こる確率です。 ^[⁵^] Aは、制限または縮小されたサンプル空間を持つ実験またはランダム試行のすべての可能な結果の集合であると仮定されます。条件付き確率は、事象 $A$ と $B$ の同時交差の確率の商によって求められます。つまり、 $P(A\cap B)$ 、 AとBが同時に発生する確率、および $B$ の確率：^[²^]^[⁶^]^[⁷^]

P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.

等確率の結果からなる標本空間の場合、事象Aの確率は、標本空間全体の結果の数に対するAの結果の数の割合として理解されます。したがって、この式は集合の割合として理解されます。 $A\cap B$ 集合Bに対して。上記の式は定義であり、単なる理論的な結果ではないことに注意してください。量を次のように表します。 ${\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$ として $P(A\mid B)$ そしてそれを「 $B$ が与えられたときの $A$ の条件付き確率」と呼ぶ。

確率の公理として

デ・フィネッティなどの一部の著者は、条件付き確率を確率の公理として導入することを好む。

P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B).

条件付き確率のこの式は、数学的には同等ですが、直感的には理解しやすいかもしれません。これは、「Bが発生する確率に、Bが発生したという条件の下でAが発生する確率を掛けたものは、 AとBが同時に発生する確率に等しい（ただし、必ずしも同時に発生するとは限らない）」と解釈できます。さらに、哲学的にもこの解釈の方が好ましいかもしれません。主観確率論などの主要な確率解釈では、条件付き確率は原始的な実体とみなされます。さらに、この「乗法規則」は、確率を計算する際に実用的に役立ちます。 $A\cap B$ そして、ポアンカレの公式の総和公理との対称性を導入する。

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

したがって、これらの式を組み合わせることで、次の新しい表現を見つけることができます。

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A\mid B)P(B)

P(A\cup B)={P(A)+P(B)-P(A\mid B){P(B)}}

条件付き事象の確率として

条件付き確率は、条件付き事象の確率として定義できる。 $A_{B}$ グッドマン・グエン・ヴァン・フラーセン条件付き事象は次のように定義できます。

A_{B}=\bigcup _{i\geq 1}\left(\bigcap _{j<i}{\overline {B}}_{j},A_{i}B_{i}\right),

どこ

A_{i}

そして

B_{i}

A またはB の状態または要素を表す。^{[ 8 ]}

次のように証明できる。

P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}

これはコルモゴロフの条件付き確率の定義を満たしている。^{[ 9 ]}

確率がゼロの事象を条件とする

もし $P(B)=0$ 定義によれば、 $P(A\mid B)$ 未定義です。

最も興味深いケースは、特定の結果 $x$ をもたらす連続確率変数 $Xを条件とする確率変数$ $Y$ の場合である。 $B=\{X=x\}$ 確率はゼロであり、したがって、条件付けの対象にはなり得ない。

$Xが$ 正確に $x$ であるという条件の代わりに、距離よりも近いという条件を付けることができる。 $\varepsilon$ $x$ から離れた。イベント $B=\{x-\varepsilon <X<x+\varepsilon \}$ は一般的にゼロでない確率を持ち、したがって条件付けすることができます。次に極限を取ることができます

例えば、2つの連続確率変数 $X$ と $Y$ が結合密度を持つ場合 $f_{X,Y}(x,y)$ 、次にロピタルの定理とライプニッツの積分法則により、 $\varepsilon$ :

{\begin{aligned}\lim _{\varepsilon \to 0}P(Y\in U\mid x_{0}-\varepsilon <X<x_{0}+\varepsilon )&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}}\\[6pt]&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}}.\end{aligned}}

結果として得られる極限は、 $X$ が与えられたときの $Y$ の条件付き確率分布であり、分母である確率密度が次のようになるときに存在します。 $f_{X}(x_{0})$ は厳密に正の値をとる。

定義されていない確率を定義したくなる $P(A\mid X=x)$ 制限（1 $）を$ 使用するが、これは一貫した $方法$ $で$ $は$ 実行できない。特に、事象が $\{X=x\}$ そして $\{W=w\}$ 両者は同一だが、結果として得られる制限値は異なる。

\lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid x-\varepsilon \leq X\leq x+\varepsilon )\neq \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid w-\varepsilon \leq W\leq w+\varepsilon ).

ボレル＝コルモゴロフのパラドックスは、幾何学的な議論によってこのことを証明している。

離散確率変数による条件付け

$X を$ 離散確率変数とし、その可能な結果を $ V$ とします。例えば、 $X が$ サイコロを振った値を表す場合、 $V$ は、 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 説明の便宜上、 $X$ は離散確率変数であると仮定しましょう。つまり、 $V$ の各値はゼロでない確率を持ちます。

$V$ の値 $x$ と事象 $A$ に対して、条件付き確率は次のように与えられる。 $P(A\mid X=x)$ 執筆

c(x,A)=P(A\mid X=x)

つまり、これは $x$ と $A$ という 2 つの変数の関数であることがわかります。

$固定されたA$ に対して、確率変数を形成できます。 $Y=c(X,A)$ これは、 $P(A\mid X=x)$ $X$ の値 $x$ が観測されるたびに。

$したがって、 X$ が与えられたときの $A$ の条件付き確率は、区間内の結果を持つ確率変数 $Y$ として扱うことができる。 $[0,1]$ 全確率の法則から、その期待値は $A$ の無条件確率に等しい。

部分条件付き確率

部分条件付き確率 $P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})$ 事象の確率について $A$ 各条件イベントを考慮すると $B_{i}$ ある程度発生した $b_{i}$ （信念の度合い、経験の度合い）は100%とは異なる可能性がある。頻度論的には、適切な長さの実験の繰り返しで条件がテストされる場合、部分条件付き確率は意味を成す。 $n$ [ ^{10 ]}^そのような $n$ -有界部分条件付き確率は、事象の条件付き期待平均発生として定義できる。 $A$ 長さのテストベッドで $n$ すべての確率仕様に準拠する $B_{i}\equiv b_{i}$ つまり：

P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\operatorname {E} ({\overline {A}}^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m})

^{[ 10 ]}

それに基づいて、部分条件付き確率は次のように定義できます。

P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\lim _{n\to \infty }P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),

どこ $b_{i}n\in \mathbb {N}$ ^{[ 10 ]}

ジェフリー条件付け^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} は部分条件付き確率の特殊なケースであり、条件イベントはパーティションを形成する必要があります。

P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\sum _{i=1}^{m}b_{i}P(A\mid B_{i})

例

誰かが秘密裏に2つの公平な6面サイコロを振ったとします。そして、2つのサイコロの合計が5以下であるという情報が与えられた場合、最初のサイコロの表向きの値が2である確率を計算したいとします。

D _{1 を}サイコロ1で出た目とする。
D2_をサイコロ2で出た目とする。

D ₁ = 2となる確率

表1は、2つのサイコロの出目の36通りの組み合わせのサンプル空間を示しており、それぞれが1/36の確率で発生し、赤と濃い灰色のセルに表示されている数字はD1 + _D2_です。

36通りの結果のうち、D ₁ = 2となるのはちょうど6通りです。したがって、 P ( D ₁ = 2) = 6 / 36 = 1 / 6です。

D ₁ + D ₂ ≤ 5となる確率

表2は、36の結果のうちちょうど10についてD ₁ + D ₂ ≤ 5であることを示しており、したがってP ( D ₁ + D ₂ ≤ 5) = 10 ⁄ 36です。

D ₁ + D ₂ ≤ 5という条件の下で、 D ₁ = 2となる確率

表3は、これら10の結果のうち3つについてD1 = 2_であることを示している。

したがって、条件付き確率 P( D ₁ = 2 | D ₁ + D ₂ ≤ 5) = 3 ⁄ 10 = 0.3:

ここで、条件付き確率の定義に関する以前の表記では、条件付け事象BはD ₁ + D ₂ ≤ 5であり、事象AはD ₁ = 2です。 $P(A\mid B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\tfrac {3}{10}},$ 表に示すように。

推論での使用

統計的推論では、条件付き確率は新しい情報に基づいてイベントの確率を更新するものです。 ^{[ 13 ]}新しい情報は次のように組み込むことができます。^{[ 1 ]}

関心のある事象Aを標本空間( X , P ) に含めます。
イベントAの発生は、イベントBが発生した、または発生する予定であることを知っていて、イベントBに限定されたAの発生を意味する。 $A\cap B$ 。
Bの発生に関する情報がなければ、 Aの発生に関する情報は単にP ( A )となる。
Aが事象Bが発生した、または発生するであろうことを知る確率は、 $A\cap B$ P ( B )に対する相対値、 Bが発生した確率。
その結果、 ${\textstyle P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)}$ P ( B ) > 0の場合、それ以外の場合は 0 となります。

このアプローチにより、元の確率測度と整合性があり、コルモゴロフの公理をすべて満たす確率測度が得られます。この条件付き確率測度は、 Xに対するAの確率の相対的な大きさがBに対しても維持されると仮定することによっても得られます（下記の形式的導出を参照）。

「証拠」または「情報」という表現は、一般的にベイズ的確率解釈において用いられます。条件付け事象は、条件付け事象の証拠として解釈されます。つまり、P ( A )は証拠Eを考慮する前のAの確率であり、P ( A | E )は証拠Eを考慮した後、またはP ( A )を更新した後のAの確率です。これは、上記で最初に示した定義である頻度論的解釈と一致しています。

例

モールス信号を送信する際、受信した「点」または「線」が誤りである可能性が一定程度存在します。これはしばしばメッセージ送信における干渉とみなされます。したがって、例えば「点」を送信する際には、「点」が受信される確率を考慮することが重要です。これは次のように表されます。 $P({\text{dot sent }}|{\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}|{\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}.$ モールス信号では、送信時点での点と線の比率は3:4なので、「点」と「線」の確率は $P({\text{dot sent}})={\frac {3}{7}}{\text{ and }}P({\text{dash sent}})={\frac {4}{7}}$ ドットがダッシュとして送信される確率が 1/10 であり、ダッシュがドットとして送信される確率も同様に 1/10 であると仮定すると、ベイズの定理を使用して計算できます。 $P({\text{dot received}})$ 。

P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\cap {\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\cap {\text{dash sent}})

P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}})P({\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\mid {\text{dash sent}})P({\text{dash sent}})

P({\text{dot received}})={\frac {9}{10}}\times {\frac {3}{7}}+{\frac {1}{10}}\times {\frac {4}{7}}={\frac {31}{70}}

今、 $P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})$ 計算可能：

P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}={\frac {9}{10}}\times {\frac {\frac {3}{7}}{\frac {31}{70}}}={\frac {27}{31}}

^{[ 14 ]}

情報、条件付き確率、および統計的独立性

条件付き確率と統計的独立性の概念は、新しい情報が個人の事象に対する不確実性をどのように変化させるかという考え方を通して理解することができる。

例１

依存イベント（6面ダイス）

公平な6面サイコロを振る実験を考えてみましょう。標本空間は次のようになります。 $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ 偶数の発生をイベントAとすると、 $A=\{2,4,6\}$ 、イベントBを3以下の数の発生とすると、 $B=\{1,2,3\}$ 追加情報が入手される前は、これらの事象の確率は $P(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$ そして $P(B)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$ 2つのイベントの交点は $A\cap B=\{2\}$ したがって $P(A\cap B)={\frac {1}{6}}$ 事象が統計的に独立している場合、我々は $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。しかし、 ${\frac {1}{6}}\neq {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}$ これは、事象Aと事象Bが独立ではなく、統計的に依存していることを示している。

ここで、観察者が事象Aが発生したことを明らかにしたとします。つまり、結果が偶数であることがわかっているということです。この新しい情報により、有効な標本空間は縮小されます。 $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ に $A=\{2,4,6\}$ この縮小されたサンプル空間内では、事象B は結果が2 の場合にのみ発生するため、関連する事象は次のようになります。 $A\cap B=\{2\}$ したがって、事象Aが発生したという条件の下での事象Bの条件付き確率は $P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {1/6}{1/2}}={\frac {1}{3}}$ したがって、事象Bの確率は次のように変化します。 ${\frac {1}{2}}$ に ${\frac {1}{3}}$ 追加情報が提供された後、確率は変化します。この確率の変化は、事象Aに関する知識が事象Bの発生確率に影響を与えることを示しており、2つの事象が統計的に依存関係にあることを裏付けています。このような状況では、追加情報は不確実性を低減し、合理的な意思決定、予測、および賭け行動に大きな影響を与える可能性があります。

例２

独立事象（8面ダイス）

サンプル空間を持つ公平な8面サイコロを振る実験を考えてみましょう。 $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ イベントAは結果が5未満であることを表すものとする。 $A=\{1,2,3,4\}$ 、そしてイベントBは結果が3、4、5、または6のいずれかであることを表すものとする。 $B=\{3,4,5,6\}$ 当初、これらの事象の確率は $P(A)={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$ そして $P(B)={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$ 2つのイベントの交点は $A\cap B=\{3,4\}$ したがって $P(A\cap B)={\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}$ 。以来 $P(A)P(B={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}$ 我々は得る $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ これは、事象Aと事象Bが統計的に独立していることを裏付けています。

ここで、観察者が事象（A）が発生したことを明らかにしたと仮定します。この情報により、有効標本空間は縮小されます。 $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ に $A=\{1,2,3,4\}$ この縮小されたサンプル空間内で、事象Bも満たす結果は次のとおりです。 $A\cap B=\{3,4\}$ したがって、事象Aが発生したという条件の下での事象Bの条件付き確率は $P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {1/4}{1/2}}={\frac {1}{2}}$ 。この条件付き確率は、事象Bの元の確率と等しいことに注意してください。つまり、 $P(B\mid A)=P(B)$ したがって、事象Aが発生したことを知ったとしても、事象Bの発生確率は変化しません。事象Aによって提供される情報は、事象Bに関連する不確実性に影響を与えず、統計的独立性の基本的な性質、すなわち、一方の事象に関する知識が他方の事象の確率を変化させないことを示しています。

解釈

統計的独立性とは、事象間に情報的な価値が存在しないことを意味する。ある事象に関する知識が別の事象の確率を変化させる場合、それらの事象は従属的である。逆に、新たな情報を得た後も確率が変化しない場合、それらの事象は独立的である。

形式的には、2つの事象AとBが独立であるのは、以下の条件を満たす場合に限る。

$P(B\mid A)=P(B),$ これは以下と同等です。 $P(A\cap B)=P(A)P(B).$

この意味で、独立性とは、一方の事象を観察しても、他方の事象の発生に関する追加情報が得られないことを意味する。

統計的独立性

事象AとBは、AとBが重なる確率がAとBの確率の積に等しい場合、統計的に独立であると定義される。

P(A\cap B)=P(A)P(B).

P ( B )がゼロでない場合、これは次の記述と同等である。

P(A\mid B)=P(A).

同様に、P ( A )がゼロでない場合、

P(B\mid A)=P(B)

も同等です。派生形式はより直感的に見えるかもしれませんが、条件付き確率が定義されない可能性があるため、好ましい定義ではありません。好ましい定義はAとBに関して対称です。独立性とは、互いに排反な事象を指すものではありません。^{[ 15 ]}

また、独立事象ペア[ A , B ]と事象Cが与えられた場合、ペアは条件付き独立であると定義される^{[ 16 ]。}

P(AB\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C).

この定理は、複数の独立した事象を観測するような応用において有用である。

独立事象と相互排他的事象

相互独立事象と相互排他事象の概念は別個のものである。以下の表は、これら2つのケースの結果を比較したものである（ただし、条件事象の確率がゼロでない場合に限る）。

実際、互いに排他的な事象は、統計的に独立であることはできない（両方とも起こり得ない場合を除く）。なぜなら、一方の事象が発生することが分かれば、もう一方の事象についても情報が得られるからである（特に、後者の事象は絶対に起こらないということが分かる）。

事象の独立性、正の相関、負の相関

よくある誤謬

これらの誤謬は、ロバート・K・ショープが1978年に提唱した「条件付き誤謬」と混同してはならない。条件付き誤謬は、論点先取の反事実的な例を扱うものである。

条件付き確率がその逆数とほぼ同じ大きさであると仮定する

{\displaystyle P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)} — ベイズの定理の幾何学的視覚化。表では、値2、3、6、9は、それぞれの条件とケースの相対的な重みを示しています。図は、各指標に関係する表のセルを示し、確率は各図の網掛けされた部分の割合です。これは、 $P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$ つまり $P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}}$ 同様の推論を用いて、 $P({\bar {A}}\mid B)={\frac {P(B\mid {\bar {A}})P({\bar {A}})}{P(B)}}$ 等

一般に、P ( A | B ) ≈ P ( B | A ) と仮定することはできません。これは、統計学に精通している人にとっても、見落としがちな誤りです。^[¹⁷^] P ( A | B ) とP ( B | A )の関係は、ベイズの定理によって与えられます。

{\begin{aligned}P(B\mid A)&={\frac {P(A\mid B)P(B)}{P(A)}}\\\Leftrightarrow {\frac {P(B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}

つまり、P ( A | B ) ≈ P ( B | A )はP ( B )/ P ( A ) ≈ 1 の場合のみであり、同等にP ( A ) ≈ P ( B ) である。

周辺確率と条件付き確率が同程度の大きさであると仮定する

一般に、P ( A ) ≈ P ( A | B ) と仮定することはできません。これらの確率は、全確率の法則によって結び付けられています。

P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}).

イベントが開催される場所 $(B_{n})$ 可算分割を形成する $\Omega$ 。

この誤謬は選択バイアスによって生じる可能性がある。^{[ 18 ]}例えば、医療請求の文脈で、S _{C を}状況 (急性疾患) Cの結果として後遺症(慢性疾患) Sが発生する事象とする。Hを個人が医療援助を求める事象とする。ほとんどの場合、C はSを引き起こさない(したがってP ( S _C ) は低い) と仮定する。また、 S がCによって発生した場合にのみ医療援助が求められると仮定する。したがって、患者の経験から、医師はP ( S _C ) が高いと誤って結論付ける可能性がある。医師が実際に観察する確率はP ( S _C | H ) である。

事前分布の過大評価または過小評価

事前確率を部分的または完全に考慮しないことを、ベースレート無視と呼ぶ。その逆、事前確率からの調整が不十分な場合を保守主義と呼ぶ。

形式的導出

正式には、P ( A | B ) は標本空間上の新しい確率関数に従ってAの確率として定義され、 Bに含まれない結果の確率は 0 であり、すべての元の確率尺度と整合しています。^[¹⁹^]^[²⁰^]

Ω を基本事象{ ω }を持つ離散標本空間とし、P をΩ のσ 代数に関する確率測度とする。事象B ⊆ Ω が発生したと仮定する。これを反映するために、{ ω } 上に新しい確率分布(条件付き表記で表される) を割り当てる。Bに含まれないすべての事象は、新しい分布では確率がゼロとなる。B に含まれる事象については、2 つの条件を満たす必要がある。すなわち、 Bの確率が1 であることと、確率の相対的な大きさが維持されることである。前者は確率の公理によって要求され、後者は、新しい確率測度が、 Bの確率が 1 であるPのアナログでなければならないという事実から生じる。したがって、 Bに含まれないすべての事象は確率がゼロとなる。したがって、あるスケール因子αに対して、新しい分布は次の条件を満たす必要がある。

$\omega \in B:P(\omega \mid B)=\alpha P(\omega )$
$\omega \notin B:P(\omega \mid B)=0$
$\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}=1.$

1と2を3に代入してαを選択する：

{\begin{aligned}1&=\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}\\&=\sum _{\omega \in B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega \mid B)}}\\&=\alpha \sum _{\omega \in B}{P(\omega )}\\[5pt]&=\alpha \cdot P(B)\\[5pt]\Rightarrow \alpha &={\frac {1}{P(B)}}\end{aligned}}

したがって、新しい確率分布は

$\omega \in B:P(\omega \mid B)={\frac {P(\omega )}{P(B)}}$
$\omega \notin B:P(\omega \mid B)=0$

さて、一般的な事象Aについて、

{\begin{aligned}P(A\mid B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega \mid B)}}\\&=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P(B)}}\\[5pt]&={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{aligned}}

参考文献

1 2 Gut, Allan (2013).確率論：大学院コース（第2 版）. ニューヨーク、NY：Springer. ISBN 978-1-4614-4707-8。
1 2 「条件付き確率」。www.mathsisfun.com 。 2020年9月11日取得。
↑デッキング、フレデリック・ミシェル。クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。メースター、ルドルフ・アーウィン (2005)。「確率と統計の現代入門」。統計における Springer テキスト: 26. doi : 10.1007/1-84628-168-7。ISBN 978-1-85233-896-1ISSN 1431-875X
↑デッキング、フレデリック・ミシェル。クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。メースター、ルドルフ・アーウィン (2005)。「確率と統計の現代入門」。Springer Texts in Statistics : 25–40 . doi : 10.1007/1-84628-168-7。ISBN 978-1-85233-896-1ISSN 1431-875X
↑ライヒル、リンダ・エリザベス (2016)。「2.3 確率」。現代統計物理学コース（第4版改訂増補版）。WILEY- VCH。ISBN 978-3-527-69049-7。
↑コルモゴロフ、アンドレイ (1956)、『確率論の基礎』、チェルシー出版
↑ 「条件付き確率」。www.stat.yale.edu 。 2020年9月11日取得。
↑ Flaminio, Tommaso; Godo, Lluis; Hosni, Hykel (2020-09-01). "条件、確率、論理のブール代数" .人工知能. 286 103347. arXiv : 2006.04673 . doi : 10.1016/j.artint.2020.103347 . ISSN 0004-3702 . S2CID 214584872 .
↑ Van Fraassen, Bas C. (1976), "条件文の確率" , Harper, William L.、Hooker, Clifford Alan (編)『確率論、統計的推論、および科学の統計理論の基礎：第1巻確率論の認識論的応用の基礎と哲学』、ウェスタンオンタリオ大学科学哲学シリーズ、ドルトレヒト：Springer Netherlands、pp. 261–308、doi：10.1007/978-94-010-1853-1_10、ISBN 978-94-010-1853-12021年12月4日取得
1 2 3 Draheim, Dirk (2017). "Generalized Jeffrey Conditionalization (A Frequentist Semantics of Partial Conditionalization)" . Springer . 2017年12月19日取得.
↑ジェフリー、リチャード C. (1983)、『意思決定の論理』（第 2版）、シカゴ大学出版局、ISBN 9780226395821
↑ 「ベイズ認識論」。スタンフォード哲学百科事典。2017年。 2017年12月29日取得。
↑カセラ、ジョージ；バーガー、ロジャー L. (2002).統計的推論. ダックスベリー・プレス. ISBN 0-534-24312-6。
↑ 「条件付き確率と独立性」（PDF）。 2021年12月22日取得。
↑ティムス、ヘンク (2012).確率の理解(第 3版). ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/cbo9781139206990 . ISBN 978-1-107-65856-1。
↑ Pfeiffer, Paul E. (1978). Conditional Independence in Applied Probability . Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 978-1-4612-6335-7OCLC 858880328
↑パウロス、JA (1988)。無数性: 数学的文盲とその結果。ヒルとワン。 p. 63以降ISBN 0-8090-7447-8。
↑ブラス、F. トーマス(2007)。 "Der Wyatt-Earp-Effekt oder die betörende Macht kleiner Wahrscheinlichkeiten"。Spektrum der Wissenschaft (ドイツ語)。2：110～ 113。
↑ジョージ・カセラとロジャー・L・バーガー（1990）『統計的推論』ダックスベリー・プレス、 ISBN 0-534-11958-1（18ページ以降）
↑グリンステッドとスネルの『確率論入門』、134ページ

外部リンク

ワイススタイン、エリック・W. 「条件付き確率」 . MathWorld .
条件付き確率の視覚的説明

[Allan_Gut_2013-1] 1 2 Gut, Allan (2013).確率論：大学院コース（第2 版）. ニューヨーク、NY：Springer. ISBN 978-1-4614-4707-8。

[:0-2] 1 2 「条件付き確率」。www.mathsisfun.com 。 2020年9月11日取得。

[3] デッキング、フレデリック・ミシェル。クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。メースター、ルドルフ・アーウィン (2005)。「確率と統計の現代入門」。統計における Springer テキスト: 26. doi : 10.1007/1-84628-168-7。ISBN 978-1-85233-896-1ISSN 1431-875X

[4] デッキング、フレデリック・ミシェル。クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。メースター、ルドルフ・アーウィン (2005)。「確率と統計の現代入門」。Springer Texts in Statistics : 25–40 . doi : 10.1007/1-84628-168-7。ISBN 978-1-85233-896-1ISSN 1431-875X

[:1-5] ライヒル、リンダ・エリザベス (2016)。「2.3 確率」。現代統計物理学コース（第4版改訂増補版）。WILEY- VCH。ISBN 978-3-527-69049-7。

[6] コルモゴロフ、アンドレイ (1956)、『確率論の基礎』、チェルシー出版

[7] 「条件付き確率」。www.stat.yale.edu 。 2020年9月11日取得。

[8] Flaminio, Tommaso; Godo, Lluis; Hosni, Hykel (2020-09-01). "条件、確率、論理のブール代数" .人工知能. 286 103347. arXiv : 2006.04673 . doi : 10.1016/j.artint.2020.103347 . ISSN 0004-3702 . S2CID 214584872 .

[9] Van Fraassen, Bas C. (1976), "条件文の確率" , Harper, William L.、Hooker, Clifford Alan (編)『確率論、統計的推論、および科学の統計理論の基礎：第1巻確率論の認識論的応用の基礎と哲学』、ウェスタンオンタリオ大学科学哲学シリーズ、ドルトレヒト：Springer Netherlands、pp. 261–308、doi：10.1007/978-94-010-1853-1_10、ISBN 978-94-010-1853-12021年12月4日取得

[Draheim2017b-10] 1 2 3 Draheim, Dirk (2017). "Generalized Jeffrey Conditionalization (A Frequentist Semantics of Partial Conditionalization)" . Springer . 2017年12月19日取得.

[11] ジェフリー、リチャード C. (1983)、『意思決定の論理』（第 2版）、シカゴ大学出版局、ISBN 9780226395821

[12] 「ベイズ認識論」。スタンフォード哲学百科事典。2017年。 2017年12月29日取得。

[Casella_and_Berger_2002-13] カセラ、ジョージ；バーガー、ロジャー L. (2002).統計的推論. ダックスベリー・プレス. ISBN 0-534-24312-6。

[14] 「条件付き確率と独立性」（PDF）。 2021年12月22日取得。

[15] ティムス、ヘンク (2012).確率の理解(第 3版). ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/cbo9781139206990 . ISBN 978-1-107-65856-1。

[16] Pfeiffer, Paul E. (1978). Conditional Independence in Applied Probability . Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 978-1-4612-6335-7OCLC 858880328

[17] パウロス、JA (1988)。無数性: 数学的文盲とその結果。ヒルとワン。 p. 63以降ISBN 0-8090-7447-8。

[18] ブラス、F. トーマス(2007)。 "Der Wyatt-Earp-Effekt oder die betörende Macht kleiner Wahrscheinlichkeiten"。Spektrum der Wissenschaft (ドイツ語)。2：110～ 113。

[19] ジョージ・カセラとロジャー・L・バーガー（1990）『統計的推論』ダックスベリー・プレス、 ISBN 0-534-11958-1（18ページ以降）

[grinstead-20] グリンステッドとスネルの『確率論入門』、134ページ

[

3

4

[

[

[ 8 ]

[ 9 ]

10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]。

[

[ 18 ]

[

[