括弧（数学）

数学では、丸括弧( )、角括弧[ ]、中括弧 { } 、山括弧⟨ ⟩など、さまざまな形式の括弧が数式表記で頻繁に使用されます。一般に、このような括弧は何らかのグループ化を表します。括弧で囲まれた部分式を含む式を評価する場合、部分式内の演算子は周囲の演算子よりも優先されます。読みやすさのために、部分式が深く入れ子になっている単一の式で、同じ優先順位の意味を表すために異なる種類の括弧が使用されることがあります。^{[ 1 ]}    

歴史的には、括弧などの他の表記法も同様にグループ化に使用されていました。現代の使用法では、これらの表記法はすべて特定の意味を持っています。括弧を使用して集約（つまりグループ化）を示す最初の使用法は、1608年にクリストファー・クラヴィウスによって、1629年にアルベール・ジラールによって提案されました。^{[ 2 ]}

山括弧を表すにはさまざまな記号が使用されます。電子メールやその他のASCIIテキストでは、ASCIIには山括弧が含まれていないため、山括弧を表すために小なり記号（<）と大なり>記号（ ）を使用するのが一般的です。^{[ 3 ]}

Unicodeには専用の文字ペアがあり、小なり記号と大なり記号の他に、以下のようなものがあります。

• U+27E8 ⟨数学的左山括弧とU+27E9 ⟩数学的右山括弧
• U+29FC ⧼左向き曲線アングルブラケットおよびU+29FD ⧽右向き曲線アングルブラケット
• U+2991 ⦑左山括弧（ドット付き）およびU+2992 ⦒右山括弧（ドット付き）
• U+27EA ⟪数学的左二重山括弧、 U+27EB ⟫数学的右二重山括弧
• U+2329 〈左向き山括弧とU+232A 〉右向き山括弧は非推奨です^{[ 4 ]}

LaTeXでは、マークアップは\langle次のようになります\rangle。${\displaystyle \langle \ \rangle }$。

数学以外の用途で使用される山括弧には、以下のようなものがあります。

• U+3008 〈左山括弧、 U+3009 〉右山括弧（東アジアのテキスト引用で使用）
• U+276C ❬中型左向き山括弧装飾とU+276D ❭中型右向き山括弧装飾は、ディンバットです。

^{線の太さが増した追加の記号、 [ 5 ]}多数の山括弧と非推奨の文字があります。

初等代数では、括弧 ( ) は演算の順序を指定するために使用されます。^{[ 1 ]}括弧内の項が最初に評価されます。したがって、2×(3  +  4) は 14、20 ÷ (5(1  +  1))は 2、(2×3)  +  4 は 10 となります。この表記法は、変数を含むより一般的な代数にも拡張されています。たとえば、( x + y ) × ( x − y )などです。角括弧は、括弧が入れ子になっている場合に、視覚的な区別をするために、2 つ目の括弧の代わりによく使用されます。

一般的に、数式では、括弧は曖昧さを避け、明確さを向上させるために、グループ化（つまり、どの部分が一緒に属しているか）を示すためにも使用されます。たとえば、次の式では${\displaystyle (\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}}$2 つの自然変換の合成の定義で使用される、括弧の周りの${\displaystyle \varepsilon \eta }$インデックス付けによって${\displaystyle X}$組成物に適用される${\displaystyle \varepsilon \eta }$最後の構成要素だけではなく${\displaystyle \eta }$。

関数の引数は、多くの場合、角括弧で囲まれます。${\displaystyle f(x)}$曖昧さが生じる可能性がほとんどない標準関数では、引数の周りの括弧を完全に省略することが一般的です (例:${\displaystyle \sin x}$) これは一般的な関数では決して行われないことに注意してください。${\displaystyle f}$この場合、括弧は常に含まれます。

デカルト座標系では、角括弧を使って点の座標を指定します。例えば、(2,3)はx座標が2、y座標が3の点を表します。

2つのベクトルの内積は一般的に次のように表されます。${\displaystyle \langle a,b\rangle }$しかし、表記法 ( a , b ) も使用されます。

括弧 ( ) と角括弧 [ ] はどちらも区間を表すために使用できます。${\displaystyle [a,c)}$は、aからcまでの区間を示すために使用されます。${\displaystyle a}$ただし、${\displaystyle c}$つまり、${\displaystyle [5,12)}$は、5 から 12 までのすべての実数の集合であり、5 は含まれますが 12 は含まれません。ここで、数値は 12 にいくらでも近づくことができ、11.999 など ( 9 が有限個含まれる) が含まれますが、12.0 は含まれません。

ヨーロッパの一部の国では、表記法${\displaystyle [5,12[}$もこれに使用され、小数点区切り文字としてコンマが使用される場所では、曖昧さを避けるためにセミコロンが区切り文字として使用されることがあります（例：${\displaystyle (0;1)}$[ ^{6 ]​}

角括弧に隣接する端点は閉じた端点と呼ばれ、丸括弧に隣接する端点は開いた端点と呼ばれます。両方のタイプの括弧が同じ場合、区間全体を状況に応じて閉じた区間または開いた区間と呼ぶことができます。無限大または負の無限大が端点として使用されるときはいつでも（実数直線上の区間の場合）、それは常に開いた端点とみなされ、丸括弧に隣接しています。拡張された実数直線上の区間を考慮する場合、端点は閉じた端点になります。

離散数学における一般的な慣習は、${\displaystyle [n]}$正の整数の集合として、${\displaystyle n}$つまり、${\displaystyle [5]}$セットに対応する${\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}$。

中括弧 { } は、集合の要素を識別するために使用されます。たとえば、{ a , b , c } は、3 つの要素a、b、cからなる集合を表します。

山括弧⟨⟩は、群論や可換代数において、群の表示を指定したり、要素の集合によって生成される部分群やイデアルを表したりするために使用されます。

明示的に与えられた行列は、通常、大きな丸括弧または角括弧で囲んで記述されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}}$

表記法

${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

は、引数xに適用された関数fのn階微分を表します。したがって、たとえば、${\displaystyle f(x)=\exp(\lambda x)}$、 それから${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)}$これは、${\displaystyle f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))}$、引数xに対するfのn重適用。

表記法${\displaystyle (x)_{n}}$は、で定義されるn次多項式である、下降階乗を表すために使用されます。

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(xn)!}}.}$

あるいは、同じ表記法が上昇階乗を表すものとして用いられることもあり、これは「ポッホハンマー記号」とも呼ばれる。同じものの別の表記法は${\displaystyle x^{(n)}}$定義は

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.}$

量子力学では、山括弧はディラックの形式体系であるブラケット記法の一部としても使用され、ブラの双対空間からのベクトルを表す。 ${\displaystyle \left\langle A\right|}$そしてケット ${\displaystyle \left|B\right\rangle }$。

統計力学において、山括弧はアンサンブル平均または時間平均を表す。

角括弧は、多項式環内の変数を囲むために使用されます。たとえば、${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$は、実数係数と変数を持つ多項式の環です。${\displaystyle x}$[ ^{7 ]​}

A が環Bの部分環であり、bがBの要素である場合、A [ b ]はAとbによって生成されるBの部分環を表します。この部分環は、 Aとbの要素から始めて、繰り返し加算と乗算によって得られるすべての要素から構成されます。言い換えれば、 Aとb を含むBの最小の部分環です。たとえば、${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]}$は、すべての整数とを含むCの最小の部分環です。${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$;それは次の形式のすべての数から構成される${\displaystyle m+n{\sqrt {-2}}}$ここで、mとnは任意の整数である。別の例：${\displaystyle \mathbf {Z} [1/2]}$Qの部分環は、分母が2のべき乗であるすべての有理数から構成される。

より一般的には、Aが環Bの部分環である場合、${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$、 それから${\displaystyle A[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$これは、 Aによって生成されたBの部分環を表し、${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$さらに一般的に言えば、SがBの部分集合である場合、A [ S ]はAとSによって生成されるBの部分環である。

群論と環論では、角括弧は交換子を表すのに使われます。群論では、交換子[ g , h ]は一般的にg ^{− 1} h ^{− 1} ghと定義されます。環論では、交換子[ a , b ]はab − baと定義されます。さらに、中括弧は反交換子を表すのに使われることがあります。{ a , b } はab + baと定義されます。

リー代数のリー括弧は、次式で表される二項演算である。${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$交換子をリー括弧として用いることで、あらゆる結合代数をリー代数に変換することができる。リー括弧には様々な形式があり、特にリー微分とヤコビ・リー括弧が挙げられる。

床関数と天井関数は通常、左角括弧と右角括弧で表記され、下側（床関数）または上側（天井関数）の水平線のみが表示されます。例: ⌊π⌋ = 3または⌈π⌉ = 4 。ただし、 [ π ] = 3のように角括弧が床関数を表すために使用される場合もあり、床関数は実数を次の整数に切り捨てます。逆に、一部の著者は、 ] π [ = 4のように、外向きの角括弧を使用して天井関数を表します。

中括弧は、{π} < ¹ / ₇のように、実数の小数部分を表すことがあります。

• 二項係数
• 括弧多項式
• 括弧表記
• デリミタ
• ディック語
• フローリヒャー・ナイエンハウスブラケット
• アイバーソンのブラケット
• ナイエンハイス・リチャードソン括弧、または代数括弧とも呼ばれる。
• ポッホハンマーのシンボル
• ポアソン括弧
• ショウテン対ナイエンハイス トーナメント
• 連立方程式