プライムオメガ関数

数論において、素数オメガ関数は${\displaystyle \omega (n)}$そして${\displaystyle \Omega (n)}$自然数の素因数の個数を数える${\displaystyle n}$異なる素因数の数は、${\displaystyle \omega (n)}$（小さなオメガ）一方${\displaystyle \Omega (n)}$（大文字のオメガ）は、重複度を持つ素因数の総数をカウントします（算術関数を参照）。つまり、の素因数分解がある場合、${\displaystyle n}$形式${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$異なる素数の場合${\displaystyle p_{i}}$（${\displaystyle 1\leq i\leq k}$) の場合、素数オメガ関数は次のように与えられる。${\displaystyle \omega (n)=k}$そして${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$これらの素因数分解関数は、多くの重要な数論的関係を持っています。

機能${\displaystyle \omega (n)}$加算的で${\displaystyle \Omega (n)}$完全に加算されます。リトルオメガにはその式があります

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1,}$

ここで、表記p | nは、 nを割り切るすべての素数pについて、重複を考慮せずに和を取ることを示します。たとえば、${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$。

ビッグオメガには公式がある

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\Parallel n}\alpha .}$

表記p ^α | nは、 nを割り切るすべての素数p ^αのべき乗について和を取ることを示し、p ^α || nは、 nを割り切り、かつn / p ^αがp ^αと互いに素であるすべての素数p ^αのべき乗について和を取ることを示します。例えば、${\displaystyle \オメガ (12)=\オメガ (2^{2}3^{1})=3}$。

オメガは不等式ω ( n ) ≤ Ω ( n )および2 ^{ω ( n )} ≤ d ( n ) ≤ 2 ^{Ω ( n )}によって関係付けられる。ここでd ( n )は除数計数関数である。^{[ 1 ]} Ω ( n ) = ω ( n ) の場合、nは平方因子を持たない数であり、メビウス関数と次のように関係付けられる。

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}.}$

もし${\displaystyle \omega (n)=1}$それから${\displaystyle n}$は主要な力であり、もし${\displaystyle \Omega (n)=1}$それから${\displaystyle n}$素数です。

平均次数に対する漸近級数${\displaystyle \omega (n)}$[ ^{2 ]​}

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

どこ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$はメルテンス定数であり、$\displaystyle \gamma _{j}}$はスティルチェス定数です。

機能${\displaystyle \omega (n)}$メビウス関数と除数関数に関する除数和に関連しており、以下を含む：^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$は単位約数の数です。（OEISのA034444列）

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ 奇数}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

素数の特性関数は、メビウス関数との畳み込みによって表現できる。^{[ 4 ]}

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

パーティション関連の正確な同一性${\displaystyle \omega (n)}$^{[ 5 ]}で与えられる

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

どこ${\displaystyle p(n)}$は分割関数です。${\displaystyle \mu (n)}$はメビウス関数であり、三角形の数列は${\displaystyle s_{n,k}}$拡張される

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

無限q-ポッホハマー記号と制限された分割関数の観点から${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$それぞれ数を表す${\displaystyle k}$のすべてのパーティションの 's${\displaystyle n}$奇数個（偶数個）の異なる部分に分割する。 ^{[ 6 ]}

の続き${\displaystyle \omega (n)}$解析的ではないが、発見されている。^{[ 7 ]}正規化された${\displaystyle \operatorname {sinc} }$関数${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$使用されます。

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

これは、次の分割恒等式と密接に関連しています。次の形式の分割を考えてみましょう。

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

どこ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$は正の整数であり、${\displaystyle a>b>c}$分割数は次のように表される。${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$[ ^{8 ]​}

両方の平均注文${\displaystyle \omega (n)}$そして${\displaystyle \Omega (n)}$は${\displaystyle \log \log n}$。 いつ${\displaystyle n}$素数とは、関数の値の下限です。${\displaystyle \omega (n)=1}$同様に、${\displaystyle n}$が原始的であれば、関数は次のように大きくなります。

${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$

平均的な順序で。${\displaystyle n}$は2のべき乗である、${\displaystyle \Omega (n)=\log _{2}(n).}$^{[ 9 ]}

上の総和関数の漸近挙動${\displaystyle \omega (n)}$、${\displaystyle \Omega (n)}$、そして${\displaystyle \omega (n)}$それぞれ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$はメルテンス定数であり、定数は${\displaystyle B_{2}}$定義される

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

1の約数の合計は

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}$^{[ 12 ]} （ OEISの配列A064608）

素数オメガ関数の2つのバリアントに関連するその他の和には、^{[ 13 ]が含まれます。}

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

そして

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

既知のディリクレ級数${\displaystyle \omega (n)}$リーマンゼータ関数は^{[ 15 ]}で与えられる。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

また、次のこともわかります。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

機能${\displaystyle \Omega (n)}$は完全に加法的であり、${\displaystyle \omega (n)}$は強く加法的である（加法的である）。ここで、次の形式の短い補題を証明することができ、これは両方の範囲におけるディリクレ級数の展開の正確な公式を意味する。${\displaystyle \omega (n)}$そして${\displaystyle \Omega (n)}$:

補題。${\displaystyle f}$は、素数のべき乗における値が次のように定義される、強い加法性を持つ算術関数である。${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$つまり、${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$異なる素数の場合${\displaystyle p_{i}}$指数${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$ディリクレ級数​${\displaystyle f}$拡張される

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

証明。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

これは、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

対応する級数と積が収束する限りにおいて。最後の式では、リーマンゼータ関数のオイラー積表現を使用しました。

この補題は、${\displaystyle \Re (s)>1}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle P(s)}$はプライムゼータ関数です。${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}$どこ${\displaystyle H_{k}}$は${\displaystyle k}$第 1 次高調波数と ${\displaystyle \varepsilon }$ディリクレ畳み込みの恒等式は、${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}}\rfloor }$。

差分の異なる整数値の分布${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$構成要素関数の半ランダムな性質と比較すると、規則的である。${\displaystyle k\geq 0}$、 定義する

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

これらの基数には対応する極限密度の系列がある${\displaystyle d_{k}}$そのため、${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

これらの密度は、素積によって生成される。

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

絶対定数${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$密度${\displaystyle d_{k}}$満足する

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

エルデシュ・カッツの定理に関連して^{[ 16 ]}の最後のセクションで定義された素積の定義と比較してください。

• 加算関数
• 算術関数
• エルデシュ・カッツの定理
• オメガ関数（曖昧さ回避）
• 素数
• 平方因子を持たない整数

• G.H.ハーディ、E.M.ライト（2006）。数論入門（第6 版）。オックスフォード大学出版局。
• H.L.モンゴメリー、R.C.ヴォーン（2007）。乗法数論I. 古典理論（第1 版）。ケンブリッジ大学出版局。
• Schmidt, Maxie (2017). "ランベルト級数生成関数のアダマール積と高階導関数の因数分解定理". arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].
• ワイススタイン、エリック。 「異なる素因数」。MathWorld 。 2018年4月22日取得。

• 関連するシーケンス番号と表については、OEIS Wikiをご覧ください。
• OEIS Wikiの素因数分解について