副産物

圏論において、余積、または圏論的和は、集合と位相空間の互いに素な和、群の自由積、および加群とベクトル空間の直和を例に含む構成である。オブジェクトの族の余積は、本質的には、族内の各オブジェクトが射を許容する「最も特定性の低い」オブジェクトである。これは、圏論的積に対する圏論的双対概念であり、定義は積と同じだが、すべての矢印が逆になっていることを意味する。この名前と表記法の一見無害な変更にもかかわらず、余積は、特定のカテゴリ内の積とは大幅に異なる場合があり、通常は大幅に異なります。

をカテゴリとし、とを の対象とします。 対象は と の余積と呼ばれ、またはと書かれることもあります。また、時には単に と書かれることもあります。これは、次の普遍的性質を満たす射と が存在するときです。任意の対象および任意の射およびに対して、およびとなる一意の射が存在するのです。つまり、次の図はが可換です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2},}$${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

この図を可換にする唯一の矢印は、またはで表すことができます。射と は、標準射と呼ばれますが、必ずしも射であったり、モニックである必要はありません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$${\displaystyle i_{1}}$${\displaystyle i_{2}}$

余積の定義は、集合によってインデックス付けされた任意のオブジェクトの族に拡張できます。族の余積は、任意のオブジェクトと任意の射のコレクションに対して、次のような一意の射が存在するような、射のコレクションを伴うオブジェクトです。つまり、次の図はそれぞれについて可換です。 ${\displaystyle J.}$${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$${\displaystyle j\in J}$

族の共積はしばしば${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

場合によっては、射影は個々の s への依存性を示すために表記されることもあります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$

集合のカテゴリにおける余積は、写像i _jが包含写像である、単に互いに素な和集合である。直積とは異なり、他のカテゴリにおける余積は、和集合は保存演算に関して適切に動作しないため（たとえば、2 つのグループの和集合はグループである必要はない）、すべてのカテゴリで集合の概念に基づいているわけではないため、異なるカテゴリにおける余積は互いに大幅に異なる可能性がある。たとえば、グループ カテゴリにおける余積は自由積と呼ばれ、非常に複雑である。一方、アーベル群のカテゴリ（およびベクトル空間）では、直和と呼ばれる余積は、有限個の非ゼロ項のみを持つ直積の要素から構成される（したがって、有限個の因数の場合の直積と正確に一致する）。

可換環 Rが与えられたとき、可換R代数のカテゴリにおける余積はテンソル積です。(非可換) R代数のカテゴリでは、余積はテンソル代数の商です(結合代数の自由積を参照)。

位相空間の場合、余積はそれらの互いに素な和位相との互いに素な和です。つまり、それは基礎となる集合の互いに素な和であり、開集合は各空間において開いている集合であり、これはかなり明白な意味です。ホモトピー理論の基本である尖った空間のカテゴリでは、余積はくさびの和です（これは、共通の基底点で基底点を持つ空間のコレクションを結合することと同じです）。

非結合和の概念は、上記の例の根底にひそかに存在します。アーベル群の直和は、「ほぼ」非結合和 (すべての非ゼロ要素と共通のゼロの非結合和) によって生成される群であり、ベクトル空間の場合も同様です。つまり、 「ほぼ」非結合和によって張られる空間です。群の自由積は、同様の「ほぼ非結合」和のすべての文字の集合によって生成され、異なる集合の 2 つの要素は交換できません。このパターンは、普遍代数の意味でのあらゆる多様体に当てはまります。

短い写像を持つバナッハ空間のカテゴリにおける余積はl ¹和であり、これは「ほぼ互いに素な」和として簡単に概念化することはできませんが、単位球が余因子であることによってほぼ互いに素に生成される単位球を持ちます。^[1]

poset カテゴリの余積は結合演算です。

上で示した余積の構成は、実際には圏論における余極限の特殊なケースです。圏における余積は、離散圏から への任意の関手の余極限として定義できます。一般にすべての族が余積を持つわけではありませんが、もし持つなら、余積は強い意味で一意です。つまり、と が族 の 2 つの余積である場合、(余積の定義により)各 に対してとなる一意の同型が存在します。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$${\displaystyle j\in J}$

あらゆる普遍的性質と同様に、余積は普遍射として理解できます。を、各オブジェクトに順序付きペアを割り当て、各射にペアを割り当てる対角関数とします。すると、 の余積は、 のオブジェクトから関数への普遍射によって与えられます。 ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle \left(f,f\right)}$${\displaystyle X+Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \left(X,Y\right)}$${\displaystyle C\times C}$

空集合によってインデックス付けされた余積（つまり、空の余積）は、の初期オブジェクトと同じです。 ${\displaystyle C}$

が集合で、 でインデックス付けされた族のすべての余積が存在する場合、余積が関数 になるように互換性のある方法で積を選択することが可能です。族の余積は、しばしば で表されます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

そして、その地図は自然注入として知られています。 ${\displaystyle i_{j}}$

からへの射の全集合（つまり、のホム集合）をとすると、自然同型${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

全ての写像の 組を写像する一対一写像によって与えられる

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

（集合の圏であるSetの積、つまり直積なので、射の組である）を射

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

この写像が全射であることは、図の可換性から明らかである。つまり、任意の射は、組の余積である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

それが射影であることは、そのような写像の一意性を規定する普遍構成から明らかです。同型の自然さも図の結果です。したがって、反変ホム関手は余積を積に変えます。別の言い方をすると、ホム関手は、 Setへの反対のカテゴリ からの関手として見ると連続的であり、限界を保存します ( の余積は の積です)。 ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

が有限集合、例えばである場合、オブジェクトの余積は と表記されることが多い。すべての有限余積がCに存在し、余積関数が上記のように選択され、0 が空余積に対応するCの初期オブジェクトを表すと仮定する。すると、自然同型が得られる。${\displaystyle J}$${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

これらの性質は、形式的には可換モノイドの性質と似ています。有限余積を持つカテゴリは、対称モノイドカテゴリの例です。

カテゴリがゼロ対象 を持つ場合、 （は終端なので）一意の射 を持ち、したがって射 を持ちます。 は始端 でもあるので、前の段落のように標準同型を持ちます。したがって、射 と を持ち、それらから標準射 を推論します。これは、任意の有限余積から対応する積への標準射への帰納法によって拡張できます。この射は一般に同型である必要はありません。Grp では適切なエピモーフィズムですが、Set _{* （}尖頭集合のカテゴリ）では適切な単射です。任意の前加法カテゴリでは、この射は同型であり、対応するオブジェクトは副積として知られています。すべての有限副積を持つカテゴリは、半加法カテゴリとして知られています。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle X\rightarrow Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

によってインデックス付けされるオブジェクトのすべてのファミリがに余積を持つ場合、余積は関数 を構成します。積と同様に、この関数は共変 であることに注意してください。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

• 製品
• 極限と余極限
• コイコライザー
• 直接制限

• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​

• 有限集合のカテゴリにおける余積の例を生成するインタラクティブな Web ページ。Jocelyn Paine によって作成されました。