予約注文

数学、特に順序理論において、前順序または準順序とは、反射的かつ推移的な二項関係のことである。前順序という名称は、前順序がほぼ部分順序であることを示唆しているが、必ずしも反対称ではないため、完全な部分順序ではない。

前順序の自然な例として、整数間の割り算関係「xはyを割り切る」が挙げられます。この関係は、すべての整数が自身を割り切るため反射的です。また推移的でもあります。しかし、反対称ではありません。例えば、${\displaystyle 1}$分ける${\displaystyle -1}$そして${\displaystyle -1}$分ける${\displaystyle 1}$、 しかし${\displaystyle -1}$等しくない${\displaystyle 1}$「最小公倍数」というフレーズで「最小」が指すのはこの前順序のことである（対照的に、整数の自然順序、例えば${\displaystyle 4}$そして${\displaystyle 6}$公倍数を持つ${\displaystyle 24}$、${\displaystyle 12}$、${\displaystyle 0}$、${\displaystyle -12}$、${\displaystyle -24}$、…、ただし少なくとも1つは含まれていない）。

前順序は同値関係および（非厳密な）半順序と密接に関連しています。これらはどちらも前順序の​​特殊なケースです。反対称前順序は半順序であり、対称前順序は同値関係です。さらに、集合上の前順序は${\displaystyle X}$は、同等に、同値関係として定義できる。${\displaystyle X}$同値類の集合上の部分順序とともに、図を参照。部分順序や同値関係と同様に、前順序（空でない集合上）は決して非対称ではない。

前順序は、集合の要素が頂点に対応し、要素のペア間の順序関係が頂点間の有向エッジに対応する有向グラフとして視覚化できます。逆は真ではありません。ほとんどの有向グラフは反射的でも推移的でもありません。反対称の前順序はもはやサイクルを持たず、半順序であり、有向非巡回グラフに対応します。対称の前順序は同値関係であり、グラフのエッジ上の方向マーカーを失ったものと考えることができます。一般に、前順序に対応する有向グラフは、多くの非連結成分を持つ可能性があります。

予約注文はしばしば次のように表記されます${\displaystyle \,\lesssim \,}$または${\displaystyle \,\leq \,}$。

二項関係${\displaystyle \,\lesssim \,}$撮影現場で${\displaystyle X}$反射的かつ推移的である場合、すなわち、次の条件を満たす場合、それは前順序または準順序と呼ばれます。

1. 反省性：${\displaystyle a\lesssim a}$すべての人々のために${\displaystyle a\in X,}$そして
2. 推移性: もし${\displaystyle a\lesssim b{\text{ かつ }}b\lesssim c{\text{ ならば }}a\lesssim c}$すべての人々のために${\displaystyle a,b,c\in X.}$

先行順序を備えた集合は、先行順序付き集合（またはプロセット）と呼ばれます。^{[ 1 ]}

予約注文${\displaystyle \,\lesssim \,}$の上${\displaystyle X}$同値関係を定義することができる${\displaystyle \,\sim \,}$の上${\displaystyle X}$による $${\displaystyle a\sim b\quad {\text{ a\lesssim b\;{\text{ かつ }}\;b\lesssim a の場合。}$$ 結果として生じる関係${\displaystyle \,\sim \,}$前置詞のため反射的である${\displaystyle \,\lesssim \,}$は再帰的であり、推移性を適用することで推移的になります。${\displaystyle \,\lesssim \,}$2回。そして定義上、対称である。

この関係を用いることで、商集合上に半順序を構築することが可能となる。${\displaystyle X/\sim }$等価性を定義することによって${\displaystyle [x]\leq [y]}$もし${\displaystyle x\lesssim y.}$ これは明確に定義されている、つまり、代表者の特定の選択に依存しないということである。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は、の定義から導かれる。${\displaystyle \,\sim \,}$。

逆に、集合の分割上の任意の半順序から${\displaystyle X,}$予約注文を構築することが可能です${\displaystyle X}$それ自体。先行順序とペア（分割、部分順序）の間には1対1の対応関係がある。

例：${\displaystyle X}$を、幾何学などの数学のサブ分野におけるすべての（有効な文も無効な文も含む）文の集合とする。${\displaystyle p\Leftarrow q}$もし${\displaystyle p}$論理的な帰結${\displaystyle q}$。 それから${\displaystyle \Leftarrow }$予約注文は${\displaystyle X}$: すべての文${\displaystyle p}$自身から証明できる（反射性）場合、${\displaystyle p}$証明できる${\displaystyle q}$、 そして${\displaystyle q}$から${\displaystyle r}$、 それから${\displaystyle p}$また、以下のことから証明することもできます。${\displaystyle r}$（推移性）。対応する同値関係は通常、次のように表されます。${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$、そして次のように定義される${\displaystyle p\Leftarrow q}$そして${\displaystyle q\Leftarrow p}$; この場合${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$論理的に同値である。文の同値類${\displaystyle p}$これはすべての文の集合です${\displaystyle q\in X}$論理的に同等の${\displaystyle p}$正式には：${\displaystyle [p]=\{q\mid p\Leftrightarrow q\}}$予約注文セット${\displaystyle (X,\Leftarrow )}$は有向集合である：2つの文が与えられた場合${\displaystyle p,q\in X}$それらの論理的結合${\displaystyle p\wedge q}$、発音は「両方」${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$「、はそれらの一般的な上限です。${\displaystyle p}$は${\displaystyle p\wedge q}$、そして${\displaystyle q}$半順序集合${\displaystyle \left(X/\Leftrightarrow ,\Leftarrow \right)}$したがって、これも有向集合である。関連する例については、リンデンバウム・タルスキー代数を参照のこと。

反射律を非反射律 に置き換えると（推移律は維持したまま）、厳密な半順序の定義が得られる。${\displaystyle X}$このため、厳密な前順序という用語は、厳密な部分順序を指す場合にも用いられることがある。つまり、これは二項関係である。${\displaystyle \,<\,}$の上${\displaystyle X}$以下を満たす：

1. 非反射性または反反射性：いいえ${\displaystyle a<a}$すべての人々のために${\displaystyle a\in X;}$つまり、${\displaystyle \,a<a}$すべてにおいて偽である${\displaystyle a\in X,}$そして
2. 推移性: もし${\displaystyle a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c}$すべての人々のために${\displaystyle a,b,c\in X.}$

すべての二項関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle X}$予約注文に延長可能${\displaystyle X}$推移閉包と反射閉包を取ることにより、${\displaystyle R^{+=}.}$ 推移閉包は、パス接続を示します${\displaystyle R:xR^{+}y}$存在する場合に限り${\displaystyle R}$-パス元${\displaystyle x}$に${\displaystyle y.}$

二項関係によって誘導される左残余前順序

二項関係が与えられた場合${\displaystyle R,}$補完された構成${\displaystyle R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}}$左残余と呼ばれる前順序を形成する^[ 5 ^]ここで${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$逆の関係を表す${\displaystyle R,}$そして${\displaystyle {\overline {R}}}$補関係を表す${\displaystyle R,}$その間${\displaystyle \circ }$関係合成を表します。

前順序が反対称でもある場合、つまり、${\displaystyle a\lesssim b}$そして${\displaystyle b\lesssim a}$暗示する${\displaystyle a=b,}$するとそれは半順序になります。

一方、対称である場合、つまり、${\displaystyle a\lesssim b}$暗示する${\displaystyle b\lesssim a,}$ならばそれは同値関係である。

予約注文は合計で${\displaystyle a\lesssim b}$または${\displaystyle b\lesssim a}$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in X.}$

予約注文クラスとは、予約注文機能を備えたクラスのことです。すべてのセットはクラスであり、したがってすべての予約注文セットは予約注文クラスです。

予約注文は、いくつかの状況において極めて重要な役割を果たします。

• すべての先行順序には、アレクサンドロフ位相という位相を与えることができ、実際、ある集合上のすべての先行順序は、その集合上のアレクサンドロフ位相と1対1に対応している。
• 前順序は内部代数を定義するために使用できる。
• 事前順序付けは、特定の種類の様相論理に対してクリプキ意味論を提供する。
• 順序関係は、集合論における強制法において、一貫性と独立性の結果を証明するために用いられる。^{[ 6 ]}

S ( n , k )は第 2 種のスターリング数を指すことに注意してください。

前述のとおり、先行順序とペア（パーティション、部分順序）の間には1対1の対応関係があります。したがって、先行順序の数は、各パーティション上の部分順序の数の合計になります。例：

のために${\displaystyle a\lesssim b,}$間隔​${\displaystyle [a,b]}$点の集合xは以下を満たしますか${\displaystyle a\lesssim x}$そして${\displaystyle x\lesssim b,}$また、次のように書かれている${\displaystyle a\lesssim x\lesssim b.}$少なくとも点aと点bを含む。定義をすべての点のペアに拡張することもできる。${\displaystyle (a,b)}$追加のインターバルはすべて空いています。

対応する厳密な関係「${\displaystyle <}$また、区間を定義することもできます。${\displaystyle (a,b)}$点xの集合として${\displaystyle a<x}$そして${\displaystyle x<b,}$また、次のように書かれている${\displaystyle a<x<b.}$開区間は空になる可能性がある。${\displaystyle a<b.}$

また${\displaystyle [a,b)}$そして${\displaystyle (a,b]}$同様に定義できる。

• 部分順序–反対称な前順序
• 同値関係–対称的な前順序
• 合計予約注文数– 合計予約注文数
• 全順序– 反対称かつ全順序の前順序
• 演出されたセット
• 予約注文セットのカテゴリー
• プレウェルオーダー
• 準秩序

• シュミット、ギュンター、「関係数学」、数学とその応用百科事典、第132巻、ケンブリッジ大学出版局、2011年、ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd SW (2002), Ordered Sets: An Introduction , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9