拡張された実数直線

数学では、拡張実数系^{[ a ]}は実数系から得られる。${\displaystyle \mathbb {R} }$2 つの要素を追加することにより、${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$^{[ b ]}それぞれすべての実数よりも大きい数と小さい数です。これにより、無限に増加する数列と無限に減少する数列の潜在的な無限を実際の無限。たとえば、無限数列${\displaystyle (1,2,\ldots )}$自然数の は無限に増加し、実数系では上限がありません(潜在的な無限大)。拡張された実数直線では、数列は${\displaystyle +\infty }$最小上限として、また極限（実際の無限大）として。微積分と数学解析では、${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$実際の限界により、可能な計算が大幅に拡張されます。^{[ 1 ]}これは実数のデデキント・マクニール完備化です。

拡張実数系は次のように表される。${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$、 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$、 または$\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$[ ^{2 ]文脈から意味が}明確な場合、シンボル${\displaystyle +\infty }$は、単に次のように書かれることが多い。${\displaystyle \infty }$[ ^{2 ]​}

また、射影的に拡張された実数直線も存在し、${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$は区別されず、つまり、無限に増加する数列と無限に減少する数列の両方に対して単一の実際の無限が存在し、それは単に と表記される。${\displaystyle \infty }$または${\displaystyle \pm \infty }$。

拡張実数系${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$定義される${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$または$\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$は、定義することで完全順序集合に変換できます。${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$すべての人々のために${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$この順序トポロジーでは、${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$コンパクト性という望ましい性質を持つ: すべての部分集合${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$上限と下限を持つ^{[ 2 ]} （空集合の下限は${\displaystyle +\infty }$、そしてその至高は${\displaystyle -\infty }$さらに、このトポロジーでは、${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$単位区間と同相である${\displaystyle [0,1]}$したがって、位相は距離化可能であり、（与えられた同相写像に対して）この区間上の通常の距離に対応する。しかし、通常の距離の拡張となる距離は存在しない。${\displaystyle \mathbb {R} }$。

このトポロジーでは、集合${\displaystyle U}$近隣地域​${\displaystyle +\infty }$セットを含む場合に限ります${\displaystyle \{x:x>a\}}$ある実数に対して${\displaystyle a}$近隣の概念${\displaystyle -\infty }$同様に定義できる。拡張実数近傍のこの特徴付けを使用すると、${\displaystyle x}$世話をする${\displaystyle +\infty }$または${\displaystyle -\infty }$、制限は「等しい」${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$実数系における特別な定義を持つ代わりに、極限の一般的な位相的定義に還元する。

算術演算${\displaystyle \mathbb {R} }$部分的に拡張可能${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$以下のとおりです。^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

指数については、 「指数§ べき乗の限界」を参照してください。ここでは、${\displaystyle a+\infty }$両方を意味する${\displaystyle a+(+\infty )}$そして${\displaystyle a-(-\infty )}$、 その間${\displaystyle a-\infty }$両方を意味する${\displaystyle a-(+\infty )}$そして${\displaystyle a+(-\infty )}$。

表現${\displaystyle \infty -\infty }$、${\displaystyle 0\times (\pm \infty )}$、 そして${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$（不定形と呼ばれる）は通常定義されないままです。これらの規則は無限極限の法則をモデルにしています。しかし、確率論や測度論の文脈では、${\displaystyle 0\times \pm \infty }$はしばしば0と定義される。^{[ 4 ]}

正負両方の拡張実数を扱う場合、式${\displaystyle 1/0}$は通常未定義のままです。なぜなら、すべての実数非ゼロ数列に対して が成り立つのは事実ですが、${\displaystyle f}$0に収束する逆数列${\displaystyle 1/f}$最終的には、${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$シーケンスが真実ではない${\displaystyle 1/f}$それ自体が以下のいずれかに収束しなければならない${\displaystyle -\infty }$または${\displaystyle \infty .}$言い換えれば、連続関数${\displaystyle f}$ある値でゼロになる${\displaystyle x_{0},}$そうなると、${\displaystyle 1/f}$どちらかに偏る傾向がある${\displaystyle -\infty }$または${\displaystyle \infty }$極限では${\displaystyle x}$傾向${\displaystyle x_{0}}$これは恒等関数の極限の場合に当てはまります。${\displaystyle f(x)=x}$いつ${\displaystyle x}$0に近づき、${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$（後者の機能については、どちらも${\displaystyle -\infty }$または${\displaystyle \infty }$限界は${\displaystyle 1/f(x)}$たとえ正の値だけであっても${\displaystyle x}$考慮される）。

しかし、非負の値のみを考慮する状況では、次のように定義するのが便利な場合が多い。${\displaystyle 1/0=+\infty }$例えば、べき級数を扱う場合、係数を持つべき級数の収束半径は${\displaystyle a_{n}}$は、数列の極限上限の逆数として定義されることが多い。${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$したがって、もし許可すれば${\displaystyle 1/0}$値を取る${\displaystyle +\infty }$そうすれば、上限が0であるかどうかに関わらず、この公式を使用できます。

上記で定義した算術演算では、${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$は半群ですらなく、ましてや群、環、体などではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$しかし、いくつかの便利な特性があります。

• ${\displaystyle a+(b+c)}$そして${\displaystyle (a+b)+c}$等しいか、両方とも未定義かのどちらかです。
• ${\displaystyle a+b}$そして${\displaystyle b+a}$等しいか、両方とも未定義かのどちらかです。
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$そして${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$等しいか、両方とも未定義かのどちらかです。
• ${\displaystyle a\cdot b}$そして${\displaystyle b\cdot a}$等しいか、両方とも未定義です
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$そして${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$両方が定義されている場合は等しい。
• もし${\displaystyle a\leq b}$そして両方とも${\displaystyle a+c}$そして${\displaystyle b+c}$定義されると、${\displaystyle a+c\leq b+c}$。
• もし${\displaystyle a\leq b}$そして${\displaystyle c>0}$そして両方とも${\displaystyle a\cdot c}$そして${\displaystyle b\cdot c}$定義されると、${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$。

一般的に、算術のすべての法則は、${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$出現するすべての式が定義されている限り。

いくつかの機能は継続的 に拡張できます${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$極限を取ることによって。例えば、次の関数の極値点は次のように定義できます。

${\displaystyle \exp(-\infty )=0}$、

${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$、

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1}$、

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$。

さらに、いくつかの特異点が除去される場合もあります。たとえば、関数${\displaystyle 1/x^{2}}$継続的に拡張可能${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$（連続性の定義によっては）値を${\displaystyle +\infty }$のために${\displaystyle x=0}$、0は${\displaystyle x=+\infty }$そして${\displaystyle x=-\infty }$一方、関数は${\displaystyle 1/x}$関数が近づくため、連続的に拡張することはできません${\displaystyle -\infty }$として${\displaystyle x}$下から0に近づき、${\displaystyle +\infty }$として${\displaystyle x}$関数が上方から0に近づく、つまり、独立変数が正負両方の値側から同じ定義域要素に近づく場合と同じ値に収束しない。

類似しているが、異なる実数直線システムである射影拡張実数直線は、${\displaystyle +\infty }$そして${\displaystyle -\infty }$（つまり、無限大は符号なしです）。^{[ 4 ]}その結果、関数には極限が存在する可能性があります。${\displaystyle \infty }$射影的に拡張された実数直線上では、拡張された実数システムでは関数の絶対値のみが極限を持ちます。例えば、関数の場合${\displaystyle 1/x}$で${\displaystyle x=0}$一方、射影的に拡張された実数直線上では、${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$そして${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$それぞれ右側からの極限と左側からの極限のみに対応し、完全な極限は両者が等しい場合にのみ存在する。したがって、関数は${\displaystyle e^{x}}$そして${\displaystyle \arctan(x)}$連続させることはできません${\displaystyle x=\infty }$射影的に拡張された実数直線上。

• ゼロ除算
• 拡張複素平面
• 拡張自然数
• 広義積分
• 無限
• 丸太半円形
• 数列（数学）
• 射影的に拡張された実数直線
• 拡張実数のコンピュータ表現については、「浮動小数点演算」§  「無限大とIEEE浮動小数点」を参照。

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3rd  ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p.  29, ISBN 0-12-050257-7MR 1669668​ 
• David W. Cantrell. 「アフィン拡張実数」MathWorld .