グループの直積

数学、特に群論において、直積とは、2つの群 $G$ と $H$ を取り出して新しい群を構成する演算であり、通常は $G \times H$ と表記される。この演算は、集合のデカルト積に相当する群論的な演算であり、数学における直積の重要な概念の一つである。

アーベル群の文脈では、直積は直和と呼ばれることもあり、次のように表されます。 $G\oplus H$ 直和はアーベル群の分類において重要な役割を果たします。有限アーベル群の基本定理によれば、すべての有限アーベル群は巡回群の直和として表すことができます。

意味

グループ $G$ (演算 $*$ を持つ) と $H$ (演算 $∆$ を持つ) が与えられたとき、直積 $G \times H$ は次のように定義されます。

基礎となる集合はデカルト積 $G \times H$ です。つまり、順序対 $(g, h)$ であり、 $g \in G$ かつ $h \in H$ です。
$G$ $\times$ $H$ に対する二項演算は、要素ごとに定義される。
$(g 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 * g 2, h 1 ∆ h 2)$

結果として得られる代数的対象は、群の公理を満たす。具体的には以下のとおりである。

連想性: $G \times H$ の二項演算は結合法則を満たす。
身元: 直積には単位元があり、それは $(1 G, 1 H)$ で、 $1 G$ $はG$ の単位元であり、 $1 H$ $はH$ の単位元です。
逆: $G$ $\times$ $H$ の要素 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ の逆元は $($ $g$ $-1$ $,$ $h$ $-1$ $)$ のペアであり、 $g$ $-1は$ $G$ における $g$ の逆元、 $h$ $-1は$ $H$ における $h$ の逆元である。

例

$R$ を加算に関する実数の群とする。このとき、直積 $R$ $\times$ $R$ は、ベクトル加算演算に関するすべての 2 成分ベクトル $($ $x$ $,$ $y$ $)$ の群である。

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

。

$R + を$ 乗法による正の実数の群とする。このとき、直積 $R + \times R +$ は、成分ごとの乗法による第 1 象限のすべてのベクトルの群となる。

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

。

$G$ と $Hを$ それぞれ2つの要素を持つ巡回群とする。

すると、直積 $G \times H$ はクラインの4群と同型である。

基本特性

直積は同型を除いて可換かつ結合的である。つまり、任意の群 G、H、K に対して $、$ G $\times$ H $≅$ $H \times G および (G \times$ H $) \times K ≅ G \times (H \times K) が成り立つ$ 。
$G$ が任意の群であり、 ${1}$ が自明群である場合、 $G ≅ G \times {1} ≅ {1} \times G$ となります。
$G$ $\times$ $H$ の位数は、 $G$ と $H$ の位数の積です。
$| G \times H | = | G | | H |$ 。
これは、集合の直積の濃度を求める公式から導かれる。
$G$ の $g$ と $H$ の $h$ が有限位数である場合、 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ の位数は $g$ と $h$ の位数の最小公倍数である。^[¹^] 特に、 $g$ と $h が$ 有限位数であり、それらの位数が互いに素である場合、 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ の位数は $g$ と $h$ の位数の積である。
その結果、 $G$ と $Hが$ 位数が互いに素な有限巡回群であれば、 $G \times H$ は巡回群となる。例えば、 $m$ と $nが$ 互いに素であれば、
$(Z / m Z) \times (Z / n Z) ≅ Z / mn Z$ 。
この事実は、中国剰余定理と密接に関係している。

代数構造

$G$ と $H$ をグループとし、 $P = G \times Hとします。そして、$ $P$ の次の2つの部分集合を考えます。

G' = { (g, 1) : g \in G}

および

H

' = { (1,

h

)

:

h

\in

H

}

。

これらはどちらも実際には $P$ の部分群であり、前者は $G$ と同型、後者は $Hと同型である。これらをそれぞれ$ $G$ と $H$ と同一視すると、直積 $Pは$ 元の群 $G$ と $Hを$ 部分群として含むものと考えることができる。

$P$ のこれらの部分群は、次の 3 つの重要な性質を持っています。（ここで、 $G'$ と $H'はそれぞれ$ $G$ と $H$ と同一視します。）

共通部分 $G \cap H$ は自明である。
$P$ のすべての要素は、 $Gの要素と$ $H$ の要素の積として一意に表現できる。
$G$ のすべての要素は $H$ のすべての要素と可換である。

これら3つの性質を合わせると、直積 $P$ の代数構造が完全に決定されます。つまり、 $P$ が上記の性質を満たす部分群 $G$ と $H$ を持つ任意の群であれば、 $Pは必然的に$ $G$ と $H$ の直積と同型になります。このような場合、 $Pは部分群$ $G$ と $H$ の内部直積と呼ばれることもあります。

場合によっては、上記の3番目の特性は、次の特性に置き換えられます。

3′.

P

では

G

と

H

は両方とも正常です。

この性質は性質 3 と同等です。なぜなら、自明な共通部分を持つ 2 つの正規部分群の要素は必ず可換であり、これは $G$ 内の任意の $g$ と $H$ 内の $h$ の交換子 $[g, h]$ を考えることで導き出せるからです。

例

$V$ をクライン4群とする。このとき、 $V$ は 2 要素部分群 {1, a } と {1, b } の内部直積である。
させて $\langle a\rangle$ mnの巡回群とする。ただし、mとnは互いに素である。 $\langle a^{n}\rangle$ そして $\langle a^{m}\rangle$ はそれぞれ位数mとnの巡回部分群であり、 $\langle a\rangle$ これは、これらの部分群の内部直積です。
$C \times を$ 乗法に関する非零複素数の群とする。このとき、 $C$ $\times$ は単位複素数の円群 $T$ と乗法に関する正の実数の群 $R$ $+$ の内部直積である。
nが奇数の場合、一般線形群 $GL(n, R)は、$ 特殊線形群 $SL(n, R)とすべての$ スカラー行列からなる部分群の内部直積である。
同様に、nが奇数の場合、直交群 $O(n, R)は、特殊直交群$ $SO(n, R)$ と 2 要素部分群 ${- I, I$ }の内部直積であり $、$ ここで $I は$ 単位行列を表します。
立方体の対称群は、回転の部分群と2要素群 ${-I$ $,$ $I$ $}$ $の内部直積で表されます。$ ここで、 $I$ は単位元、 $-I$ $は$ 立方体の中心を通る点反射です。正二十面体の対称群についても同様のことが言えます。
nを奇数とし、D _{4 nを}位数4 nの二面体群とする。
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
すると、D _{4 n}は部分群の内部直積である。 $\langle r^{2},s\rangle$ （これは D _{2 n}と同型である）および 2 要素部分群 {1, r ⁿ }。

プレゼンテーション

$G \times H$ の代数構造を用いることで、 $G$ と $H$ の表示を用いて直積の表示を与えることができる。具体的には、

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

そして

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

どこ $S_{G}$ そして $S_{H}$ は（互いに素な）生成集合であり、 $R_{G}$ そして $R_{H}$ 関係を定義しています。

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

どこ $R_{P}$ は、各要素が $S_{G}$ 各要素と通勤 $S_{H}$ 。

例えば、

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

そして

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

それから

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

正常な構造

前述のように、部分群 $G$ と $Hは$ $G \times H$ の正規部分群です。具体的には、関数 $π G : G \times H \to G$ と $π H : G \times H \to H$ を次のように定義します。

π G (g, h) = g

および

π

H

(

g

,

h

) =

h

。

このとき、 $π G$ と $π H$ は射影準同型写像として知られ、それぞれの核は $H$ と $G$ である。

したがって、 $G \times Hは$ $H$ による $G$ の拡張である（またはその逆）。G $\times$ $H$ が有限群である場合、 $G$ $\times$ $H$ の合成因子は、 $G$ の合成因子と $Hの合成因子の$ $和$ 集合に正確に一致する。

その他の物件

普遍的な財産

直積 $G \times H$ は、次の普遍的な性質によって特徴付けられます。 $π G : G \times H \to G$ および $π H : G \times H \to H$ を射影準同型とします。このとき、任意の群 $P$ および任意の準同型 $ƒ G : P \to G$ および $ƒ H : P \to H$ に対して、次の図式が可換となるような一意の準同型 $ƒ: P \to G \times H$ が存在します。

具体的には、準同型写像 $ƒ$ は次の式で与えられる。

ƒ(p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

。

これは圏論における積の普遍性に関する特殊なケースである。

サブグループ

$Aが$ $G$ の部分群であり、 $Bが$ $H$ の部分群である場合、 $A \times Bは$ $G \times H$ の部分群である。例えば、 $G$ $\times$ $H$ における $G$ の同型コピーは、積 $G$ $\times$ ${1}$ である。ここで ${1}は$ $H$ の自明な部分群である。

$A$ と $B$ が正規群であるならば、 $A \times Bは$ $G \times H$ の正規部分群である。さらに、直積の商群は商群の直積群と同型である。

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

。

$一般に、 G \times Hのすべての部分群が$ $Gの部分群と$ $H$ の部分群の積であるとは限りません。例えば、 $G$ が任意の非自明な群である場合、積 $G \times G$ は対角部分群を持ちます。

Δ = { (g, g) : g \in G}

$これは、 G$ の 2 つの部分群の直積ではない。

2つの群の直積の部分群は、グールサの補題によって記述される。その他の部分群には、 $G$ と $H$ のファイバー積が含まれる。

共役と中心化

2 つの要素 $(g 1, h 1)$ と $(g 2, h 2)が$ $G$ $\times$ $H$ で共役であるのは、 $g$ $1$ と $g$ $2が$ $G$ で共役であり、 $h$ $1$ と $h$ $2が$ $H$ で共役である場合に限る。したがって、 $G$ $\times$ $H$ の各共役類は、 $Gの共役類と$ $H$ の共役類の直積に等しい。

同様に、 $(g, h) \in G \times H$ の場合、 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ の中心化は、 $g$ と $h$ の中心化の積になります。

C G \times H (g, h)

=

C

G

(

g

) \times

C

H

(

h

)

。

同様に、 $G$ $\times$ $H$ の中心は、 $G$ と $H$ の中心の積です。

Z (G \times H)

=

Z

(

G

) \times

Z

(

H

)

。

正規化子は、直積のすべての部分群が直積に分解されるとは限らないため、より複雑な挙動を示す。

自己同型写像と自己準同型写像

$αが$ $G$ の自己同型写像であり、 $βが$ $H$ の自己同型写像である場合、積関数 $α$ $\times$ $β$ $:$ $G$ $\times$ $H$ $\to$ $G$ $\times$ $H$ は次のように定義される。

(α \times β)(g, h) = (α (g) , β (h))

$はG \times H$ の自己同型写像である。したがって、 $Aut(G \times H)$ は直積 $Aut(G) \times Aut(H)$ と同型な部分群を持つ。

$一般に、 G \times H$ のすべての自己同型が上記の形式を持つとは限りません。（つまり、 $Aut(G) \times Aut(H)は、$ $Aut(G \times H)$ の真部分群であることが多いです。）例えば、 $G$ が任意の群である場合、 2 つの因子を入れ替える $G$ $\times$ $G$ の自己同型 $σ$ が存在します。

σ (g 1, g 2) = (g 2, g 1)

。

$別の例として、 Z \times Z$ の自己同型群は $GL (2, Z)$ であり、これは整数成分を持ち、行列式が $\pm1 であるすべての$ $2 \times 2$ 行列の群です。この自己同型群は無限ですが、上記の形式を持つ自己同型は有限個しかありません。

一般に、 $G$ $\times$ $H$ のすべての自己準同型は $2 \times 2$ 行列として表すことができる。

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

ここで、 $αは$ $G$ の自己準同型写像、 $δは$ $H$ の自己準同型写像、 $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ および $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ は準同型写像である。このような行列は、 $α$ の像のすべての要素が $β$ の像のすべての要素と可換であり、 $γの像のすべての要素が$ $δ$ の像のすべての要素と可換であるという性質を持たなければならない。

GとHが分解不可能な中心のない群である場合、自己同型群は比較的単純で、GとHが同型でない場合はAut( G )×Aut( H )、 G≅Hの場合はAut( G )wr2となります。ここでwrはリース積を表します。これはクルル・シュミットの定理の一部であり、有限直積に対してより一般的に成り立ちます。

一般化

有限直積

2つ以上のグループの直積を一度に取ることは可能です。有限個のグループの列 $G 1 、 ...、 G n$ が与えられた場合、直積は

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

は次のように定義されます。

$G 1 \times \dots \times G n$ の要素はタプル $(g 1, ..., g n)$ であり、各 $iに対して$ $g i \in G i$ である。
$G 1 \times \dots \times G n$ に対する演算は、要素ごとに定義されます。
$(g 1, ..., g n)(g 1', ..., g n')$ = $(g 1 g 1', ..., g n g n')$ 。

これは2つの群の直積と多くの点で同じ性質を持ち、同様の方法で代数的に特徴づけることができる。

無限の直接積

無限個の群の直積を求めることも可能です。無限列 $G 1, G 2, ...$ の群の場合、これは上記の有限直積と同様に定義でき、無限直積の要素は無限タプルになります。

より一般的に、群の添え字付き族{ $G$ $i$ } $i$ $\in$ $I$ が与えられたとき、直積 $Π$ $i$ $\in$ $I$ $G$ $i$ は次のように定義されます。

$Π i \in I G i$ の要素は、集合 $G$ $i$ の無限直積の要素です。つまり、各 $i$ $に対してƒ($ $i$ $) \in$ $G$ $i$ という性質を持つ関数 $ƒ:$ $I$ $\to ⋃$ $i$ $\in$ $I$ $G$ $i$ です。
$2つの要素ƒ、 g$ の積は、要素ごとに次のように定義されます。
$(ƒ • g)(i)$ = $ƒ(i) • g (i)$ 。

有限直積とは異なり、無限直積 $Π i \in I G i は、$ 同型部分群 { $G$ $i$ } $i$ $\in$ $I$ の要素によって生成されるものではありません。代わりに、これらの部分群は、無限直和と呼ばれる直積の部分群を生成します。この部分群は、非単位元が有限個しかないすべての要素から構成されます。

その他の製品

セミダイレクト製品

部分群 $G$ と $H$ を持つ群 $P$ は、以下の3つの条件を満たす限り、 $G$ と $H$ の直積と同型であることを思い出してください。

共通部分 $G \cap H$ は自明である。
$P$ のすべての要素は、 $Gの要素と$ $H$ の要素の積として一意に表現できる。
$G$ と $Hは$ どちらも $P$ では正常である。

$G$ と $H$ の半直積は、3番目の条件を緩和することで得られます。つまり、2つの部分群 $G$ $と$ $Hの$ うち、1つだけが正規であればよいという条件です。結果として得られる積は依然として順序対 $($ $g$ $,$ $h$ $)$ で構成されますが、乗算の規則はやや複雑になります。

また、3つ目の条件を完全に緩和し、2つの部分群のどちらも正規である必要がないようにすることも可能です。この場合、群 $Pは$ $G$ と $H$ のザッパ・セップ積と呼ばれます。

無料商品

$G$ と $H$ の自由積（通常 $G$ $*$ $H$ と表記）は直積に似ていますが、 $G$ $*$ $H$ の部分群 $G$ と $H$ が可換である必要はありません。つまり、

G

=

〈 S G

|

R

G

〉

および

H

=

〈

S

H

|

R

H

〉

、

$G$ と $H$ のプレゼンテーションは、

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R

G

\cup

R

H

〉

。

直積とは異なり、自由積の要素は順序対で表すことはできません。実際、任意の2つの非自明な群の自由積は無限です。自由積は実際には群の圏における余積です。

サブダイレクト製品

$G$ と $Hが$ 群である場合、 $G$ と $H$ の部分直積とは、射影準同型写像によって $G$ と $H$ に全射的に写像される $G$ $\times$ $H$ の任意の部分群のことである。グールサの補題により、すべての部分直積はファイバー積である。

繊維製品

$G$ 、 $H$ 、 $Q を$ 群とし、 $𝜑 : G \to Q$ および $χ : H \to Q$ を準同型とする。Q上の $G$ と $H$ のファイバー積（プルバックとも呼ばれる） $は、$ $G$ $\times$ $H$ の次の部分群である。

$G\times _{Q}H=\{\,(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\,\}{\text{.}}$ $𝜑 : G \to Q$ と $χ : H \to Q$ が全射である場合、これは部分直積である。

参考文献

↑ガリアン、ジョセフ A. (2010)。現代抽象代数(7 版)。センゲージ学習。 p. 157.ISBN 9780547165097。

マイケル・アーティン(1991)、代数、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-89871-510-1
Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7MR 1375019 。
Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (第2 版), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988 。
ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556
Lang, Serge (2005)、Undergraduate Algebra (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-22025-3。
ロビンソン、デレク・ジョン・スコット（1996）『群論入門』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-94461-6。

[1] ガリアン、ジョセフ A. (2010)。現代抽象代数(7 版)。センゲージ学習。 p. 157.ISBN 9780547165097。

[

意味

例